marzo 2013

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El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura $latex (-,+,+,+)$ tendríamos ($latex c=1$):

$latex square = -partial_{tt} + partial_{xx} + partial_{yy} + partial_{zz} = -partial_{tt} + nabla$,

que, numerando las variables, tenemos:

$latex square = partial^alpha partial_alpha = g^{alpha beta} partial_beta partial_alpha$.

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Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular.

El tensor de curvatura de Riemann:

$latex R^{a}_{bcd} = partial_c Gamma^{a}_{bd} – partial_d Gamma^{a}_{bc} + Gamma^{a}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{a}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$,

el tensor de Ricci:

$latex R_{ab} = R^{c}_{acb} = partial_c Gamma^{c}_{bd} – partial_d Gamma^{c}_{bc} + Gamma^{c}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{c}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$,

la curvatura escalar:

$latex R = R^{a}_{a}$

y el tensor de Weyl:

$latex C_{abcd} = R_{abcd} – $

$latex – frac{1}{2}(g_{ac}R_{bd}-g_{ad}R_{bc}-g_{bc}R_{ad}+g_{bd}R_{ac}) + frac{1}{6}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) R$

Empezamos con la esfera $latex S^2(frac{1}{r^2})$. Recordamos los símbolos de Christoffel que encontramos:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta} = 0, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta} = 0, Gamma^{theta}_{varphi varphi} = -sin theta cos theta$,

$latex Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta} = cot theta, Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = 0$

(Escribir ahora las ecuaciones de las geodésicas es inmediato: una equacion por variable contravariante donde aparece la segunda derivada de esta y un termino para cada símbolo no nulo de la fila con la primera derivada de las variables covariantes:

$latex begin{cases} ddot{theta} – dot{varphi}^2 sin theta cos theta = 0 \ ddot{varphi} + 2 dot{theta} dot{varphi} cot theta = 0 end{cases}$

que coincide con lo que calculamos en este post de otra manera sin necesidad de los símbolos de Christoffel).

Tenemos cuatro índices y cada uno puede tomar dos valores, pues estamos trabajando con superificies, variedades de dos dimensiones, por lo que tenemos un tensor de con 16 componentes (en el caso de estar trabajando con una variedad de cuatro dimensiones como es espacio-tiempo, el tensor de Riemann tiene 256 componentes..). Aunque existe una serie de propiedades que minimizan el número de componentes de $latex n^4$ a $latex frac{1}{12}n^2(n^2-1)$ (simetrías, antisimetrías e identidades de Bianchi) vamos a calcularlos todos aquí para practicar.

$latex R^{theta}_{ theta theta theta} = partial_theta Gamma^{theta}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta theta varphi} = partial_theta Gamma^{theta}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta varphi theta} = partial_varphi Gamma^{theta}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta varphi varphi} = partial_varphi Gamma^{theta}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 0$

$latex R^{theta}_{ varphi theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ varphi theta varphi} = $

$latex = partial_theta Gamma^{theta}_{varphi varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{varphi theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{varphi varphi} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{varphi varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{varphi theta} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{varphi theta} = sin^2 theta$

$latex R^{theta}_{ varphi varphi theta} = $

$latex = partial_varphi Gamma^{theta}_{varphi theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{varphi varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{varphi theta} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{varphi theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{varphi varphi} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = -sin^2 theta$

$latex R^{theta}_{varphi varphi varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ theta theta theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{ theta theta varphi} = partial_theta Gamma^{varphi}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{varphi}_{theta theta} + Gamma^{varphi}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{varphi}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{varphi}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{varphi}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} = -1$

$latex R^{varphi}_{ theta varphi theta} = partial_varphi Gamma^{varphi}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{varphi}_{theta varphi} + Gamma^{varphi}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{varphi}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{varphi}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{varphi}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 1$

$latex R^{varphi}_{ theta varphi varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi theta theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi theta varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi varphi theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = 0$

Continuamos con el tensor de Ricci. Podemos calcularlo a partir de la formula o a partir del tensor de Riemann, que ya lo tenemos. Lo haremos de esta última manera:

$latex R_{theta theta} = R^{a}_{theta a theta} = R^{theta}_{theta theta theta} + R^{varphi}_{theta varphi theta} = 1$

$latex R_{theta varphi} = R^{a}_{theta a varphi} = R^{theta}_{theta theta varphi} + R^{varphi}_{theta varphi varphi} = 0$

$latex R_{varphi theta} = R^{a}_{varphi a theta} = R^{theta}_{varphi theta theta} + R^{varphi}_{varphi varphi theta} = 0$

$latex R_{varphi varphi} = R^{a}_{varphi a varphi} = R^{theta}_{varphi theta varphi} + R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = sin^2 theta$.

