En [Monaghan 1992] comenta el caso del método SPH en relatividad especial.
Para empezar asumimos que el fluido está constituido por bariones, por lo que el tensor de energia-momento es:
$latex T^{mu nu} = (n m_0 c^2 + n tau + P) U^mu U^nu + P g^{mu nu}$
donde los indices griegos van de $latex 0$ a $latex 3$ y los coeficientes de la métrica se definen
$latex g_{00} = -1$ y $latex g_{ij} = 1$
En estas ecuaciones, $latex n$ representa la densidad de bariones, $latex P$ es la presión, $latex tau$ la energía térmica, $latex c$ la velocidad del sonido, $latex U^nu$ la 4-velocidad con $latex U_nu U^nu = -1$ y $latex m_0$ la masa.
Las ecuaciones del momento se siguen de:
$latex frac{partial}{partial x^nu} T^{i nu} = 0$
que es:
$latex frac{d}{dt} q = – frac{1}{N} nabla P$
y en forma SPH queda:
$latex frac{d}{dt}q_a = -sum_b nu_b (frac{P_a}{n_a^2} + frac{P_b}{N_b^2}) nabla_a W_{ab}$
donde $latex nu_b$ es el número de bariones asociados a la partícula $latex b$.
Y la de la energía se sigue de:
$latex frac{partial}{partial x^j} T^{0j} = 0$
que es:
$latex frac{d}{dt} epsilon = – frac{1}{N} nabla cdot (Pv)$
y en foma SPH queda:
$latex frac{d}{dt} epsilon_a = -sum_b m_b (frac{P_a v_a}{N_a^2} + frac{P_b v_b}{N_b^2}) nabla W_{ab} $