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El metric solver

Como ya comentamos, de la tesis de Bauswein, adoptando la foliación $latex 3+1$ del espacio-tiempo la métrica queda:

$latex ds^2 = (- alpha^2 + beta_i beta^i) dt^2 + 2 beta_i dx^i dt + gamma_{ij} dx^i dx^j$

En la aproximación CFC resolvemos repetidamente el problema de valor inicial. De acuerdo con esta aproximación, la parte espacial de la métrica se puede escribir como:

$latex gamma_{ij} = psi^4 delta_{ij}$

donde $latex psi$ es el factor conforme (una transformación conforme preserva los ángulos. En geometría Riemanniana, dos métricas de Riemann $latex g$ y $latex h$ sobre una variedad $latex M$ son conformemente equivalentes si $latex g=uh$ para alguna función positiva $latex u$ sobre $latex M$. La función $latex u$ es el factor conforme).

De esta manera, las ecuaciones de Einstein, asumiendo $latex K := tr(K_{ij}) = K_i^i =0$, se reducen al sistema de cinco PDE elipticas no lineales acopladas:

$latex Delta psi = -2 pi psi^5 E – frac{1}{8} psi^5 K_{ij}K^{ij}$

$latex Delta(alpha psi) = 2 pi alpha psi^5 (E + 2S) + frac{7}{8} alpha psi^5 K_{ij}K^{ij}$

$latex Delta beta^i + frac{1}{3}partial^i partial_j beta^j = 16 pi alpha rho W + 2 psi^{10} K^{ij} partial_j (frac{alpha}{psi^6}) =: S_beta$

donde $latex E = rho h W^2 – P$, $latex S = rho h (W^2 -1) + 3P$ y

$latex K_{ij} = frac{psi^4}{2 alpha} (delta_{il} partial_j beta_l + delta_{jl} partial_i beta^l – frac{2}{3} delta_{ij} partial_k beta^k )$

que podemos escribir de manera mas compacta como:

$latex Delta B^i = S_beta$

$latex Delta chi = partial_i B^i$

si definimos $latex beta^i = B^i – frac{1}{4} partial_i chi$ y que es un sistema tipo Poisson que puede ser resuelto iterativamente hasta la convergencia con un método multigrid.

Las condiciones en la frontera se dan mediante desarrollo multipolar () de los terminos fuente, que son no compactas, hasta el armónico quadrupolar.

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