septiembre 2012

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En el cáculo de este post, como $latex mathcal{L}_X dalpha = d mathcal{L}_X alpha$, y en este caso conocemos $latex alpha$, también podemos hacer:

$latex mathcal{L}_{[X,Y]}d alpha = dmathcal{L}_Z alpha = d big [ mathcal{L}_{(-4 frac{partial}{partial x} – 12y frac{partial}{partial z})} (2xy,dz – z , dx big ])$

Calculamos, en primer lugar, $latex mathcal{L}_Z alpha$:

$latex mathcal{L}_Z (2xy , dz) – mathcal{L}_Z (z , dx)$

Por una parte, tenemos:

$latex mathcal{L}_Z (2xy , dz) = (mathcal{L}_Z 2xy) , dz + 2xy , mathcal{L}_Z dz =$

$latex = (-4 frac{partial}{partial x} 2xy – 12y frac{partial}{partial z} 2xy ) , dz + 2xy , d(-4 frac{partial}{partial x} z – 12y frac{partial}{partial z} z) =$

$latex = -24xy , dy – 8y , dz$

Y por otra:

$latex mathcal{L}_Z (z , dx) = mathcal{L}_Z z , dx + z , mathcal{L}_Z dx =$

$latex = (-4 frac{partial}{partial x} z – 12y frac{partial}{partial z} z) , dx + z , d(-4 frac{partial}{partial x} x – 12y frac{partial}{partial z} x) = $

$latex = -12y , dx$

Por lo tanto, tenemos:

$latex 12y , dx -24xy ,dy – 8y , dz$

Finalmente, solo queda calcular:

$latex d big [ 12y , dx -24xy ,dy – 8y , dz big ] = $

$latex = 12 , dy wedge dx – 24 , d(xy) wedge dy – 8 , dy wedge dz = $

$latex 12 , dy wedge dx – 24 , (y , dx + x , dy) wedge dy – 8 , dy wedge dz = $

$latex -12(2y + 1) , dx wedge dy – 8 , dy wedge dz$

ya que $latex -24x , dy wedge dy = 0$ por la propiedad de que $latex d^2 = 0$, obteniendo así el mismo resultado que anteriormente.

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Ya nos apareció la derivada de Lie. Con los datos de este post, ¿Cómo calcularíamos $latex mathcal{L}_{[X,Y]} beta$ con $latex beta := d alpha$?

Primero necesitamos calcular el corchete de Lie de los campos dados:

$latex Z:=[X,Y] = -4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z}$

y que es otro campo vectorial, a continuación necesitamos  la $latex 2$-forma resultante de calcular la diferencial exterior de la $latex 1$-forma::

$latex beta = 2y+1,dx wedge dz + 2x,dywedge dz$

y finalmente calcular la derivada de Lie de la forma respecto del campo.

Todos los cálculos se reduciran a saber aplicar la derivada de Lie a funciones, campos vectoriales y a la diferencial exterior de $latex 1-$formas sabiendo que es una derivación:

  1. $latex mathcal{L}_Xh = X(h)$
  2. $latex mathcal{L}_XY = [X,Y]$
  3. $latex mathcal{L}_X dalpha = d mathcal{L}_X (alpha)$

de manera que:

$latex mathcal{L}_Z beta = mathcal{L}_Z (2y+1,dx wedge dz + 2x,dywedge dz) = $

$latex mathcal{L}_Z (2y+1 , dx wedge dz) + mathcal{L}_Z (2x , dy wedge dz) = $

$latex mathcal{L}_Z(2y+1) , dx wedge dz + (2y +1) mathcal{L}_Z(dx) wedge dz + (2y+1) , dx wedge mathcal{L}_Z(dz) + $

$latex mathcal{L}_Z(2x) , dy wedge dz + 2x mathcal{L}_Z(dy) wedge dz + 2x , dy wedge mathcal{L}_Z(dz))$.

Para evitar errores, calculamos separadamente cada derivada de Lie:

$latex mathcal{L}_Z (2y+1) = Z(2y+1) = [X,Y](2y+1) = (-4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z})(2y+1) = $

$latex = -4 frac{partial}{partial x}(2y+1) -12y frac{partial}{partial z}(2y+1) = 0$

$latex mathcal{L}_Z (dx) = d mathcal{L}_Z x = d([X,Y](x)) = d(-4 frac{partial}{partial x}x -12y frac{partial}{partial z}x) = d(-4)=0$

$latex mathcal{L}_Z(dz) = d mathcal{L}_Z z = d([X,Y](z) = d(-4 frac{partial}{partial x}z -12y frac{partial}{partial z}z)) = -12 dy$

$latex mathcal{L}_Z (2x) = [X,Y](2x) = -4 frac{partial}{partial x}2x -12y frac{partial}{partial z}2x = -8$

$latex mathcal{L}_Z (dy) = d mathcal{L}_Z y = d([X,Y](y)) = d(-4 frac{partial}{partial x}y -12y frac{partial}{partial z}y) = 0$

$latex mathcal{L}_Z(dz) = -12 dy$

Por lo que, finalmente, tenemos:

$latex -12(2y+1) , dx wedge dy – 24 , dy wedge dy – 8 , dy wedge dz$

y como $latex d^2 = 0$, nos queda:

$latex -12(2y+1) , dx wedge dy -8 , dy wedge dz$

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Realizaremos algunos cálculos típicos en variedades diferenciables. Para ello, vamos a suponer que tenemos el campo vectorial

$latex X = -4y frac{partial}{partial x} + 9x frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$

y el campo vectorial

$latex Y=-frac{partial}{partial y} + 3x frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$.

Tenemos tambien la $latex 1$-forma $latex alpha = 2xy dz – z dx$. En este caso trabajamos con la variedad $latex M = mathbb{R}^3$ (en física los escribiríamos $latex X(x,y,z) = (-4y,9x,1)$ o $latex vec{Y}=(0,-1,3x)$).

Empezaremos calculando un corchete de Lie. ¿Cómo queda el cálculo de $latex [X,Y]$? Si escribimos el corchere con los campos concretos nos queda:

$latex [X,Y] = [-4y frac{partial}{partial x} + 9x frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z},-frac{partial}{partial y} + 3x frac{partial}{partial z}]$.

Lo primero que hacemos es aplicar que el corchete de Lie es bilineal, por lo que la expresión anterior queda:

$latex [-4y frac{partial}{partial x},-1 frac{partial}{partial y} ] + [-4y frac{partial}{partial x}, 3x frac{partial}{partial z}] + $

$latex + [9x frac{partial}{partial y},-1 frac{partial}{partial y}] + [9x frac{partial}{partial y}, 3x frac{partial}{partial z}] + $

$latex + [1 frac{partial}{partial z},-1 frac{partial}{partial y}] + [1 frac{partial}{partial z}, 3x frac{partial}{partial z}]$

Se puede demostrar que si $latex g,h in C^infty(M)$ y $latex X,Y in mathfrak{X}(M)$ entonces:

$latex [gX,hY] = gX(h)Y – hY(g)X + gh[X,Y]$,

por lo que, si la aplicamos a nuestro caso concreto, nos queda:

$latex -4y frac{partial(-1)}{partial x} frac{partial}{partial y} + 1 frac{partial (-4y)}{partial y} frac{partial}{partial x} + (-4y)(-1)[frac{partial}{partial x},frac{partial }{partial y}] + $

$latex -4y frac{partial(3x)}{partial x} frac{partial}{partial z} – 3x frac{partial (-4y)}{partial z} frac{partial}{partial x} + (-4y)(3x)[frac{partial}{partial x},frac{partial }{partial z}] + $

$latex 9x frac{partial(-1)}{partial y} frac{partial}{partial y} + 1 frac{partial (9x)}{partial y} frac{partial}{partial y} + (9x)(-1)[frac{partial}{partial y},frac{partial }{partial y}] + $

$latex 9x frac{partial(3x)}{partial y} frac{partial}{partial z} – 3x frac{partial (9x)}{partial z} frac{partial}{partial y} + (9x)(3x)[frac{partial}{partial y},frac{partial }{partial z}] + $

$latex 1 frac{partial(-1)}{partial z} frac{partial}{partial y} + 1 frac{partial (1)}{partial y} frac{partial}{partial z} + (1)(-1)[frac{partial}{partial z},frac{partial }{partial y}] + $

$latex 1 frac{partial(3x)}{partial z} frac{partial}{partial z} – 3x frac{partial (1)}{partial z} frac{partial}{partial z} + (1)(3x)[frac{partial}{partial z},frac{partial }{partial z}]$.

Realizando las derivadas parciales indicadas ($latex frac{partial (-1)}{partial x} =0, frac{partial (-4y)}{partial y} = 4$, …) y teniendo en cuenta que el corchete de Lie de campos coordenados es nula, nos queda:

$latex [X,Y] = -4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$.

Vamos a calculara ahora $latex dalpha$. Para empezar, aprovechamos que es lineal, por lo que:

$latex dalpha = d(2xydz – zdx) = d(2xydz) – d(zdx)$

y ahora aplicamos la definición del operador diferencial exterior a cada sumando:

$latex d(2xy)wedge dz – d(z) wedge dx$

finalmente, como la diferencial exterior sobre funciones es la diferencial ordinaria, aplicando las propiedades distributiva, antisimétrica y $latex d^2=0$, nos queda:

$latex (2ydx + 2xdy) wedge dz – dz wedge dx = $

$latex 2y , dx wedge dz + 2x , dy wedge dz + dx wedge dz$

Por lo, finalmente, nos queda:

$latex dalpha = 2y+1,dx wedge dz + 2x,dywedge dz$

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En el artículo “MAGMA: a three-dimensional, Lagrangian magnetohydrodynamic code for merger applications” de S. Rosswog y D. Price comentan como introducir campos magnéticos en SPH. Las ecuaciones ya discretizadas quedan:

Ecuación de densidad:

$latex rho = sum_b m_b W(r-r_b,h)$

Ecuación del momento (conh: “grad-h” term, mag: magnetic force term, g: self-gravity and gravitational softening term)

$latex frac{d}{dt}v_{a,MHD} = frac{d}{dt} (v_{a,h}+v_{a,h,dis}+v_{a,g}+v_{a,mag}+v_{a,mag,dis})$

donde

$latex frac{d}{dt}v_{a,h} = -sum_b m_b big ( frac{P_a}{Omega_a rho_a^2} nabla_a W_{ab}(h_a)+ frac{P_b}{Omega_b rho_b^2} nabla_a W_{ab}(h_b) big )$

$latex frac{d}{dt}v_{a,h,dis} = $

$latex frac{d}{dt}v_{a,g} = -G sum_b m_b big [ frac{phi’_{ab}(h_a) + frac{phi’_{ab}(h_b)}{}}{2} big ]hat{e}_{ab}$

