En las Jornadas sobre los problemas del milenio celebradas en Barcelona del 1 al 3 de junio de 2011, Diego Córdoba dió una charla sobre el problema Clay de las ecuaciones de Navier-Stokes para la que escribió estas notas.
Un fluido es ideal si es incompresible, homogéneo y perfecto.
La idea del problema consiste en determinar si:
…un fluido incompresible con energía finita puede desarrollar singularidades en tiempo finitos.
Mas formalmente, si consideramos un fluido viscoso ($latex nu > 0$), homogéneo ($latex rho = 1$) e incompresible ($latex nabla cdot u = 0$), tenemos:
$latex u_t + u cdot nabla u = – nabla p + nu Delta u + f$ con $latex nu >0, x in mathbb{R}^3, t geq 0$
$latex nabla cdot u = 0$
$latex u(x,0) = u_0$
donde cada partícula en el tiempo $latex t$ está en la posición $latex x = (x_1,x_2,x_3)$ del dominio que ocupa el fluido $latex Omega subset mathbb{R}^3$, $latex u(x,t) = (u_1(x,t), u_2(x,t), u_3(x,t))$ es el campo de velocidades, $latex p = p(x,t)$ son las presiones en el seno del fluido y $latex rho = rho(x,t)$ es la densidad. Además, $latex nu = cte geq 0$ es la viscosidad y $latex f$ la fuerza externa.
La fuerza exterior debe verificar:
$latex |partial_x^alphapartial_t^m f| leq C_{alpha,k,m}(1+|x|+t)^{-k}$ para todo $latex alpha, k, m > 0$
y el dato inicial las siguientes condiciones de regularidad:
$latex |partial_x^alpha u_{0i}| leq C_{alpha,k}(1+|x|)^{-k}$ para todo $latex alpha, k > 0$
Las soluciones $latex (u,p)$ admisibles para $latex x in mathbb{R}^3$ estan o en $latex C^{infty}(mathbb{R}^3 times [0,infty))$ con decaimiento en el infinito de la presión y de energía finita, es decir, $latex int_{mathbb{R}^3} |u|^2 dx < infty$ para todo $latex t$, o estan en $latex C^{infty}(mathbb{T}^3 times [0,infty))$ periódicas y la presión de media cero.
Sea $latex u_0$ satisfaciendo las condiciones de regularidad. El problema del Instituto Clay consiste, entonces, en determinar si siempre existen soluciones admisibles para $latex u_0$ o si existe algún caso en que no.