Notas personales: pequeñas dosis de ciencia (y tecnología:) desde mi oficina…
En el cáculo de este post, como $latex mathcal{L}_X dalpha = d mathcal{L}_X alpha$, y en este caso conocemos $latex alpha$, también podemos hacer: $latex mathcal{L}_{[X,Y]}d alpha = dmathcal{L}_Z alpha = d big [ mathcal{L}_{(-4 frac{partial}{partial x} – 12y frac{partial}{partial z})} (2xy,dz – z , dx big ])$ Calculamos, en primer lugar, $latex mathcal{L}_Z alpha$: …
Seguir leyendo «Cálculo de la derivada de Lie de la diferencial exterior de una n-forma.»
Ya nos apareció la derivada de Lie. Con los datos de este post, ¿Cómo calcularíamos $latex mathcal{L}_{[X,Y]} beta$ con $latex beta := d alpha$? Primero necesitamos calcular el corchete de Lie de los campos dados: $latex Z:=[X,Y] = -4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z}$ y que es otro campo vectorial, a continuación necesitamos la $latex 2$-forma …
Seguir leyendo «Cálculos típicos en variedades diferenciables: la derivada de Lie.»
Realizaremos algunos cálculos típicos en variedades diferenciables. Para ello, vamos a suponer que tenemos el campo vectorial $latex X = -4y frac{partial}{partial x} + 9x frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$ y el campo vectorial $latex Y=-frac{partial}{partial y} + 3x frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$. Tenemos tambien la $latex 1$-forma $latex alpha = 2xy dz …
En el artículo «MAGMA: a three-dimensional, Lagrangian magnetohydrodynamic code for merger applications» de S. Rosswog y D. Price comentan como introducir campos magnéticos en SPH. Las ecuaciones ya discretizadas quedan: Ecuación de densidad: $latex rho = sum_b m_b W(r-r_b,h)$ Ecuación del momento (conh: «grad-h» term, mag: magnetic force term, g: self-gravity and gravitational softening term) …
Integración en el plano complejo. Definición (Camino, camino opuesto y caminos equivalentes): Un camino es una aplicación $latex gamma:[a,b] longrightarrow mathbb{C}$ de clase $latex C^1$ a trozos. Si además $latex gamma(a) = gamma(b)$ entonces tenemos un camino cerrado. Se llama camino opuesto de $latex gamma$ a la aplicación $latex (-gamma):[-b,-a] longrightarrow mathbb{C} ,/, t mapsto …
Seguir leyendo «Integración en el plano complejo. Formula y teorema de Cauchy para circunferencias.»
El Dr. Treb Lae y la Dra. Aini Vadh simulan colisiones de objetos compactos. Para poder hacerlas es para lo que me utilizan. Mi nombre es Tnala y soy una supercomputadora. Pero no una cualquiera, no, soy una de las que aparece en el TOP500. —Vamos a hacer otra simulación —dice Treb—. ¿Qué colocamos esta …
Seguir leyendo «Una pequeña historia para el diagrama de comunicación de nuestra aplicación.»
Definición (Función exponencial): Sea $latex z in mathbb{C}$, definimos: $latex exp(z) = e^z := sum_{n geq 0} frac{z^n}{n!} in C^infty(mathbb{C})$. Propiedades: Es sencillo verificar que $latex (e^z)’ = e^z$, $latex e^{z+w} = e^z e^w$ y $latex e^z neq 0, e^{-z} = frac{1}{e^z}$. Además: $latex e^z = 1 Leftrightarrow z = 2pi n i$ con $latex …
Seguir leyendo «La función exponencial y logaritmo complejas. Ramas del logaritmo.»
El software DualSPHysics es la versión paralela con CPUs y GPUs de SPHysics. El código se ha implementado esta vez en C++ y CUDA. A continuación mostramos dos diagramas de colaboración de DualSPHysics generados automáticamente por doxygen,
Definición (Función holomorfa): Sean $latex U subset mathbb{C}$ abierto, $latex f: U longrightarrow mathbb {C}$ y $latex z_0 in U$. Decimos que $latex f$ es holomorfa (derivable o entera) en $latex z_0$ si existe: $latex lim_{z rightarrow z_0} frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = f'(z_0)$. Diremos que es derivable en $latex U$ si lo es todo sus puntos. Representaremos …
Mostramos como, comentando correctamente nuestro diseño, Visual Paradigm for UML nos genera reports en PDF o HTML con documentación sobre nuestra aplicación. A continuación mostramos un pequeño fragmento de como queda el HTML:
Consideraremos el plano complejo $latex mathbb{C}$ dotado de la topología inducida a partir del módulo con la distancia $latex d(z,w) = |z-w|$. Llamaremos disco abierto de centro $latex z_0$ y radio $latex r$ al conjunto: $latex D(z_0,r):= { z in mathbb{C}: |z-z_0|<r }$. Dada una sucesión de números complejos $latex { z_n }_{n geq 0}$, …
Cuando exigimos que las funciones de transición del atlas que recubre una variedad diferenciable sean holomorfas podemos decir que tenemos una variedad compleja. En particular, toda variedad compleja de dimensión $latex n$ será una variedad diferenciable de dimensión $latex 2n$ dotada de una orientación natural. Las superfícies de Riemann, o los grupos de Lie con …
Nada que se mueva en el tejido del espacio-tiempo puede superar la velocidad de la luz. Sin embargo, el propio tejido no esta sometido a esta restricción (o al menos eso sugiere la teoría de la inflación cósmica para resolver el problema del horizonte). La materia provoca deformación en el espacio-tiempo. Lo que propone M. …
Seguir leyendo «Viajes superlumínicos mediante warp drive (impulso por deformación)»
Otro diagrama disponible en UML 2 es el diagrama de comunicación. El diagrama de comunicación permite modelar la interacción entre los diferentes objetos que se produce mediante mensajes en secuencia, es decir, muestra que mensajes se pasan los objetos entre si y en que orden. Es un diagrama muy útil, pues muestra tanto información estática, …
En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, también explica el formalismo $latex 3+1$. Resolver las ecuaciones de campo de Einstein en la práctica es complicado, ya que son un sistema de $latex 10$ EDPs en $latex 4D$ acopladas y no lineales con muchísimos términos. Se conocen soluciones exactas en situaciones muy …
Seguir leyendo «El formalismo 3+1 de la relatividad numérica.»