$latex -frac{G}{2} sum_b m_b big [ frac{zeta_a}{Omega_a} nabla_a W_{ab}(h_a) + frac{zeta_b}{Omega_b} nabla_a W_{ab}(h_b) big ]$

con

$latex phi’_{ab} = frac{partial phi}{partial|r_a-r_b|}$, $latex zeta_k := frac{partial h_k}{partial rho_k} sum_b m_b frac{partial phi_{kb}(h_k)}{partial h_k}$

y

$latex Omega_a := big ( 1- frac{partial h_a}{partial rho_a} cdot sum_b m_b frac{partial}{partial h_a} W_{ab}(h_a) big )$

$latex frac{d}{dt}v_{a,mag} = – sum_b frac{m_b}{mu_0} big { frac{B_a^2 / 2}{Omega_a rho_a^2} nabla_a W_{ab}(h_a) + frac{B_b^2 / 2}{Omega_b rho_b^2} nabla_a W_{ab}(h_b) }$

$latex + sum_b frac{m_b}{mu_0} big { frac{B_a(B_a cdot overline{nabla_a W_{ab}}) – B_b(B_b cdot overline{nabla_a W_{ab}})}{rho_a rho_b} big }$

con

$latex overline{nabla_a W_{ab}} = frac{1}{2} big [ frac{1}{Omega_a} nabla_a W_{ab}(h_a) + frac{1}{Omega_b} nabla_a W_{ab}(hb) big ]$

$latex frac{d}{dt}v_{a,mag,dis} = $

Ecuación de la energía (con h: “grad-h” term, AV: Artificial Viscosity term y C: Condutivity):

$latex frac{d}{dt}u_{a,MDH} = frac{d}{dt} (du_{a,h} + du_{a,AV} + du_{a,C})$

donde

$latex frac{d}{dt}u_{a,h} = frac{1}{Omega_a} frac{P_a}{rho_a^2} sum_b m_b v_{ab} cdot nabla_a W_{ab}(h_a) $

$latex frac{d}{dt}u_{a,AV} = $

$latex frac{d}{dt}u_{a,C} = $

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Integración en el plano complejo.

Definición (Camino, camino opuesto y caminos equivalentes): Un camino es una aplicación

$latex gamma:[a,b] longrightarrow mathbb{C}$

de clase $latex C^1$ a trozos. Si además $latex gamma(a) = gamma(b)$ entonces tenemos un camino cerrado.

Se llama camino opuesto de $latex gamma$ a la aplicación

$latex (-gamma):[-b,-a] longrightarrow mathbb{C} ,/, t mapsto (-gamma)(t):=gamma(-t)$

o, de manera equivalente, para mantener el mismo dominio

$latex (-gamma):[a,b] longrightarrow mathbb{C} ,/, t mapsto (-gamma)(t):=gamma(a+b-t)$.

Dados dos caminos $latex alpha:[a,b] longrightarrow mathbb{C}$ y $latex beta:[c,d] longrightarrow mathbb{C}$ son equivalentes si existe $latex varphi:[c,d] longrightarrow [a,b]$ biyectiva de clase $latex C^1$a trozos creciente de manera que $beta = alpha circ varphi$.

Definición (Integración a lo largo de un camino): Sea $latex f:U subset mathbb{C} longrightarrow mathbb{C}$ una función continua y sea $latex gamma:[a,b] longrightarrow mathbb{C}$ un camino $latex C^1$ tal que $latex gamma^* := gamma([a,b]) subset U$. Entonces:

$latex int_gamma f(z) dz = int_a^b f(gamma(t)) gamma'(t) dt$

Propiedades: Dada $latex f:A subset mathbb{C} longrightarrow mathbb{C}$ es sencillo demostrar

  1. $latex int_gamma a f(z)+b g(z) dz = a int_gamma f(z)dz + b int_gamma f(z)dz$.
  2. Si $latex alpha$ y $latex beta$ son equivalentes en $latex A$ entonces $latex int_alpha f(z)dz = int_beta f(z)dz$.
  3. $latex int_gamma f(z)dz = -int_{-gamma} f(z)dz$.
  4. Si $latex gamma = alpha cup beta$ entonces $latex int_gamma f(z)dz = int_alpha f(z)dz + int_beta f(z)dz$.
  5. $latex |int_gamma f(z)dz| leq M L(gamma)$ donde $latex M:= max { |f(z)|: z in gamma^* }$ y $latex L(gamma)$ es la longitud de la curva $latex gamma$.
  6. Teorema fundamental de cálculo: $latex int_gamma f(z) dz = F(gamma(b)) – F(gamma(a))$, siendo $latex F$ una primitiva de $latex f$. En particular, si $latex gamma$ es cerrado y $latex gamma(a) = gamma(b)$ entonces $latex int_gamma f(z) dz = 0$.

Teorema de Cauchy.

Teorema (de Cauchy)

Corolario (Existencia de primitiva de una función analítica)

Teorema (de Morera)

Fórmula de Cauchy.

Fórmula integral de Cauchy: Sea $latex A$ un abierto, sea $latex overline{D(z_0,R)} subset A$ y $latex f in mathcal{H}(A)$. Entonces

$latex f(z) = frac{1}{2 pi i} int_{C(z_o,R)} frac{f(u)}{u-z} du$ siempre que $latex |z-z_0|<R$

Fórmula integral de Cauchy para derivadas: Sea $latex f in mathcal{H}(A)$, $latex overline{D(z_0,R)} subset A$. Entonces

$latex f^{n)}(z) = frac{n!}{2 pi i} frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du,, forall z in D(z_0,R)$.

Teorema (de Liouville):

Teorema (fundamental del álgebra):

Teorema (de Weierstrass):

Definición (Indice de un punto respecto de un camino): Sea $latex gamma$ un camino y sea $latex A = mathbb{C} – gamma^*$. Entonces se define el índice de $latex z in A$ respecto de $latex gamma$ al número:

$latex ind_gamma(z) = frac{1}{2pi i} int_gamma frac{du}{u-z}$

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El Dr. Treb Lae y la Dra. Aini Vadh simulan colisiones de objetos compactos. Para poder hacerlas es para lo que me utilizan. Mi nombre es Tnala y soy una supercomputadora. Pero no una cualquiera, no, soy una de las que aparece en el TOP500.

—Vamos a hacer otra simulación —dice Treb—. ¿Qué colocamos esta vez?

—Probemos con una estrella de neutrones y un agujero negro. Pero vamos a cambiar algunas cosillas —contesta Aini.

Coge el ratón, se inclina sobre la pantalla y empieza a trabajar. Para empezar, distribuye los objetos sobre el escenario de la simulación, a continuación, define los parámetros que caracterizan a cada uno de los objetos compactos y, finalmente, modifica algunas cuestiones referentes a la propia simulación. Pero cuando ya parece que lo tiene, se reclina sobre la silla y se queda pensando. No lo tiene claro. Casi siempre, antes de empezar cualquier simulación, cambian una y otra vez las cosas. Es por eso que, hasta que no empiezo a simular, no pierdo el tiempo creado una y otra vez los diferentes objetos. Simplemente me guardo la información para luego.

—Creo que será mejor trabajar solo con estrellas —afirma finalmente Aini con determinación—. Probemos con dos estrellas con estas ecuaciones de estado, ¿te parece?

Treb se lo piensa. Tras el silencio esboza una leve sonrisa. Acaba de entender lo que pretende Aini.

—Perfecto. Creo que esta vez si que lo conseguimos —contesta feliz—. ¡Eres realmente brillante!

Aini sonríe contenta e inmediatamente lanza la simulación.

—¡Ya está! —exclama—. Vamonos. A ver si mañana tenemos buenas noticias.

Se marchan a casa a dencansar y me dejan. Yo no necesito descansar. Ahora es cuando me pongo manos a la obra.

Lo primero que hago es crear el escenario y colocar los objetos tal y como me lo han definido, para lo que utilizo la información que me he guardado previamente. A partir de ahora si que habrá cuerpos compactos creados de verdad. Inicializo el campo gravitatorio (una malla con nodos para la parte elíptica), añadiendo los posibles BH, e inicializó los fluidos de las NS, SS o DW (las partículas para la parte hiperbólica) junto con la descomposición espacial para las relaciones de partículas vecinas. Me guardo el estado inicial.

Ahora si que empiezo con la simulación, que es un vaivén entre la parte elíptica y la hiperbólica, es decir, miraré como el fluido me deforma el espacio-tiempo, desplazaré el fluido según esa deformación y volveré buscar como esa nueva distribución del fluido me modifica nuevamente el espacio-tiempo y vuelta a empezar.

Técnicamente, primero resuelvo el sistema elíptico para el paso de tiempo actual con lo que obtengo una métrica y una curvatura que necesitaré conocer para desplazar las partículas del fluido, que seguirán geodésicas. A continuación tengo que desplazar el fluido. Necesito conocer la densidad, la presión y la velocidad que recuperaré de la densidad, el momento y la energía. Para cada partícula calculo el valor de sus variables conservadas, para lo que necesito sus vecinas, el kernel, las eos y el solve rk4. Lo ideal sería tener un sistema que me resuelva esto para todas las partículas de forma simultánea (¿se puede?) y que en un futuro paralelizaré. Una vez resuelto, desplazo las partículas, actualizo sus vecinos y muevo los agujeros. Almaceno el estado. Finalmente, y antes de volver a empezar, revisó si el paso de tiempo es el apropiado (la simulación de la perdida de momento y de energía fruto de la radiación gravitacional en forma de ondas gravitatorias, así como la viscosidad y la conductividad térmica ya están incluidas en las ecuaciones discretizadas que usamos?).

Hago esto tantas veces como me han configurado, de manera que, en cuanto acabo, tengo almacenados el estado de la simulación en cada instante de tiempo, por lo que Treb i Aini podran visualizarlo y estudiarlo. Creo que el resultado si que es el que se esperaban. Me alegro por ellos (si es que puede una máquina alegrarse :-)).

La siguiente figura muestra un diagrama en el que se ve como se han comunicado los diferentes objetos:

A proposito, ¿sabeis a quién hacen honor los nombres de Treb Lae, Aini Vadh y Tnala? Envia un comentario con la respuesta correcta y participarás en el sorteo… 🙂

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Definición (Función exponencial): Sea $latex z in mathbb{C}$, definimos:

$latex exp(z) = e^z := sum_{n geq 0} frac{z^n}{n!} in C^infty(mathbb{C})$.

