En la tesis doctoral «Relativistic simulations of compact object mergers for nucleonic matter and strange quark matter» de A. Bauswein comenta la implementación numérica del modelo físico para simular colisiones de objetos compactas.
La implementación numérica consta de dos partes: una que resuelve las ecuaciones de Euler tridimensionales relativistas que nos dan la evolución hidrodinámica del sistema y la otra que nos da una solución de las ecuaciones de campo de Einstein que nos proporcionan el campo gravitatorio donde se mueve el fluido.
Como ya comentamos en este post, utilizando SPH las ecuaciones de la hidrodinámica se tranforman en un conjunto de ODEs que podemos resolver mediante el método Runge-Kutta de cuarto orden. Las derivadas de los potenciales de la métrica se evaluan sobre una malla superpuesta y se mapean en las partículas. Se utiliza un paso de tiempo adaptativo para satisfacer la condición de Courant-Friedrichs-Levi. Todas las cantidades se representan por sus valores en las partículas, que corresponde con una visión de la hidrodinámica Lagrangiana, y la evolución temporal de las cantidades hidrodinámicas se calcula en la partículas.
Se añade un esquema de viscosidad artificial dependiente del tiempo para manejar choques hidrodinámicos. Este modelo resuelve un problema de Riemann local dado por los dos estados de partículas vecinas y añadiendo la correspondiente contribución a las ecuaciones de conservación del momento y de la energía.
A diferencia del SPH Newtoniano, la gravedad no se puede implementar dentro del esquema de partículas. Debemos resolver las ecuaciones de campo de Einstein, para lo que se utiliza el formalismo 3+1 o ADM que consiste en foliar el espacio-tiempo en hipersuperfícies espaciales con coordenada de tiempo constante. En esta aproximación, las ecuaciones de campo de Einstein se dividen en un conjunto de ecuaciones de ligadura y un conjunto de ecuaciones de evolución formulando de esta manera un problema de Cauchy.