Ya hemos comentado que podemos ver un campo tensorial diferenciable como una generalización de funciones, campos vectoriales y $latex 1$-formas. Estudiaremos ahora el caso de las métricas. Como comentamos en un post anterior, una métrica de Riemann: $latex g_m: T_mM times T_mM longrightarrow mathbb{R}$ podemos verla como un campo tensorial dos veces covariante, de tipo …
Seguir leyendo «Métricas como campos tensoriales sobre variedades.»
Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas. Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo …
Sean $latex V_1, cdots, V_r$ espacios vectoriales de dimensión finita sobre $latex mathbb{R}$ y sean $latex V_1^*, cdots, V_r^*$ sus espacios duales. Definimos el producto tensorial como el espacio vectorial de aplicaciones multilineales de $latex V_1^* times ldots times V_r^*$ en $latex mathbb{R}$, es decir: $latex V_1 otimes ldots otimes V_r := mathcal{L}(V_1^* times ldots …
Seguir leyendo «Algebra tensorial y campos tensoriales sobre variedades.»
Dada una variedad diferenciable $latex M$, una curva diferenciable en $latex M$ es una aplicación diferenciable $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ donde $latex a,b in mathbb{R}$ y $latex a<b$. Dado un punto $latex m$: denotaremos por $latex mathcal{C}(M,m)$ al conjunto de curvas diferenciables $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ tales que $latex a<0<b$ y $latex alpha(0) = m$. …
Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis «Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues» de I. Cordero podemos encontrarlas. Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos …
Desde un punto de vista astrofísico, un BH es el resultado final de algunos tipos de colapso gravitatorio de objetos estelares concretos. Desde un punto de vista geométrico, un BH es una solución de las ecuaciones de Einstein que contiene una singularidad, curvatura infinita, en la métrica del espacio-tiempo. Llamamos horizonte a la frontera del …
Seguir leyendo «Agujeros negros (BHs) en relatividad numérica.»
En el libro «Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups» de F. Warner, encontramos que un grupo de Lie es una variedad diferenciable $latex G$ en la que tenemos definida una operación $latex G times G longrightarrow G$ tal que: $latex rho: G times G longrightarrow G ,/, (sigma,tau) mapsto rho(sigma,tau) = sigma tau^{-1}$ es …
Junto al diagrama de clases, que forma parte de los diagramas de modelado estructurado (visión estática del modelo) que ya hemos comentado, existen otros diagramas de modelado de comportamiento (visión dinámica del modelo) ampliamente utilizados como son los diagramas de casos de uso y los diagramas de secuencia. El diagrama de casos de uso muestra …
Seguir leyendo «Diagrama de casos de uso y diagrama de secuencia UML»
En el libro «Foundations of differenciable manifolds and Lie groups» de Warner comenta como construir nuevas variedades diferenciables a partir de variedades conocidas. Dada una variedad $latex (M,mathcal{A})$ donde $latex mathcal{A} = { varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^n }_{i in I}$ y si consideramos un abierto $latex N subset M$ entonces $latex (N,mathcal{A}_N)$ con: $latex mathcal{A}_N …
VisIt es una herramienta open source que nos permite visualizar y analizar conjuntos de datos extremadamente grandes, del orden de tera y peta, en multiples plataformas. Podemos visualizar rápidamente nuestros datos, animarlos, manipularlos y almacenar los resultados obtenidos. Algunas características interesantes son: Tipos estandar de gráficos: Curve plot, Mesh plot, Contour plot, Surface plot, Vector …
En el libro «Geometria Diferencial i Relativitat» de J. Girbau aparecen algunos ejemplos concretos de variedades diferenciables. Para empezar, $latex { (mathbb{R}^n, id_{mathbb{R}^n}) }$ es un atlas que dota al espacio euclídeo $latex mathbb{R}^n$ de estructura de variedad diferenciable de dimensión $latex n$ y clase $latex C^infty$. También podemos considerar la esfera $latex S^n(r)$ ($latex …
Seguir leyendo «Algunas variedades diferenciables concretas.»
En la tesis doctoral «Relativistic simulations of compact object mergers for nucleonic matter and strange quark matter» de A. Bauswein comenta la implementación numérica del modelo físico para simular colisiones de objetos compactas. La implementación numérica consta de dos partes: una que resuelve las ecuaciones de Euler tridimensionales relativistas que nos dan la evolución hidrodinámica …
Dos variedades diferenciales $latex M$ y $latex N$ son difeomorfas si existe un difeomorfismo entre ellas. Sin considerar ninguna estructura adicional, dos variedades difeomorfas son equivalentes. Sea $latex f:M longrightarrow N$ una aplicación entre variedades de clase $latex C^k$. Diremos que $latex f$ es un difeomorfismo de clase $latex C^k$ si es bijectiva, diferenciable y …