Propiedades: Es sencillo verificar que $latex (e^z)’ = e^z$, $latex e^{z+w} = e^z e^w$ y $latex e^z neq 0, e^{-z} = frac{1}{e^z}$. Además:

$latex e^z = 1 Leftrightarrow z = 2pi n i$ con $latex n in mathbb{N}$.

Por lo que la función exponencial compleja es periódica de periodo imaginario $latex 2pi$.

Definición (Funciones trigonométricas e hiperbólicas): Sea $latex z in mathbb{C}$, definimos:

$latex sin(z):=frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$, por lo que $latex sin(z) = sum_{n geq 0} (-1)^n frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$latex cos(z):=frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$, por lo que $latex cos(z) = sum_{n geq 0} (-1)^n frac{z^{2n}}{(2n)!}$

$latex sinh(z):=frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$ y $latex cosh(z):=frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$

Propiedades: Las funciones trigonométricas y las hiperbólicas son holomorfas y de clase $latex C^infty(mathbb{C})$. Además, se cumple:

$latex sin(z pm w) = sin(z) cos(w) pm cos(z) sin(w)$,

$latex cos(z pm w) = cos(z) cos(w) mp sin(z) sin(w)$,

$latex sinh(z pm w) = sinh(z) cosh(w) pm cosh(z) sinh(w)$,

$latex cosh(z pm w) = cosh(z) cosh(w) pm sinh(z) sinh(w)$.

Además, $latex sin^2 z + cos^2 z = 1$, son $latex 2pi$-periódicas, $latex sin(z) = 0 Leftrightarrow z = n pi$ y $latex cos(z)=0 Leftrightarrow z = frac{pi}{2} + n pi$ con $latex n in mathbb{N}$.

Definición (Argumento): Sea $latex z in mathbb{C} – { 0}$, diremos que $latex alpha$ es un argumento de $latex z$ si $latex z = |z|(cos alpha + i sin alpha)$. Definimos:

$latex arg z := { alpha in mathbb{R}: z=|z|(cos alpha + i sin alpha)}$,

y si $latex alpha_0 in arg z$ entonces:

$latex arg z := { alpha_0 + 2 pi n : n in mathbb{Z} }$.

Definición (Logaritmo y ramas del logaritmo): Sea $latex z in mathbb{C}-{0}$. Diremos que $latex w in mathbb{C}$ es un logaritmo de $latex z$ si $latex e^w = z$. Así pues, definiremos:

$latex log z := { w in mathbb{C}: e^w = z}$.

Además, si $latex w=x+iy$ entonces $latex w = log z = ln |z| + i arg z$

Definición: Sea $latex alpha in mathbb{R}$ y $latex H_alpha={ -r(cos alpha + i sin alpha): r geq 0 }$. Definimos $latex arg_alpha: mathbb{C} – H_alpha longrightarrow ]alpha – pi, alpha + pi[$ como el único argumento de $latex z$ en el intervalo $latex ]alpha – pi, alpha + pi[$.

Definición: Sea $latex alpha in mathbb{R}$ y $latex H_alpha = { -r (cos alpha + i sin alpha): r geq 0 }$. Entonces:

$latex log_alpha: mathbb{C} – H_alpha longrightarrow mathbb{C} / z mapsto log_alpha(z) = ln |z| + i arg_alpha z$

Teorema: La función $latex log_alpha$ es derivable en $latex mathbb{C} – H_alpha$ y la derivada es $latex (log_alpha z)’ = frac {1}{z}$. Además, $latex log_0 (1+z) = sum_{n geq o} (-1)^n frac{z^{n+1}}{n+1}$ donde $latex log_0$ es el logaritmo principal ($latex alpha = 0$ y $latex H_0 = { -r: r geq 0 }$ ). El logaritmo no se puede extender continuamente.

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El software DualSPHysics es la versión paralela con CPUs y GPUs de SPHysics. El código se ha implementado esta vez en C++ y CUDA.

A continuación mostramos dos diagramas de colaboración de DualSPHysics generados automáticamente por doxygen,

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Definición (Función holomorfa): Sean $latex U subset mathbb{C}$ abierto, $latex f: U longrightarrow mathbb {C}$ y $latex z_0 in U$. Decimos que $latex f$ es holomorfa (derivable o entera) en $latex z_0$ si existe:

$latex lim_{z rightarrow z_0} frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = f'(z_0)$.

Diremos que es derivable en $latex U$ si lo es todo sus puntos. Representaremos por $latex mathcal{H}(U)$ al conjunto de todas las funciones holomorfas en $latex U$. Si $latex f in mathcal{H}(U)$ entonces también es continua en $latex U$.

Teorema (Reglas de derivación): es sencillo deducir las reglas de derivación compleja para la suma, producto, cociente y la regla de la cadena.

Teorema: Sea $latex f(z) = sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$ una serie de potencias con radio de convergencia $latex R>0$. Entonces $latex f$ es holomorfa en $latex D(z_0,R)$ y $latex f'(z) = sum_{n geq 1} n c_n z^{n-1}$ con radio de convergencia $latex R$.

Corolario: Si $latex f$ es analítica en $latex U$ entonces $latex f$ es holomorfa en $latex U$ y $latex f in C^{infty}(U)$ (el recíproco veremos que también es cierto).

Definición (Ecuaciones de Cauchy-Riemann): Si $latex f(z) = u + iv$ es derivable en $latex z_0 = x_0 + i y_0$, entonces existen las derivadas parciales $latex u_x, u_y, v_x, v_y$ y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$latex u_x = v_y$ y $latex u_y = -v_x$.

De esta manera, las funciones derivables complejas no son mas que funciones diferenciables de $latex mathbb{R}^2$ cumpliendo unas ecuaciones adicionales.

Teorema (Condición suficiente de derivabilidad): Sea $latex f: U longrightarrow mathbb{C}$ continua con $latex U subset mathbb{C}$ abierto y $latex f(z)=u+iv$. Si las cuatro derivadas parciales $latex u_x, u_y, v_x, v_y$ existen, son continuas en $latex U$ y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces $latex f$ es derivable en $latex U$.

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Mostramos como, comentando correctamente nuestro diseño, Visual Paradigm for UML nos genera reports en PDF o HTML con documentación sobre nuestra aplicación.

A continuación mostramos un pequeño fragmento de como queda el HTML:

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Consideraremos el plano complejo $latex mathbb{C}$ dotado de la topología inducida a partir del módulo con la distancia $latex d(z,w) = |z-w|$. Llamaremos disco abierto de centro $latex z_0$ y radio $latex r$ al conjunto:

$latex D(z_0,r):= { z in mathbb{C}: |z-z_0|<r }$.

Dada una sucesión de números complejos $latex { z_n }_{n geq 0}$, diremos que es convergente a un número complejo $latex z$ cuando $latex |z-z_0| rightarrow 0$ si $latex n rightarrow infty$.

Una serie $latex sum_{n geq 0} z_n$ es convergente a $latex z in mathbb{C}$ cuando la sucesión de sumas parciales $latex { sum_{n=0}^m z_n}_{m geq 0}$ es convergente a $latex z$.

La serie $latex sum_{n geq 0} z_n$ es absolutamente convergente cuando $latex sum_{n geq 0} |z_n|$ converge.
Teorema (Criterio de la raíz o Cauchy, de Dirichlet, de sumación parcial de Abel, de Dirichlet y de Abel): son una serie de criterios que permiten determinar cuando una serie es convergente, absolutamente convergente o divergente.

Una serie de potencias centrada en $latex z_0 in mathbb{C}$, es una serie de la forma:

$latex sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$

con $latex c_n, z in mathbb{C}$. Al punto $latex z_0$ se le llama centro de la serie y a la sucesión $latex { c_n }$ coeficientes de la serie de potencias.

Definición (Radio de convergencia): Definimos el radio de convergencia como:

$latex R = (limsup_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_n|})^{-1} in [0,+infty[$,

donde asumiremos que $latex frac{1}{+infty}=0$ y $latex frac{1}{0} = +infty$ y que $latex R = +infty Rightarrow D(z_0,R) = mathbb{C}$.

Teorema (Cauchy-Hadamard): Sea $latex R$ el radio de convergencia de $latex sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$, entonces la serie converge absolutamente en $latex |z-z_0|<R$ y diverge en $latex |z-z_0|>R$. Además, la serie converge uniformemente en $latex |z-z_0| leq r$ con $latex 0 leq r < R$ (subconjuntos compactos de $latex D(z_0,R)$).

Corolario: la serie de potencias $latex sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$ define una función continua en el interior del disco de convergencia $latex |z-z_0| < R$.

Teorema (Principio de los ceros aislados): Sea

$latex f(z)= sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$

con radio de convergencia $latex R > 0$. Entonces si $latex f(z_0) = 0$ y $latex f$ no es idénticamente nula, existe $latex delta > 0$ tal que $latex f(z) neq 0$ si $latex 0< |z-z_0|< delta$.

Lo que nos dice este principio es, sencillamente, que los ceros de las funciones analíticas no son puntos de acumulación, es decir, que son puntos aislados.

Definición (Función analítica): Sea $latex U subset mathbb{C}$ un abierto, $latex f:U longrightarrow mathbb{C}$ y $latex z_0 in U$. Diremos que $latex f$ es analítica en $latex z_0$ si existe $latex D(z_0,R) subset U$ tal que $latex f$ podemos escribirla mediante una serie de potencias centrada en $latex z_0$ en $latex D(z_0,R)$. Diremos que $latex f$ es analítica en $latex U$ si lo es en cada punto de $latex U$.

Ejemplo: los polinomios y las series de potencias centradas en $latex z_0$ son funciones analíticas en $latex z_0$.

Definición (Prolongación analítica): Si $latex h: V longrightarrow mathbb{C}$ y $latex f: U longrightarrow mathbb{C}$ son dos funciones analíticas con $latex V subset U subset mathbb{C}$ abiertos de manera que $latex f(z) = h(z)$ si $latex z in V$, o sea, $latex f|_V = h$, diremos que $latex f$ es una prolongación analítica de $latex h$.

Teorema (Principio de prolongación analítica): Sea $latex U$ un abierto conexo del plano. Sea $latex V subset U$ un conjunto de puntos que tiene puntos de acumulación en $latex U$, o sea, $latex ac_U(V) neq emptyset$. Entonces, si $latex f$ es analítica en $latex U$ y la restricción de $latex f$ sobre $latex V$ es $latex f|_V$ = 0, entonces $latex f=0$ en $latex U$.

Corolario: Sean $latex f, g$ analíticas en un abierto conexo $latex U$ y sea $latex V subset U$ tal que $latex ac_U(V) neq emptyset$ y $latex f|_V = g|_V$. Entonces $latex f = g$ en $latex U$.

