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Cálculos típicos en variedades diferenciables: la derivada de Lie.

Ya nos apareció la derivada de Lie. Con los datos de este post, ¿Cómo calcularíamos $latex mathcal{L}_{[X,Y]} beta$ con $latex beta := d alpha$?

Primero necesitamos calcular el corchete de Lie de los campos dados:

$latex Z:=[X,Y] = -4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z}$

y que es otro campo vectorial, a continuación necesitamos  la $latex 2$-forma resultante de calcular la diferencial exterior de la $latex 1$-forma::

$latex beta = 2y+1,dx wedge dz + 2x,dywedge dz$

y finalmente calcular la derivada de Lie de la forma respecto del campo.

Todos los cálculos se reduciran a saber aplicar la derivada de Lie a funciones, campos vectoriales y a la diferencial exterior de $latex 1-$formas sabiendo que es una derivación:

  1. $latex mathcal{L}_Xh = X(h)$
  2. $latex mathcal{L}_XY = [X,Y]$
  3. $latex mathcal{L}_X dalpha = d mathcal{L}_X (alpha)$

de manera que:

$latex mathcal{L}_Z beta = mathcal{L}_Z (2y+1,dx wedge dz + 2x,dywedge dz) = $

$latex mathcal{L}_Z (2y+1 , dx wedge dz) + mathcal{L}_Z (2x , dy wedge dz) = $

$latex mathcal{L}_Z(2y+1) , dx wedge dz + (2y +1) mathcal{L}_Z(dx) wedge dz + (2y+1) , dx wedge mathcal{L}_Z(dz) + $

$latex mathcal{L}_Z(2x) , dy wedge dz + 2x mathcal{L}_Z(dy) wedge dz + 2x , dy wedge mathcal{L}_Z(dz))$.

Para evitar errores, calculamos separadamente cada derivada de Lie:

$latex mathcal{L}_Z (2y+1) = Z(2y+1) = [X,Y](2y+1) = (-4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z})(2y+1) = $

$latex = -4 frac{partial}{partial x}(2y+1) -12y frac{partial}{partial z}(2y+1) = 0$

$latex mathcal{L}_Z (dx) = d mathcal{L}_Z x = d([X,Y](x)) = d(-4 frac{partial}{partial x}x -12y frac{partial}{partial z}x) = d(-4)=0$

$latex mathcal{L}_Z(dz) = d mathcal{L}_Z z = d([X,Y](z) = d(-4 frac{partial}{partial x}z -12y frac{partial}{partial z}z)) = -12 dy$

$latex mathcal{L}_Z (2x) = [X,Y](2x) = -4 frac{partial}{partial x}2x -12y frac{partial}{partial z}2x = -8$

$latex mathcal{L}_Z (dy) = d mathcal{L}_Z y = d([X,Y](y)) = d(-4 frac{partial}{partial x}y -12y frac{partial}{partial z}y) = 0$

$latex mathcal{L}_Z(dz) = -12 dy$

Por lo que, finalmente, tenemos:

$latex -12(2y+1) , dx wedge dy – 24 , dy wedge dy – 8 , dy wedge dz$

y como $latex d^2 = 0$, nos queda:

$latex -12(2y+1) , dx wedge dy -8 , dy wedge dz$

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