El formalismo 3+1 de la relatividad numérica.

En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, también explica el formalismo $latex 3+1$.

Resolver las ecuaciones de campo de Einstein en la práctica es complicado, ya que son un sistema de $latex 10$ EDPs en $latex 4D$ acopladas y no lineales con muchísimos términos. Se conocen soluciones exactas en situaciones muy concretas con un alto grado de simetría espacial o temporal (simetría esférica, simetría axial, soluciones estáticas, homogéneas, isotrópicas, etc.), pero en la mayoría de situaciones interesantes en astrofísica no se dan estas condiciones y tenemos que resolverlas utilizando aproximaciones numéricas mediante complicados programas.

En relatividad numérica, la idea es separar las ecuaciones de campo de Einstein de forma que podamos dar ciertas condiciones iniciales y, a partir de ellas, obtener la evolución del campo gravitacional. Existen diferentes maneras de hacerlo y el formalismo $latex 3+1$, que es el mas ampliamente utilizado, lo hace separando las tres componentes espaciales de la temporal.

Para estudiar la evolución en el tiempo, lo primero que se hace es formular un problema de Cauchy. En las ecuaciones de Einstein, el espacio y el tiempo son simétricos, por lo que primero debemos separar uno de otro. Lo que queremos es un espacio-tiempo orientable temporalmente de manera que podamos elegir de manera contínua a través del espacio-tiempo la mitad del cono de luz que contituye la dirección futura y de la mitad que corresponde a la dirección pasada. A la formulación de la relatividad general (GR) resultante de esta separación es el formalismo $latex 3+1$.

Un conjunto abierto $latex U$ de un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico sii:

1. Para cualquier par de puntos $latex p$ y $latex q$, el conjunto $latex gamma^+(p) cap gamma^-(q) subset U$ y es compacto, donde $latex gamma^pm(S)$ son el futuro y pasado causal de una region $latex S$.
2. No existen curvas espacio-temporales cerradas que pasen por $latex U$, prohibiendo los viajes al pasado en el tiempo y cumpliendose de esta manera el pricipio de causalidad en el abierto.

Una $latex p$-foliación de una variedad $latex M$ de dimension $latex n$ consiste en una partición de ésta en subvariedades diferenciables $latex {N_i}_{i in I}$ de dimensión $latex dim N_i = p<;m,,forall iin I$, por lo que localmente $latex M$ tiene estrutura topologica de variedad producto. Por ejemplo, una $latex 2$-foliación del espacio $latex mathbb{R}^3$ es $latex { mathbb{R}^2_z}_{z in mathbb{R}}$. La foliación de una variedad no es única (por ejemplo, $latex { mathbb{R}^2_y}_{y in mathbb{R}}$ es otra foliación posible de $latex mathbb{R}^3$, asumiendo que sabemos de que hablamos cuando nos referimos a $latex z$ o $latex y$: planos con vector normal $latex (0,0,1)$ en el primer caso y $latex (0,1,0)$ en el segundo).

Todo espacio-tiempo globalmente hiperbólico puede ser foliado, es decir, separado en cortes tridimensionales apilados, de tal forma que cada hoja es una hipersuperficie de Cauchy espacial. Sea $latex (t,x^i)$ un sistema de coordenadas tal que la función $latex t$ es de gradiente temporal. Entonces las superficies $latex t=cte$ (un tiempo «universal» que no tiene porque ser el tiempo propio de nadie) definen una foliación del espacio-tiempo. Denotaremos por $latex Sigma_t$ a la hipersuperfície de Cauchy de tiempo $latex t$.

Dada una foliación $latex Sigma_t$ definida para la función $latex t$, podemos encontrar campos vectoriales $latex xi$ de manera que $latex mathcal{L}_xi t = 1$. Llamamos base de evolución a la pareja $latex (xi,t)$. Podemos descomponer $latex xi$ de manera relativa a un observador euleriano:

$latex xi = alpha n + beta$

donde $latex n = frac{dt}{|dt|}$ con $latex g(n,n)=-1$ es la normal a la foliación, $latex alpha$ es la función de paso y $latex beta$ el vector desplazamiento de la base de evolución. A cada base de evolución podemos asociarle unas coordenadas adaptadas de manera que $latex xi = partial_t$ y $latex (x^i)$ son coordenadas en $latex Sigma_t$, de manera que $latex beta = beta^i partial_i$.

Considerar diferentes $latex alpha$ es considerar diferentes foliaciones, por lo que el paso entre $latex Sigma_0$ y $latex Sigma_t$ depende del punto de $latex Sigma_0$ considerado: $latex alpha = alpha(t,x^i)$.

El vector desplazamiento $latex beta$ determina $latex xi$, define el difeomorfismo entre $latex Sigma_0$ y $latex Sigma_t$: si $latex beta=0$ entonces $latex varphi_t(P_0) = bar{P_t}$ con $latex P_0 in Sigma_0$ y $latex bar{P_t}in Sigma_t$ ambos sobre la misma curva integral de $latex n$, por lo que tenemos evolución sin desplazamiento. Si $latex beta neq 0$ entonces $latex varphi_t(P_0) = P_t$ en $latex Sigma_t$ desplazado respecto $latex bar{P_t}$.

Por lo tanto, tenemos:

$latex g_{munu} = begin{pmatrix} -alpha^2 + beta_k beta^k & beta_i \ beta_j & gamma_{ij} end{pmatrix}$

y

$latex n^mu = frac{1}{alpha}(1,-beta^i)$, $latex n_mu = (-alpha,0)$