Con todo esto, resulta que las extensiones analíticas son únicas si el dominio de éstas es conexo, es decir, si $latex f: U longrightarrow mathbb{C}$ y $latex g: U longrightarrow mathbb{C}$ con $latex U subset mathbb{C}$ conexo son dos prolongaciones analíticas de $latex h: V longrightarrow mathbb{C}$, entonces $latex f = g$ en todos los puntos. Esto se debe a que $latex f-g: U longrightarrow mathbb{C}$ se anula en $latex V$ que es un conjunto no vacío de $latex U$, y una función analítica que se anula en un conjunto no vacío debe anularse en todo su dominio si este es conexo, por lo que debe ser $latex f-g equiv 0$.

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Cuando exigimos que las funciones de transición del atlas que recubre una variedad diferenciable sean holomorfas podemos decir que tenemos una variedad compleja. En particular, toda variedad compleja de dimensión $latex n$ será una variedad diferenciable de dimensión $latex 2n$ dotada de una orientación natural. Las superfícies de Riemann, o los grupos de Lie con operaciones de grupo holomorfas son ejemplos de variedades complejas.

Las variedades lorentzianas son importantes en relatividad general. La mecánica cuántica tiene su base matemática en los espacios de Hilbert complejos separables ($latex L^2(mathbb{R})$ o $latex mathbb{C}^{2n+1}$).

Existen diferentes maneras de definir el cuerpo de los números complejos. La mas intuitiva es hacer tomar el conjunto $latex mathbb{R} times mathbb{R}$ y definir las operaciones internas:

  • $latex (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2)$ .
  • $latex (x_1,y_1) cdot (x_2,y_2) = (x_1 x_2 – y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1)$.

con $latex (x_1,y_1), (x_2, y_2) in mathbb{R} times mathbb{R}$. Es sencillo comprobar que $latex mathbb{C} := (mathbb{R} times mathbb{R}, +, cdot)$ tiene estructura de cuerpo.

Otra manera mas elegante es ver que $latex mathbb{C} cong frac{mathbb{R}[x]}{(x^2+1)}$ donde $latex (x^2+1)$ es el ideal generado por el polinomio irreducible $latex x^2+1 in mathbb{R}[x]$, pues existe una propiedad que nos dice que un anillo conciente de este tipo tiene estructura de cuerpo.

El análisis complejo se encarga del estudio de las funciones de variable compleja. En próximos posts exponemos de manera breve algunos de los contenidos básicos del área: funciones analíticas, funciones holomorfas, funciones elementales, integración en el plano complejo con formula y teorema de Cauchy y teoremas de Laurent y de los residuos con algunas aplicaciones.

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Nada que se mueva en el tejido del espacio-tiempo puede superar la velocidad de la luz. Sin embargo, el propio tejido no esta sometido a esta restricción (o al menos eso sugiere la teoría de la inflación cósmica para resolver el problema del horizonte).

La materia provoca deformación en el espacio-tiempo. Lo que propone M. Alcubierre en su artículo “The Warp Drive: Hyper-fast Transluminic within General Relativity”, es crear una distorsión local del espacio-tiempo de manera que produzca una expansión detrás de la nave espacial, y una contracción opuesta por delante de ella. De esta manera, es el propio espacio-tiempo el que empuja lejos de la Tierra a la nave y la atrae hacia la estrella distante a la que se pretende viajar.

En el formalismo $latex 3+1$, que permite una clara interpretación de los resultados, la métrica se escribe.

$latex ds^2 = -dtau^2 = g_{alphabeta}dx^alpha dy^beta = $

$latex = -(alpha^2 – beta_i beta^i) dt^2 + 2 beta_i dx^i dt + gamma_{ij} dx^i dx^j$

Una manera de conseguir lo pretendido es hacer:

$latex alpha = 1, beta^x = -v_s(t)f(r_s(t)), beta^y = beta^z = 0, gamma_{ij}=delta_{ij}$

con

$latex v_s(t)=frac{dx_s(t)}{dt}$ y $latex r_s(t)=[(x-x_s(t))^2+y^2+z^2]^{1/2}$

y

$latex f(r_s) = frac{tanh(sigma(r_s+R))-tanh(sigma(r_s-R))}{2 tanh (sigma R)}$

con $latex R>0$ y $latex sigma >0$ arbitrarios.

La siguiente imagen del artículo original de Alcubierre muestra como queda deformado el espacio-tiempo con esta métrica (corresponde a los valores $latex sigma=8$ y $latex R = v_s =1$ en la métrica) consiguiendo la burbuja warp donde se sitúa la nave:

El Prof. Dr. Daniel Weiskopf que trabaja, entre otras cosas, en Special and general relativistic visualization, ya editó en el año 2000 un pequeño video en el que simula, mediante técnicas de Ray tracing, como veriamos diferentes cuerpos del Sistema Solar si por el espacio-tiempo que hay entre ellos y nosotros pasara una nave viajando dentro de una burbuja warp a diferentes velocidades, sub y superlumínicas, cercanas a la de la luz:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=aFyHOUCfplc?rel=0&w=420&h=315]

Dentro de la página que hemos enlazado anteriormente hay otros vídeos mas actuales.

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Otro diagrama disponible en UML 2 es el diagrama de comunicación.

El diagrama de comunicación permite modelar la interacción entre los diferentes objetos que se produce mediante mensajes en secuencia, es decir, muestra que mensajes se pasan los objetos entre si y en que orden. Es un diagrama muy útil, pues muestra tanto información estática, tomada del diagrama de clases, como información dinámica, tomada del diagrama de casos de uso y del  diagrama de secuencia.

A continuación muestro el diagrama de comunicación que he realizado mediante Visual Paradigm for UML de SPHysics:

Técnicamente, tendríamos que hablar de un pseudodiagrama de comunicación, pués el lenguaje de programción es fortran que no trabaja con orientación a objetos, por lo que en lugar de clases  tenemos módulos. Sin embargo, y salvando las distancias, cumple sobradamente su propósito semántico.

Una vez un profesor nos dijo algo así como: “No programeis lo que ya esta programado”, una especie de versión light de la reinvención de la rueda. Lo que quería decir era, sencillamente, que antes de empezar a diseñar algo desde cero para resolver un problema teniamos que investigar si ya existia un software capaz de hacerlo. Si la respuesta era negativa, adelante, pero si la respuesta era positiva, teniamos que plantearnos una serie de preguntas: ¿Es gratuito o hay que pagar por él? ¿Se adapta perfectamente a mis necesidades o necesita cierto grado de adaptación? ¿Tengo acceso al código fuente y tengo permiso para modificarlo a mi medida? ¿Que piensa el cliente al respecto? etc.

En el caso que nos ocupa, un sofware que promete es SPHysics, un esfuerzo conjunto de investigadores en la Johns Hopkins University (U.S.A.), la University of Vigo (Spain), la University of Manchester (U.K.) y la University of Rome La Sapienza (Italy). Evidentemente, se trata de hidrodinámica newtoniana y no magnetohidrodinámica relativista, por lo que hay un salto cualitativo en la física considerada, además de que se trata de programación modular y no orientada a objetos. Sin embargo, al ser de código abierto y disponer de versión paralela sobre CUDA, nos puede servir de mucha ayuda a la hora de implementar muchas cosas.

A continuación se enlazan dos simulaciones con 100M y 226M partículas en las que se puede apreciar la potencia del software:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=o6_iPdIQmyc?rel=0&w=420&h=315]

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=rHq6rcdqHzM?rel=0&w=420&h=315]

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En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, también explica el formalismo $latex 3+1$.

Resolver las ecuaciones de campo de Einstein en la práctica es complicado, ya que son un sistema de $latex 10$ EDPs en $latex 4D$ acopladas y no lineales con muchísimos términos. Se conocen soluciones exactas en situaciones muy concretas con un alto grado de simetría espacial o temporal (simetría esférica, simetría axial, soluciones estáticas, homogéneas, isotrópicas, etc.), pero en la mayoría de situaciones interesantes en astrofísica no se dan estas condiciones y tenemos que resolverlas utilizando aproximaciones numéricas mediante complicados programas.

En relatividad numérica, la idea es separar las ecuaciones de campo de Einstein de forma que podamos dar ciertas condiciones iniciales y, a partir de ellas, obtener la evolución del campo gravitacional. Existen diferentes maneras de hacerlo y el formalismo $latex 3+1$, que es el mas ampliamente utilizado, lo hace separando las tres componentes espaciales de la temporal.

Para estudiar la evolución en el tiempo, lo primero que se hace es formular un problema de Cauchy. En las ecuaciones de Einstein, el espacio y el tiempo son simétricos, por lo que primero debemos separar uno de otro. Lo que queremos es un espacio-tiempo orientable temporalmente de manera que podamos elegir de manera contínua a través del espacio-tiempo la mitad del cono de luz que contituye la dirección futura y de la mitad que corresponde a la dirección pasada. A la formulación de la relatividad general (GR) resultante de esta separación es el formalismo $latex 3+1$.

Un conjunto abierto $latex U$ de un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico sii:

  1. Para cualquier par de puntos $latex p$ y $latex q$, el conjunto $latex gamma^+(p) cap gamma^-(q) subset U$ y es compacto, donde $latex gamma^pm(S)$ son el futuro y pasado causal de una region $latex S$.
  2. No existen curvas espacio-temporales cerradas que pasen por $latex U$, prohibiendo los viajes al pasado en el tiempo y cumpliendose de esta manera el pricipio de causalidad en el abierto.

Una $latex p$-foliación de una variedad $latex M$ de dimension $latex n$ consiste en una partición de ésta en subvariedades diferenciables $latex {N_i}_{i in I}$ de dimensión $latex dim N_i = p<;m,,forall iin I$, por lo que localmente $latex M$ tiene estrutura topologica de variedad producto. Por ejemplo, una $latex 2$-foliación del espacio $latex mathbb{R}^3$ es $latex { mathbb{R}^2_z}_{z in mathbb{R}}$. La foliación de una variedad no es única (por ejemplo, $latex { mathbb{R}^2_y}_{y in mathbb{R}}$ es otra foliación posible de $latex mathbb{R}^3$, asumiendo que sabemos de que hablamos cuando nos referimos a $latex z$ o $latex y$: planos con vector normal $latex (0,0,1)$ en el primer caso y $latex (0,1,0)$ en el segundo).

Todo espacio-tiempo globalmente hiperbólico puede ser foliado, es decir, separado en cortes tridimensionales apilados, de tal forma que cada hoja es una hipersuperficie de Cauchy espacial. Sea $latex (t,x^i)$ un sistema de coordenadas tal que la función $latex t$ es de gradiente temporal. Entonces las superficies $latex t=cte$ (un tiempo “universal” que no tiene porque ser el tiempo propio de nadie) definen una foliación del espacio-tiempo. Denotaremos por $latex Sigma_t$ a la hipersuperfície de Cauchy de tiempo $latex t$.

