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14 noviembre, 2012

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We try to write the formulas in its most general form and fix

First of all, in the simplest form of the HD equations we have

$latex frac{dboldsymbol{v}_a}{dt} = -sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{P_b}{rho_b^2}) nabla_a W_{ab}$ (momentum)

where:

$latex rho_a = sum_b m_b W_{ab}$ (density),

$latex frac{de_a}{dt} = frac{1}{2} sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{P_b}{rho_b^2}) boldsymbol{v}_{ab} cdot nabla_a W_{ab}$ (density energy),

$latex P_a$ and $latex P_b$

are obtained from the EoS and $latex frac{dboldsymbol{r}_a}{dt} = boldsymbol{v}_a$.

In SHD we have:

$latex d$

Finally, the GHD equations are:

$latex d$

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A continuación se muestra el fragmento de código de la app RadSol que resuelve por radicales la ecuación cuártica (pulsar para ampliar):

La idea, como se puede apreciar en el código, es que resuelve una ecuación cuadrática en la que aparece la solución real de la cúbica resolvente.

Para la resolvente, dada la ecuación de tercer grado $latex x^3 + bx^2 + cx+d = 0$, la fórmula de las soluciones es:

$latex -frac{b}{3}+frac{t}{3}+frac{b^2-3c}{3t}$ con $latex t = E^{frac{1}{3}}$

donde:

$latex E=frac{9bc – 2b^3 -27d + sqrt{D}}{2}$ y $latex D = (9bc -2b^3-27d)^2 + 4(3c-b^2)^3$

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