Integración en el plano complejo. Formula y teorema de Cauchy para circunferencias.

Integración en el plano complejo.

Definición (Camino, camino opuesto y caminos equivalentes): Un camino es una aplicación

$latex gamma:[a,b] longrightarrow mathbb{C}$

de clase $latex C^1$ a trozos. Si además $latex gamma(a) = gamma(b)$ entonces tenemos un camino cerrado.

Se llama camino opuesto de $latex gamma$ a la aplicación

$latex (-gamma):[-b,-a] longrightarrow mathbb{C} ,/, t mapsto (-gamma)(t):=gamma(-t)$

o, de manera equivalente, para mantener el mismo dominio

$latex (-gamma):[a,b] longrightarrow mathbb{C} ,/, t mapsto (-gamma)(t):=gamma(a+b-t)$.

Dados dos caminos $latex alpha:[a,b] longrightarrow mathbb{C}$ y $latex beta:[c,d] longrightarrow mathbb{C}$ son equivalentes si existe $latex varphi:[c,d] longrightarrow [a,b]$ biyectiva de clase $latex C^1$a trozos creciente de manera que $beta = alpha circ varphi$.

Definición (Integración a lo largo de un camino): Sea $latex f:U subset mathbb{C} longrightarrow mathbb{C}$ una función continua y sea $latex gamma:[a,b] longrightarrow mathbb{C}$ un camino $latex C^1$ tal que $latex gamma^* := gamma([a,b]) subset U$. Entonces:

$latex int_gamma f(z) dz = int_a^b f(gamma(t)) gamma'(t) dt$

Propiedades: Dada $latex f:A subset mathbb{C} longrightarrow mathbb{C}$ es sencillo demostrar

1. $latex int_gamma a f(z)+b g(z) dz = a int_gamma f(z)dz + b int_gamma f(z)dz$.
2. Si $latex alpha$ y $latex beta$ son equivalentes en $latex A$ entonces $latex int_alpha f(z)dz = int_beta f(z)dz$.
3. $latex int_gamma f(z)dz = -int_{-gamma} f(z)dz$.
4. Si $latex gamma = alpha cup beta$ entonces $latex int_gamma f(z)dz = int_alpha f(z)dz + int_beta f(z)dz$.
5. $latex |int_gamma f(z)dz| leq M L(gamma)$ donde $latex M:= max { |f(z)|: z in gamma^* }$ y $latex L(gamma)$ es la longitud de la curva $latex gamma$.
6. Teorema fundamental de cálculo: $latex int_gamma f(z) dz = F(gamma(b)) – F(gamma(a))$, siendo $latex F$ una primitiva de $latex f$. En particular, si $latex gamma$ es cerrado y $latex gamma(a) = gamma(b)$ entonces $latex int_gamma f(z) dz = 0$.

Teorema de Cauchy.

Teorema (de Cauchy)

Corolario (Existencia de primitiva de una función analítica)

Teorema (de Morera)

Fórmula de Cauchy.

Fórmula integral de Cauchy: Sea $latex A$ un abierto, sea $latex overline{D(z_0,R)} subset A$ y $latex f in mathcal{H}(A)$. Entonces

$latex f(z) = frac{1}{2 pi i} int_{C(z_o,R)} frac{f(u)}{u-z} du$ siempre que $latex |z-z_0|<R$

Fórmula integral de Cauchy para derivadas: Sea $latex f in mathcal{H}(A)$, $latex overline{D(z_0,R)} subset A$. Entonces

$latex f^{n)}(z) = frac{n!}{2 pi i} frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du,, forall z in D(z_0,R)$.

Teorema (de Liouville):

Teorema (fundamental del álgebra):

Teorema (de Weierstrass):

Definición (Indice de un punto respecto de un camino): Sea $latex gamma$ un camino y sea $latex A = mathbb{C} – gamma^*$. Entonces se define el índice de $latex z in A$ respecto de $latex gamma$ al número:

$latex ind_gamma(z) = frac{1}{2pi i} int_gamma frac{du}{u-z}$