Dada una foliación $latex Sigma_t$ definida para la función $latex t$, podemos encontrar campos vectoriales $latex xi$ de manera que $latex mathcal{L}_xi t = 1$. Llamamos base de evolución a la pareja $latex (xi,t)$. Podemos descomponer $latex xi$ de manera relativa a un observador euleriano:

$latex xi = alpha n + beta$

donde $latex n = frac{dt}{|dt|}$ con $latex g(n,n)=-1$ es la normal a la foliación, $latex alpha$ es la función de paso y $latex beta$ el vector desplazamiento de la base de evolución. A cada base de evolución podemos asociarle unas coordenadas adaptadas de manera que $latex xi = partial_t$ y $latex (x^i)$ son coordenadas en $latex Sigma_t$, de manera que $latex beta = beta^i partial_i$.

Considerar diferentes $latex alpha$ es considerar diferentes foliaciones, por lo que el paso entre $latex Sigma_0$ y $latex Sigma_t$ depende del punto de $latex Sigma_0$ considerado: $latex alpha = alpha(t,x^i)$.

El vector desplazamiento $latex beta$ determina $latex xi$, define el difeomorfismo entre $latex Sigma_0$ y $latex Sigma_t$: si $latex beta=0$ entonces $latex varphi_t(P_0) = bar{P_t}$ con $latex P_0 in Sigma_0$ y $latex bar{P_t}in Sigma_t$ ambos sobre la misma curva integral de $latex n$, por lo que tenemos evolución sin desplazamiento. Si $latex beta neq 0$ entonces $latex varphi_t(P_0) = P_t$ en $latex Sigma_t$ desplazado respecto $latex bar{P_t}$.

Por lo tanto, tenemos:

$latex g_{munu} = begin{pmatrix} -alpha^2 + beta_k beta^k & beta_i \ beta_j & gamma_{ij} end{pmatrix}$

y

$latex n^mu = frac{1}{alpha}(1,-beta^i)$, $latex n_mu = (-alpha,0)$

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Ya hemos comentado que podemos ver un campo tensorial diferenciable como una generalización de funciones, campos vectoriales y $latex 1$-formas. Estudiaremos ahora el caso de las métricas.

Como comentamos en un post anterior, una métrica de Riemann:

$latex g_m: T_mM times T_mM longrightarrow mathbb{R}$

podemos verla como un campo tensorial dos veces covariante, de tipo $latex (0,2)$. Efectivamente, ya que en cada $latex m in M$ tenemos definido:

$latex g_m in mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R}) cong otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M$.

Por lo tanto, tenemos que $latex g: M longrightarrow T^{(0,2)}M$ define una métrica sobre la variedad $latex M$.

Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild $latex (r,theta,varphi,tau)$ es:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (dtheta^2 + sin^2 theta dvarphi^2)-(1-frac{2M}{r})dtau^2$

que en notación de productos tensoriales queda:

$latex g = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr otimes dr + r^2 (dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi)-(1-frac{2M}{r})dtau otimes dtau$

Acabamos de ver que $latex g_m in mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R})$. En nuestro caso, una base de $latex T_mM$ es:

$latex { frac{partial}{partial r}|_m, frac{partial}{partial theta}|_m, frac{partial}{partial varphi}|_m, frac{partial}{partial tau}|_m}$

por lo que $latex dim T_mM = 4$ y su base dual:

$latex { dr_m, dtheta_m, dvarphi_m, dtau_m }$

es una base de $latex T_m^*M$ con $latex dim T_m^*M = 4$. Como:

$latex mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R}) cong otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M$

tenemos que:

$latex dim T_m^*M otimes T_m^*M = dim T_m^*M cdot dim T_m^*M = 4 cdot 4 = 16$

y una base de $latex T_m^*M otimes T_m^*M$ es:

$latex { dr_m otimes dr_m, dr_m otimes dtheta_m, dr_m otimes dvarphi_m, dr_m otimes dtau_m,$

$latex dtheta_m otimes dr_m, dtheta_m otimes dtheta_m, dtheta_m otimes dvarphi_m, dtheta_m otimes dtau_m,$

$latex dvarphi_m otimes dr_m, dvarphi_m otimes dtheta_m, dvarphi_m otimes dvarphi_m, dvarphi_m otimes dtau_m,$

$latex dtau_m otimes dr_m, dtau_m otimes dtheta_m, dtau_m otimes dvarphi_m, dtau_m otimes dtau_m }$

Las componentes de nuestra métrica en esta base son:

$latex g_{11} = frac{1}{1-frac{2M}{r}}$, $latex g_{22} = r^2$, $latex g_{33} = r^2 sin^2 theta$, $latex g_{44} = -(1-frac{2M}{r})$ y $latex g_{ij} = 0$ si $latex i neq j$.

En general, dada una variedad $latex M$ de dimensión $latex dim M = n$ y un punto $latex m in M$, entonces $latex dim T_mM = dim T_m^*M = n$ y $latex dim T_m^*M otimes T_m^*M = n^2$, por lo que $latex g_m in mathcal{M}_n(mathbb{R})$.

Si llamamos $latex x^1$ a la coordenada $latex r$, $latex x^2$ a la coordenada $latex theta$, $latex x^3$ a la coordenada $latex varphi$ y $latex x^4$ a la coordenada $latex tau$, entonces podemos referirnos a la métrica $latex g$ de una forma mas compacta:

$latex g = sum_{alpha,beta=1}^4 g_{alphabeta}dx^alpha otimes dx^beta$

que en física y siguiendo el convenio de suma de Einstein, con índices griegos variando de $latex 1$ a $latex 4$ y indices latinos haciendolo entre $latex 1$ y $latex 3$, queda:

$latex g_{alpha beta}dx^alpha dx^beta$

Si calculamos la inversa de la matriz $latex g_{alpha gamma}g^{gamma beta} = delta_alpha^beta$ obtenemos las componentes contravariantes de la métrica:

$latex g = sum_{alpha,beta=1}^4 g^{alpha beta} frac{partial}{partial x^alpha} otimes frac{partial}{partial x^beta} equiv g^{alpha beta} frac{partial}{partial x^alpha} frac{partial}{partial beta}$

que en el caso que nos ocupa son:

$latex g^{11} = 1-frac{2M}{r} $, $latex g^{22}= frac{1}{r^2}$, $latex g^{33}=frac{csc theta}{r^2}$ y $latex g^{44}=-frac{1}{1-frac{2M}{r}}$

por lo que nos queda:

$latex g= 1-frac{2M}{r} frac{partial}{partial r} otimes frac{partial}{partial r} + frac{1}{r^2}frac{partial}{partial theta} otimes frac{partial}{partial theta} + frac{csc theta}{r^2}frac{partial}{partial varphi} otimes frac{partial}{partial varphi} -frac{1}{1-frac{2M}{r}}frac{partial}{partial tau} otimes frac{partial}{partial tau}$

que también puede escribirse:

$latex g= 1-frac{2M}{r} partial_r^2 + frac{1}{r^2} partial_theta^2 + frac{csc theta}{r^2} partial_varphi^2 -frac{1}{1-frac{2M}{r}} partial_tau^2$

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Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas.

Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo hizo Einstein, o de manera formal a partir de un principio variacional partiendo de un Lagrangiano adecuado, como lo hizo Hilbert, se escriben en su forma mas compacta como (signatura $latex (-,+,+,+)$ y $latex G=c=1$):

$latex G_{munu} = 8 pi T_{munu}$

donde $latex G_{munu}$ es el tensor de curvatura de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo, $latex 8 pi$ es un factor de normalización para obtener el límite Newtoniano correcto y $latex T_{munu}$ es el tensor de energia-momento que representa la distribución de materia y energía. Como $latex G_{mu nu}, T_{mu nu} in mathcal{M}_{16}(mathbb{R})$, tenemos $latex 16$ ecuaciones que se reducen a $latex 10$ por ser simétricos los dos tensores en sus dos índices. Son $latex 10$ PDEs acopladas en $latex 4D$.

El tensor de Einstein se define como:

$latex G_{mu nu} := R_{mu nu} – frac{1}{2} g_{mu nu}R$

donde $latex R_{mu nu}:=R^lambda_{mu lambda nu}$ es el tensor de Ricci ($latex R_{mu nu} in mathcal{M}_{16}(mathbb{R})$) que se obtiene contrayendo dos índices libres del tensor de curvatura de Riemann y $latex R:=g^{mu nu}R_{mu nu}$ es la traza del tensor de Ricci o la curvatura escalar.

El tensor curvatura está definido para toda variedad dotada de una conexión $latex nabla$:

$latex R(u,v)w = nabla_u nabla_v w – nabla_v nabla_u w – nabla_{[u,v]}w$

y nos permite hablar de transporte paralelo, nos dice el cambio que sufre un vector al transportalo paralelamente. En una variedad de Riemann siempre podemos definir una conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita, que expresada en componentes queda:

$latex R^{rho}_{sigma mu nu} = partial_mu Gamma^rho_{sigma nu} – partial_nu Gamma^rho_{sigma mu} + Gamma^alpha_{sigma nu} Gamma^rho_{alpha mu} – Gamma^alpha_{sigma mu} Gamma^rho_{alpha nu}$

y que con $latex 4$ índices en $latex n$ dimensiones tiene $latex n^4$ componentes, de las que solo $latex 20$ (si $latex n=4$ y $latex 4^4=256$), al tener en cuenta simetrías, son independientes. Se puede demostrar que $latex R=0 Leftrightarrow$ variedad plana.

Recordar que se pueden subir y bajar índices contrayendo con el tensor métrico o su inverso:

$latex v_alpha = g_{alpha beta} v^beta$

$latex v^alpha = g^{alpha beta} v_beta$

$latex R_{rho sigma mu nu} = g_{rho alpha} R^{alpha}_{sigma mu nu}$

En el último ejemplo obtenemos la versión de la curvatura de Riemann totalmente covariante, un tensor de tipo $latex (0,4)$ (los elementos de la base pasan de ser de la forma $latex frac{partial}{partial_{x^alpha}} otimes dx^beta otimes dx^gamma otimes dx^delta$ de un tensor de tipo $latex (1,3)$ a ser de la forma $latex dx^alpha otimes dx^beta otimes dx^gamma otimes dx^delta$).

