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Discretización de PDEs, matrices por bloques, simetrizaciones y rangos.

Suponemos $latex Delta u = f$ en $latex 2D$, es decir,

$latex frac{partial^2}{partial x^2}u(x,y) + frac{partial^2}{partial y^2}u(x,y) = f(x,y)$.

Miraremos como queda la matriz del sistema al discretizar, como simetrizarla y su rango en tres casos: condición Neuman respecto $latex x$ en una frontera, condición Neumann respecto $latex y$ en una frontera y condición Neumann respecto $latex x$ e $latex y$ en dos fronteras.

Discretizamos con $latex n=5$. Si todas las condiciones fueran Dirichlet, la matriz quedaría:

$latex A_1 = left(
begin{array}{ccc|ccc|ccc}
-4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4
end{array}
right) $.

En este caso, $latex A_1 in mathcal{M}(9 times 9)$ y simétrica, lo que permite tratar de manera conjunta los problemas de existencia y unicidad de solución. Si calculamos su rango obtenemos $latex 9$ por lo que existe solución y es única. Desde el punto de vista algebraico, es el punto $latex (u_{1,1},u_{1,2},u_{1,3},u_{2,1},u_{2,2},u_{2,3},u_{3,1},u_{3,2},u_{3,3})$ intersección de $latex 9$ hiperplanos

$latex -4x_{1,1} + x_{1,2} + x_{2,1} = f_{1,1}$,

$latex x_{1,1}-4x_{1,2}+x_{1,3} + x_{2,2} = f_{1,2}$,

$latex ldots$

en el espacio $latex mathbb{R}^9$.

Si condiremos conocidos $latex frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u, frac{partial}{partial x}|_{0,3}u$ en lugar de $latex u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3}$ ($latex u_{0,0}$ y $latex u_{0,4}$ son conocidos por las otras fronteras que son Dirichelt), tenemos:

$latex A_2 = left(
begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}
-4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$

de manera que $latex A_2 in mathcal{M}(12 times 12)$ y no es simétrica. Sin embargo es facilmente simetrizable dividiendo las tres primera filas (hacemos lo mismo en el termino independiente) por $latex 2$:

$latex A_2 = left(
begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}
-2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$

Tenemos $latex 12$ incognitas ($latex u_{i,j}$ con $latex i=0..3$ y $latex j=1..3$) y el rango de $latex A_2$ es $latex 12$, por lo que la solución, nuevamente, es única.

Para el caso en el que conocemos $latex frac{partial}{partial y}|_{1,0}u, frac{partial}{partial y}|_{2,0}u, frac{partial}{partial y}|_{3,0}u$ en lugar de $latex u_{1,0}, u_{2,0}, u_{3,0}$, si el orden que tomamos es el contrario al tomado anteriormente llegaremos a la misma estructura de antes. Sin embargo, como en el siguiente caso nos veremos obligados a seleccionar uno de los dos, vamos a ver como queda este caso utilizando el mismo orden que antes:

$latex A_3 = left(
begin{array}{cccc|cccc|cccc}
-4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$

que podemos simetrizar facilmente y queda:

$latex A_3 = left(
begin{array}{cccc|cccc|cccc}
-2 & 1 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$

Tenemos $latex 12$ ecuaciones con $latex 12$ incognitas ($latex u_{i,j}$ con $latex i=1..3$ y $latex j=0..3$) y el rango de $latex A_3$ es $latex 12$, por lo que la solución es única.

Finalmente, suponemos conocidos $latex frac{partial}{partial x}|_{0,0}u, frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u, frac{partial}{partial x}|_{0,3}u, frac{partial}{partial y}|_{0,0}u, frac{partial}{partial y}|_{1,0}u, frac{partial}{partial y}|_{2,0}u, frac{partial}{partial y}|_{3,0}u$ que incorpora $latex 7$ ecuaciones mas a las $latex 9$ que ya teniamos por lo que nos queda una matrix $latex A_4 in mathcal{M}(16 times 16)$:

$latex left(
begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc}
-4 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$,

simetrizable dividiendo la fila correspondiente a $latex u_{0,0}$ por $latex 4$, y las correspondientes a $latex u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3}, u_{1,0},u_{2,0}, u_{3,0}$  por $latex 2$, quedando:

$latex left(
begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc}
-1 & frac{1}{2} & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$,

con lo que el sistema vuelve a ser compatible y determinado.

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