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades:

  1. Antisimetrías: $latex R_{alpha beta gamma delta} = – R_{alpha beta delta gamma} = -R_{beta alpha gamma delta}$.
  2. Simetrías: $latex R_{alpha beta gamma delta} = R_{gamma delta alpha beta}$.
  3. Primera identidad de Bianchi: $latex R_{alpha[betagammadelta]} = R_{alphabetagammadelta} + R_{alphagammadeltabeta} + R_{alphadeltabetagamma} = 0$.
  4. Segunda identidad de Bianchi:$latex R_{alphabeta[gammadelta;epsilon]} = R_{alphabetagammadelta;epsilon} + R_{alphabetadeltaepsilon;gamma} + R_{alphabetaepsilongamma;delta} = 0$.

El tensor de energia-momento describe la densidad de energia, la densidad de momento y el flujo de momento de un campo de materia:

$latex T^{00}$ = densidad de energía.

$latex T^{0i} = $ densidad de momento.

$latex T^{ij} = $ flujo de momento $latex i$ a través de la superficie $latex j$.

Las identidades de Bianchi son muy importantes porque nos llevan a:

$latex G^{mu nu},_{;nu} = 0 Rightarrow T^{mu nu},_{;nu} = 0$

que son las cuatro ecuaciones que representan la conservación local de la energía y del momento (la perdida de energía y momento en una región se compensa con el flujo de energía y momento fuera de esa región) donde $latex ;$ indica la derivada covariante.

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Sean $latex V_1, cdots, V_r$ espacios vectoriales de dimensión finita sobre $latex mathbb{R}$ y sean $latex V_1^*, cdots, V_r^*$ sus espacios duales.

Definimos el producto tensorial como el espacio vectorial de aplicaciones multilineales de $latex V_1^* times ldots times V_r^*$ en $latex mathbb{R}$, es decir:

$latex V_1 otimes ldots otimes V_r := mathcal{L}(V_1^* times ldots times V_r^*, mathbb{R})$

Si $latex v_1 in V_1, ldots , v_r in V_r$ y $latex sigma_1 in V_1^*, ldots, sigma_r in V_r^*$, entonces definimos $latex v_1 otimes , ldots , otimes v_r in V_1 otimes , ldots , otimes V_r$ como:

$latex v_1 otimes ldots otimes v_r (sigma_1, ldots, sigma_r)= sigma_1(v_1) ldots sigma_r(v_r)$

Si $latex dim V_j = n_j$ y sea $latex { e_i^j}_{i=1}^{n_j}$ una base de $latex V_j$ con $latex j=1,ldots,r$, entonces:

$latex {e_{i_1}^1 otimes ldots otimes e_{i_r}^r }_{1 leq i_j leq n_j, 1 leq j leq r }$

es una base de $latex V_1 otimes ldots otimes V_r$, de manera que $latex dim V_1 otimes ldots otimes V_r = n_1ldots n_r$.

Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión $latex dim V = n$ y $latex V^*$ su dual. Construimos el espacio vectorial

$latex V^{(r,s)}:=(otimes^r V) otimes (otimes^s V^*)$

donde $latex otimes^k E:= E otimes overset{k)}{ldots} otimes E$ es la $latex k$-ésima potencia tensorial de $latex E$. A los elementos de $latex V^{(r,s)}$ se les llama tensores $latex r$ veces contravariantes y $latex s$ veces covariantes sobre $latex V$. Si $latex { e_1, ldots, e_n}$ es una base de $latex V$ y $latex { e^1, ldots, e^n}$ su base dual (los elementos $latex e^i$ son $latex 1$-formes: $latex e^i: V longrightarrow mathbb{R} in V^*$), entonces todo elemento de $latex V^{(r,s)}$ lo podemos escribir como:

$latex t = t^{i_1,ldots, i_r}_{j_1,ldots, j_s}e_{i_1} otimes ldots otimes e_{i_r} otimes e^{j_1} otimes ldots otimes e^{j_s}$

No es dificil demostrar $latex mathcal{L}(V,V) cong V otimes V^*$, $latex mathcal{L}(V times V, mathbb{R}) cong V^* otimes V^*$ y, en general:

$latex mathcal{L}(V times overset{k)}{ldots} times V, V) cong V otimes (otimes^k V^*)$.

Sea $latex M$ una variedad diferenciable y $latex m in M$. Entonces:

$latex T_m^{(r,s)} = (otimes^r T_mM) otimes (otimes^s T_m^*M)$

es un tensor $latex r$ veces contravariante y $latex s$ veces covariante de $latex M$ en $latex m$ y

$latex T^{(r,s)}M = bigsqcup_{m in M} T_m^{(r,s)}M$

es la variedad de tensores de tipo $latex (r,s)$ de $latex M$. Denotamos por $latex pi : T^{(r,s)}M longrightarrow M$ a la proyección que a cada tensor en $latex m$ le hace corresponder el punto $latex m$.

Un campo tensorial $latex r$ veces contravariante y $latex s$ veces covariante en $latex M$, de tipo $latex (r,s)$, es una aplicación diferenciable $latex K : M longrightarrow T^{(r,s)}M$ tal que $latex pi circ K = id$, es decir, que para cada $latex min M$ tenemos que $latex K_m := K(m) in T_m^{(r,s)}M$ (tenemos un campo tensorial definido en cada punto de la variedad).

Si $latex (U, varphi)$ es una carta, entonces:

$latex K|_U = K^{i_1,ldots,i_r}_{j_1,ldots,j_s} frac{partial}{partial varphi^{i_1}} ldots otimes frac{partial}{partial varphi^{i_r}} otimes dvarphi^{j_1} otimes ldots otimes dvarphi^{j_s}$

Los campos tensoriales son una generalización de:

  1. funciones: una función diferenciable $latex h:M longrightarrow mathbb{R}$ determina un campo tensorial de tipo $latex (0,0)$.
  2. campos vectoriales: un campo vectorial $latex X: M longrightarrow TM$ es un campo tensorial de tipo $latex (1,0)$, pues $latex TM = T^{(1,0)}$.
  3. $latex 1$-formas: una $latex 1$-forma $latex w: M longrightarrow T^*M$ es un campo tensorial de tipo $latex (0,1)$, ya que $latex T^*M = T^{(0,1)}$.

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Dada una variedad diferenciable $latex M$, una curva diferenciable en $latex M$ es una aplicación diferenciable $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ donde $latex a,b in mathbb{R}$ y $latex a<b$.

Dado un punto $latex m$:

  1. denotaremos por $latex mathcal{C}(M,m)$ al conjunto de curvas diferenciables $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ tales que $latex a<0<b$ y $latex alpha(0) = m$.
  2. denotamos por $latex mathcal{F}(M,m)$ al conjunto de funciones diferenciables $latex f:U longrightarrow mathbb{R}$ tales que $latex U$ es un entorno abierto de $latex m$ en $latex M$.

Definimos en $latex mathcal{C}(M,m)$ la relación de equivalencia $latex sim$ de la siguiente manera:

$latex alpha sim beta Leftrightarrow (f circ alpha)'(0) = (f circ beta)'(0),,forall alpha,beta in mathcal{C}(M,m),,forall f in mathcal{F}(M,m)$

Llamamos espacio tangente a $latex M$ en $latex m$ a

$latex T_mM := frac{mathcal{C}(M,m)}{sim}$

A los elementos de $latex T_mM$ se les llama vectores tangentes a $latex M$ en $latex m$, y son clases de equivalencia de curvas diferenciables respecto de la relación anterior.

Denotamos por $latex p:mathcal{C}(M,m) longrightarrow T_mM$ a la aplicación que a cada curva $latex alpha$ le asocia su clase de equivalencia. Además, $latex v(f) :=(f circ alpha)'(0)$ donde $latex f in mathcal{F}(M,m)$ y $latex v = p(alpha)$ con $latex alpha in mathcal{C}(M,m)$.

Si la dimensión de la variedad es $latex n$ y $latex (U,varphi)$ es una carta cualquiera con $latex m in U$, entonces:

  1. denotamos por $latex { e_i}_{i=1}^{n}$ a la base canónica de $latex mathbb{R}^n$.
  2. definimos las curvas coordenadas $latex tau_i in mathcal{C}(M,m)$ como $latex tau_i(t) := varphi^{-1}(varphi(m)+te_i)$.
  3. definimos los vectores tangentes coordenados respecto de la carta $latex (U,varphi)$ como $latex frac{partial}{partial varphi^i}|_m = p(tau_i) in T_mM$.

Los vectores

$latex { frac{partial}{partial varphi^1}|_m, cdots, frac{partial}{partial varphi^n}|_m }$

forman una base de $latex T_mM$, por lo que para todo $latex v in T_mM$ tenemos que:

$latex v = sum_{i=1}^n v(varphi^i) frac{partial}{partial varphi^i}|_m$

y $latex dim T_mM = dim M = n$.

Llamamos espacio cotangente a $latex M$ en $latex m$ al espacio vectorial dual de $latex T_mM$ y que denotamos por $latex T_m^*M$, o sea:

$latex T_m^*M := (T_mM)^* = mathcal{L}(T_mM,mathbb{R})$

A los elementos de $latex T_m^*M$ se les denomina 1-formas de $latex M$ en $latex m$. Las 1-formas:

$latex { dvarphi_m^1, cdots, dvarphi_m^n }$

forman una base de $latex T_m^*M$ que es, a su vez, la base dual de:

$latex { frac{partial}{partial varphi^1}|_m, cdots, frac{partial}{partial varphi^n}|_m }$

Es evidente, por tanto, que $latex dim T_m^*M = dim T_m M = n$.

Llamamos fibrado tangente $latex TM$ a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios tangentes $latex T_mM$ con $latex m in M$, es decir:

$latex TM := bigsqcup_{m in M} T_mM$

Podemos construir un atlas para el fibrado a partir de los atlas de cada una de las variedades tangentes. A partir de esta construcción deducimos que $latex dim TM = 2n$

De la misma manera, llamamos fibrado cotangente $latex T^*M$ a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios cotangentes $latex T_m^*M$ con $latex m in M$, es decir:

$latex T^*M := bigsqcup_{m in M} T_m^*M$

Ademas, $latex dim T^*M = dim TM = 2n$

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Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis “Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues” de I. Cordero podemos encontrarlas.

Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos lleva a la métrica de Schwarzschild ($latex J=0, Q=0$) que podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Schwarzschild $latex (r,theta,varphi,tau)$ con $latex r > 2M$ y siendo $latex tau$ el tiempo propio:

$latex g = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr otimes dr + r^2 (dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi)-(1-frac{2M}{r})dtau otimes dtau$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} frac{1}{1-frac{2M}{r}} & 0 & 0 & 0 \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

y en física se suele escribir:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (dtheta^2 + sin^2 theta dvarphi^2)-(1-frac{2M}{r})dtau^2$

Además, como $latex dOmega^2 = dtheta^2 + sin^2theta dvarphi^2$ es la métrica de $latex S^2$ ($latex S^2(theta,varphi) = (sin theta cos varphi, sin theta sin varphi, cos theta)$ en $latex ]0,pi[ times ]0,2pi[$ de manera que $latex g_{11} = S^2_theta cdot S^2_theta = 1$, $latex g_{12} = g_{21} = S^2_theta cdot S^2_varphi = 0$ y $latex g_{22} = S^2_varphi cdot S^2_varphi = sin^2 theta$, con lo que $latex g = dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$), tenemos:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 dOmega^2 – (1-frac{2M}{r})dtau^2$

Coordenadas isotrópicas $latex (bar{r},theta,varphi,tau)$ con $latex r = bar{r} (1 + frac{M}{2bar{r}})^2$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = (1+frac{M}{2bar{r}})^4(dbar{r}^2+ bar{r}^2 dOmega^2 )- big (frac{1-frac{M}{2bar{r}}}{1+frac{M}{2bar{r}}} big) dtau^2$

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo propio constante son conformemente planas y singulares en el horizonte.

Coordenadas de Painlevé-Gullstrand-Lemaître $latex (r,theta,varphi, T)$ con $latex dT = dtau + frac{sqrt{frac{2M}{r}}}{1-frac{2M}{r}}dr$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = dr^2 + r^2 dOmega^2 + 2 sqrt{frac{2M}{r}}dTdr – (1-frac{2M}{r})dT^2$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & sqrt{frac{2M}{r}} \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ sqrt{frac{2M}{r}} & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

Coordenadas de Eddington-Finkelstein $latex (t, r, theta, varphi)$ con $latex t = tau + 2M ln |frac{r}{2M} – 1|$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = frac{1}{1+frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 dOmega^2 + frac{4M}{r} dtdr – (1-frac{2M}{r})dt^2$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} 1+frac{2M}{r} & 0 & 0 & frac{2M}{r} \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ frac{2M}{r} & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo constante son planas y regulares en el horizonte.

En el llibre “Geometria diferencial i relativitat” de J. Girbau tambe comenta les coordenadas de Kruskal-Szekeres $latex (u,v,theta,varphi)$:

$latex ds^2 = frac{32M^3}{r} e^{-frac{r}{2M}} (du^2 – dv^2) + r^2 dOmega^2$

donde

$latex u=sqrt{frac{r}{2M}-1} e^{frac{r}{4M}} cosh frac{tau}{4M}$

y

$latex v=sqrt{frac{r}{2M}-1} e^{frac{r}{4M}} sinh frac{tau}{4M}$

No hay singularidad física en $latex r=2M$, pero hay dos en $latex r=0$.

En segundo lugar, tenemos la métrica de Kerr ($latex J neq 0, Q = 0$) que también podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Boyer-Lindquist $latex (r,theta,varphi,t)$:

$latex ds^2 = frac{rho^2}{Delta} dr^2 + rho^2 dtheta^2 + tilde{w}^2(dvarphi – wdt)^2 – (frac{rho sqrt{Delta}}{Sigma})^2dt^2$

donde

$latex Delta = r^2 -2Mr + a^2$

$latex rho^2 = r^2 + a^2 cos^2 theta$

$latex Sigma^2 = (r^2 + a^2)^2 – a^2 Delta sin^2 theta$

$latex w = frac{2aMr}{Sigma^2}$

$latex tilde{w} = frac{Sigma sin theta}{rho}$

y siendo $latex a$ el momento angular del BH. Fijando $latex a=0$ obtenemos el BH de Schwarzchild en coordenadas de Schwarzchild.

Coordenadas de Kerr-Schild $latex (r,theta,bar{varphi},bar{t})$:

$latex ds^2 = frac{Z^{2k}-1}{Z-1} dr^2 + rho^2 dtheta^2+ sin^2 theta rho^2 [1+Y(1+Z)] dbar{varphi}^2 – (1-Z) dbar{t}^2+$

$latex +2aepsilon sin^2 theta frac{Z^{k+1}-1}{Z-1}drdbar{varphi} -2 epsilon Z^k dr dbar{t} -2 a sin^2 theta Z dbar{varphi}dbar{t}$

donde

$latex Y = frac{a^2 sin^2 theta}{rho^2}$, $latex Z = frac{2Mr}{rho^2}$

y $latex epsilon = +1(-1)$ regulariza el horizonte futuro (pasado) del BH. La relación con las anteriores coordenadas viene dada por

$latex dbar{varphi} = dvarphi – epsilon frac{a}{Delta} dr$

$latex dbar{t} = dt – epsilon [ frac{1+Y}{1+Y-Z} – frac{1-Z^k}{1-Z} ] dr$

donde $latex Delta$ es la función horizonte, que es cero en el horizonte y hace que la componente $latex g_{tt}$ de la métrica se anule.

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Desde un punto de vista astrofísico, un BH es el resultado final de algunos tipos de colapso gravitatorio de objetos estelares concretos. Desde un punto de vista geométrico, un BH es una solución de las ecuaciones de Einstein que contiene una singularidad, curvatura infinita, en la métrica del espacio-tiempo. Llamamos horizonte a la frontera del BH.

Podemos clasificar los agujeros negros en función de su momento angular $latex J$ en estáticos ($latex J=0$) y en rotatorios ($latex J neq 0)$, y en función de su carga eléctrica $latex Q$ en neutros ($latex Q =0$) y cargados ($latex Q neq 0$).

En relatividad numérica hay dos maneras de tratar los BHs y manejar sus singularidades (que pueden ser singularidades de coordenadas, causadas por una inapropiada elección de las mismas, o singularidades físicas reales en el cenro del BH), pues el problema de los métodos numéricos es que no pueden tratar con sus infinitos asociados:

  1. Una manera de evitar el problema es la excisión de la singularidad en el espacio-tiempo. El método onsiste en introducir una frontera interior en el dominio computacional eliminando la región singular. Como el horizonte de un BH representa una frontera causal, está claro que el interior del mismo no puede afectar al exterior. Sin embargo, numéricamente esto no tiene porque ser cierto. Además, tenemos que estar seguros de que la frontera interior está localizada siempre dentro del horizonte, por lo que hay que implementar un buscador del horizonte. Mas concretamente, debe estar dentro del horizonte de sucesos, que depende del espacio-tiempo global. También es complicado aproximar una superficies esférica de escición en una malla cartesiana.
  2. La alternativa es el método de punción: si el comportamiento de una singularidad es analíticamente conocido, podemos factorizarlo de la solución. Una punción en los datos iniciales representa un puente de Einsten-Rosen conectando dos universos asintóticamente planos. La salida del agujero de gusano describe exactamente el campo exterior gravitatorio de un BH. El universo es compactificado mediante una transformación de coordenadas y localizado en el horizonte del BH. La punción representa la infinidad espacial del universo compactificado. La idea intuitiva consiste en tener dos o mas copias de $latex mathbb{R}^3$ con varias esferas eliminadas e identificando los contornos esféricos interiores. De esta manera, varias regiones asintóticamente planas se conectan por puentes. La siguiente figura muestra la idea en una dimensión menos: utilizando dos copias de $latex mathbb{R}^2$ y círculos en lugar de esferas:

En relatividad general, la gravedad actua completamente a través de los potenciales métricos, es decir, a través del espacio-tiempo por el que se mueve el fluido. Por tanto, para manejar la interacción gravitatoria del BH con un fluido basta representar el BH en la estructura del espacio-tiempo.

La tesis doctoral “Relativistic simulations of compact object mergers for nucleonic matter and strange quark matter” de A. Bauswein comenta un nuevo método para trabajar con BHs en relatividad numérica, pués solo mediante una reformulación de las ecuaciones de la métrica podemos manejar la divergencia que tiene lugar en el espacio-tiempo de un BH.

Básicamente, su aproximación viene de combinar diferentes métodos bien establecidos: el método de punción, la descomposición conformal transverse traceless (CTT) de la curvatura extrínseca dando lugar a una nueva formulación de las ecuaciones CFC, y las solución de Bowen-York para las ecuaciones de ligadura del momento.

Esta combinación no es trivial pues hay que describir el significado de la masa de punción durante la evolución, el movimiento del BH, la acreción, la backreaction de las ondas gravitacionales (GW) y la construcción de los datos iniciales.

En el libro “Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups” de F. Warner, encontramos que un grupo de Lie es una variedad diferenciable $latex G$ en la que tenemos definida una operación $latex G times G longrightarrow G$ tal que:

$latex rho: G times G longrightarrow G ,/, (sigma,tau) mapsto rho(sigma,tau) = sigma tau^{-1}$

es una aplicación diferenciable.

Si fijamos $latex sigma in G$ entonces podemos definir la translación a izquierda por $latex sigma$ y la traslación a derecha por $latex sigma$ de la siguiente manera:

$latex l_sigma(tau) = sigma tau$

$latex r_sigma(tau) = tau sigma$

para cualquier $latex tau in G$. En ambos casos tenemos un difeomorfismo. Si $latex H subset G$ entonces denotamos $latex r_sigma(H)$ por $latex Hsigma$ y $latex l_sigma(H)$ por $latex sigma H$.

El grupo general lineal $latex Gl(n,mathbb{K})$ es el ejemplo mas importante de grupo de Lie. Está formado por los automorfismos de $latex mathbb{K}^n$. Por ser un espacio vectorial, como ya comentamos, es una variedad diferenciable y tiene estructura de grupo con la composición. También puede pensarse como $latex mathcal{M}_n(mathbb{K})$.

Junto al diagrama de clases, que forma parte de los diagramas de modelado estructurado (visión estática del modelo) que ya hemos comentado, existen otros diagramas de modelado de comportamiento (visión dinámica del modelo) ampliamente utilizados como son los diagramas de casos de uso y los diagramas de secuencia.

El diagrama de casos de uso muestra cada una de funcionalidades del sistema modelado en una visión de caja negra de las mismas. Representa al sistema como un rectángulo que contiene tantas elipses como casos de uso diferentes junto con el actor o actores con los que interactuará.

Un ejemplo diagrama de casos de uso de nuestro sistema SPH con un solo caso de uso Simulation podria ser:

El diagrama de secuencia permite modelar cada caso de uso y describe la interacción entre los diferentes objetos de un sistema a través del tiempo para la consecución del mismo. Es por tanto una visión de caja blanca. Se representan los diferentes objetos como rectangulos o conjuntos de rectangulos en función de si son simples o multiples junto con flechas entre los objetos que representan los mensajes entre estos.

Un posible diagrama de secuencia del caso de uso Simulation podria ser:

En el libro “Foundations of differenciable manifolds and Lie groups” de Warner comenta como construir nuevas variedades diferenciables a partir de variedades conocidas.

Dada una variedad $latex (M,mathcal{A})$ donde

$latex mathcal{A} = { varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^n }_{i in I}$

y si consideramos un abierto $latex N subset M$ entonces $latex (N,mathcal{A}_N)$ con:

$latex mathcal{A}_N = { varphi_i|_{U_i cap N}: U_i cap N longrightarrow mathbb{R}^n }_{i in I}$

es una variedad diferenciable.

Si $latex (M, mathcal{A}_1)$ y $latex (N,mathcal{A}_2)$ son dos variedades diferenciables de dimensión $latex p$ y $latex q$ respectivamente donde

$latex mathcal{A}_1 = { varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^p}_{i in I}$

y

$latex mathcal{A}_2 = { psi_j: V_j longrightarrow mathbb{R}^q}_{j in J}$

entonces $latex (M times N, mathcal{A}_1 times mathcal{A}_2)$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex p+q$ donde:

$latex mathcal{A}_1 times mathcal{A}_2 = { varphi_i times psi_j: U_i times V_j longrightarrow mathbb{R}^p times mathbb{R}^q}_{i in I, j in J}$

Esta propiedad nos permite demostrar que el toro es una variedad diferenciable. Si consideramos las variedades $latex S(r)$ y $latex S(R)$ con $latex r<R$ entonces $latex T(R,r) = S(R) times S(r)$.

Finalmente, si $latex (M,mathcal{A})$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex n$ con $latex mathcal{A} = { varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^n}_{i in I}$ y sea $latex f: Mlongrightarrow N$ una aplicación biyectiva. Si

$latex mathcal{A}_f = { varphi_i circ f^{-1}: f(U_i) longrightarrow mathbb{R}^n}_{i in I}$

entonces $latex (N, mathcal{A}_f)$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex n$.

Esta propiedad nos permite decir que todo espacio vectorial de dimensión finita es una variedad diferenciable. Efectivamente, sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión $latex n$ sobre $latex mathbb{R}$ y $latex {u_1,ldots,u_n}$ una base. Entonces existe un único isomorfismo lineal $latex f: mathbb{R}^n longrightarrow V$ tal que $latex f(e_i) = u_i$ donde $latex { e_1, ldots, e_n}$ es la base canónica de $latex mathbb{R}^n$.  Entonces $latex (V,mathcal{A_f})$ es una variedad diferencial de dimensión $latex n$.

VisIt es una herramienta open source que nos permite visualizar y analizar conjuntos de datos extremadamente grandes, del orden de tera y peta, en multiples plataformas. Podemos visualizar rápidamente nuestros datos, animarlos, manipularlos y almacenar los resultados obtenidos.

Algunas características interesantes son:

  • Tipos estandar de gráficos: Curve plot, Mesh plot, Contour plot, Surface plot, Vector plot,  Tensor plot, Volume plot, etc.
  • Podemos trabajar en 1D, 2D, 3D y variando en tiempo.
  • Permite definir diferentes tipos de mallas: rectilineas, curvilineas, desestructuradas, puntuales y AMR (Adaptive Mesh Refinement), etc.
  • Manipulación de datos (slicing, clipping, project, etc.) e interrogaciones (analisis comparativo, debugging, etc.).
  • Opciones para anotaciones, iluminación y rendering.
  • Podemos trabajar con datos escalares, vectoriales y tensoriales.
  • Permite paralelizaciones.

Para visualizar los datos podemos utilizar VisIt como aplicación mediante fichero ($latex approx$ 100 formatos diferentes), base de datos (se pueden desarrollar nuevos plug-ins) o como librería mediante código. También podemos crear animaciones mediante flipbook, keyframing o scripting. Podemos trabajar en local, en remoto o utilizando la arquitectura cliente/servidor.

VisIt se compone de cuatro componentes:

  • Graphical User Interface (GUI): se ejecuta en local y permite, entre otras cosas, seleccionar los ficheros, crear graficos, fijar atributos, etc.
  • Viewer: se lanza en local y es donde se muestran las visualizaciones con las que podemos interactuar con el ratón.
  • Database server: puede lanzarse en remoto y permite el acceso a los datos.
  • Compute engine / Parallel compute server: puede lanzarse en remoto y es el encargado de generar los gráficos.

A continuación una pequeña animación flipbook que hemos creado con datos que ofrece VisIt en su documentación.

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=EaCWZGLwwZs?rel=0]

Los ficheros .visit, en este caso wave.visit, son ficheros de texto que contienen los nombres de todos los ficheros que guardan, cada uno, el estado de la simulación en un instante de tiempo determinado: wave0010.silo, wave0010.silo, ..., wave0700.silo. En este caso son .silo que es un formato propio de VisIt.

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En el libro “Geometria Diferencial i Relativitat” de J. Girbau aparecen algunos ejemplos concretos de variedades diferenciables.

Para empezar, $latex { (mathbb{R}^n, id_{mathbb{R}^n}) }$ es un atlas que dota al espacio euclídeo $latex mathbb{R}^n$ de estructura de variedad diferenciable de dimensión $latex n$ y clase $latex C^infty$.

También podemos considerar la esfera $latex S^n(r)$ ($latex n$-esfera, hiperesfera) de radio $latex r$ centrada en el origen de $latex mathbb{R}^{n+1}$. Si llamamos $latex N$ al polo norte, de coordenadas $latex (0,0,ldots,0,r)$, y $latex S$ al polo sur, de coordenadas $latex (0,0,ldots,0,-r)$, sean $latex U_1 = S^n(r)-{N}$ y $latex U_2=S^n(r)-{S}$ y sean $latex varphi_1:U_1 longrightarrow mathbb{R}^n$ la proyección estereográfica desde $latex N$ sobre el plano $latex x^{n+1}=0$ y $latex varphi_2:U_2 longrightarrow mathbb{R}^n$ la proyección estereográfica desde $latex S$ sobre el plano del ecuador. Se puede comprobar que $latex { (U_1, varphi_1), (U_2, varphi_2) }$ es un atlas $latex C^infty$ de dimensión $latex n$ que dota a $latex S^{n}(r)$ de una estructura de variedad diferenciable.

Otro ejemplo concreto de variedad diferenciable es el plano proyectivo real $latex mathbb{R}P^n$. Consideramos en $latex mathbb{R}^{n+1} – { 0 }$ la relación de equivalencia:

$latex x sim y Leftrightarrow exists lambda in mathbb{R}: x = lambda y$.

De esta manera,

$latex mathbb{R}P^n := frac{mathbb{R}^{n+1} – { 0 }}{sim}$

Es fácil comprobar que $latex { (U_i, varphi_i)}, i=0,ldots,n$ donde

$latex U_i = { [ x^0 :ldots : x^n ], x_i neq 0 }, i=0,ldots,n$,

siendo $latex [ x^0: ldots :x^n ]$ coordenadas homogéneas, y

$latex varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^n ,/, [x^0:ldots:x^n] mapsto (frac{x^0}{x^i},ldots,hat{frac{x^i}{x^i}},ldots,frac{x^n}{x^i})$

donde $latex hat{frac{x^i}{x^i}}$ significa que falta la componente $latex i$-ésima, dota a $latex mathbb{R}P^n$ de una estructura de variedad diferenciable. Este ejemplo es de naturaleza diferente del anterior ya que $latex mathbb{R}P^n$ no se presenta dentro de ningún $latex mathbb{R}^n$.

En la tesis doctoral “Relativistic simulations of compact object mergers for nucleonic matter and strange quark matter” de A. Bauswein comenta la implementación numérica del modelo físico para simular colisiones de objetos compactas.

La implementación numérica consta de dos partes: una que resuelve las ecuaciones de Euler tridimensionales relativistas que nos dan la evolución hidrodinámica del sistema y la otra que nos da una solución de las ecuaciones de campo de Einstein que nos proporcionan el campo gravitatorio donde se mueve el fluido.

Como ya comentamos en este post, utilizando SPH las ecuaciones de la hidrodinámica se tranforman en un conjunto de ODEs que podemos resolver mediante el método Runge-Kutta de cuarto orden. Las derivadas de los potenciales de la métrica se evaluan sobre una malla superpuesta y se mapean en las partículas. Se utiliza un paso de tiempo adaptativo para satisfacer la condición de Courant-Friedrichs-Levi. Todas las cantidades se representan por sus valores en las partículas, que corresponde con una visión de la hidrodinámica Lagrangiana, y la evolución temporal de las cantidades hidrodinámicas se calcula en la partículas.

Se añade un esquema de viscosidad artificial dependiente del tiempo para manejar choques hidrodinámicos. Este modelo resuelve un problema de Riemann local dado por los dos estados de partículas vecinas y añadiendo la correspondiente contribución a las ecuaciones de conservación del momento y de la energía.

A diferencia del SPH Newtoniano, la gravedad no se puede implementar dentro del esquema de partículas. Debemos resolver las ecuaciones de campo de Einstein, para lo que se utiliza el formalismo 3+1 o ADM que consiste en foliar el espacio-tiempo en hipersuperfícies espaciales con coordenada de tiempo constante. En esta aproximación, las ecuaciones de campo de Einstein se dividen en un conjunto de ecuaciones de ligadura y un conjunto de ecuaciones de evolución formulando de esta manera un problema de Cauchy.

Dos variedades diferenciales $latex M$ y $latex N$ son difeomorfas si existe un difeomorfismo entre ellas. Sin considerar ninguna estructura adicional, dos variedades difeomorfas son equivalentes.

Sea $latex f:M longrightarrow N$ una aplicación entre variedades de clase $latex C^k$.

Diremos que $latex f$ es un difeomorfismo de clase $latex C^k$ si es bijectiva, diferenciable y $latex f^{-1}$ también es diferenciable de clase $latex C^k$.

Diremos que $latex f$ es diferenciable de clase $latex C^k$ si lo es en cada punto de $latex M$. Usualmente, como en variedades, utilizamos diferenciable para diferenciable de clase $latex C^infty$.

Diremos que $latex f$ es diferenciable en $latex m in M$ de clase $latex C^k$  si existen cartas adaptadas $latex (U,Phi)$ de $latex M$ y $latex (V,Psi)$ de $latex N$ tales que $latex m in U$ y su representación local $latex bar{f}$ es diferenciable en $latex Phi(m)$ de clase $latex C^k$.

Dos cartas $latex (U,Phi)$ de $latex M$ y $latex (V,Psi)$ de $latex N$ estan adaptadas a $latex f$ si $latex f(U) subset V$. Llamamos representación local de $latex f$ en las cartas $latex (U,Phi)$ y $latex (V,Psi)$ a $latex bar{f} = Psi circ f circ Phi^{-1}: A longrightarrow B$.

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