Finalmente, calculamos la curvatura escalar:

$latex g^{cb}R_{ab} = R^c_a$,

$latex R^a_a = g^{theta theta}R_{theta theta} + g^{theta varphi}R_{theta varphi} + g^{varphi theta}R_{varphi theta} + g^{varphi varphi}R_{varphi varphi} = frac{1}{r^2}1+frac{1}{r^2 sin^2 theta} sin^2 = frac{2}{r^2}$,

que es, tal y como esperabamos, la mitad de la curvatura de Gauss ($latex R = 2K$).

Seguimos ahora con la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{r^2})$. Los símbolos de Christoffel eran:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta} = -csc theta sec theta, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta} = 0, Gamma^{theta}_{varphi varphi} = -sin^2 theta tan theta$,

$latex Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta} = cot theta, Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = 0$

(Aprovechamos otra vez, conocidos los símbolos de Christoffel, para escribir las ecuaciones de las geodésicas:

$latex begin{cases} ddot{theta} – dot{theta}^2 csc theta sec theta – dot{varphi}^2 sin^2 theta tan theta = 0 \ ddot{varphi} + 2 dot{theta} dot{varphi} cot theta = 0 end{cases}$

que debería coincidir con la de aquí).

Como es bastante laborioso, aquí otro programita, esta vez para el tensor de Riemann:

tensorRiemann

y los resultados:

tensorRiemannPseudoesfera

por tanto, Ricci es:

$latex R_{theta theta} = R^{a}_{theta a theta} = R^{theta}_{theta theta theta} + R^{varphi}_{theta varphi theta} = – cot^2 theta$

$latex R_{theta varphi} = R^{a}_{theta a varphi} = R^{theta}_{theta theta varphi} + R^{varphi}_{theta varphi varphi} = 0$

$latex R_{varphi theta} = R^{a}_{varphi a theta} = R^{theta}_{varphi theta theta} + R^{varphi}_{varphi varphi theta} = 0$

$latex R_{varphi varphi} = R^{a}_{varphi a varphi} = R^{theta}_{varphi theta varphi} + R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = -sin^2 theta$.

y la curvatura escalar:

$latex R=R^a_a = g^{theta theta}R_{theta theta} + g^{theta varphi}R_{theta varphi} + g^{varphi theta}R_{varphi theta} + g^{varphi varphi}R_{varphi varphi} = $

$latex = frac{1}{r^2 cot^2 theta}(-cot^2 theta)+frac{1}{r^2 sin^2 theta} (-sin^2) = -frac{2}{r^2}$,

que vuelve a ser $latex R = 2K$. Aquí es resultado con dos nuevas funciones programadas para el tensor de Ricci y la curvatura escalar:

RiemannRicciRH2

Por último, para $latex mathbb{R}^2$ todo es $latex 0$.

Finalmente una gráfica de todas las curvaturas escalares que hemos encontrado:

curvaturaEscalar2D

Los colores son los mismos que los de las superficie correspondiente de este post y añadiendo en rojo la curvatura escalar del toro. Recordar que, en superficies, la curvatura escalar es el doble de la curvatura Gauss o curvatura intrínseca y esta, a su vez, es el producto de las dos curvaturas principales.

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Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0$ y $latex Q = 0$). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

$latex g = – (1-frac{2Mr}{Sigma})dt otimes dt – frac{4aMrsin^2theta}{Sigma}dt tilde{otimes} dvarphi + $

$latex + frac{Sigma}{Delta}dr otimes dr + Sigma dtheta otimes dtheta + (r^2+a^2+frac{2a^2Mrsin^2theta}{Sigma})sin^2theta dvarphi otimes dvarphi$

donde $latex a:=frac{J}{M}$, $latex Delta:= r^2 – 2Mr + a^2$ y $latex Sigma = r^2 + a^2 cos^2 theta$. El agujero negro está rotando en la dirección $latex +varphi$ y el espín está restringido al rango $latex 0 leq frac{a}{M} leq 1$. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando $latex a=0$.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en $latex 4$ dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

$latex left(
begin{array}{cccc}
-1+frac{2 M text{x2}}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -frac{2 J text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} \
0 & frac{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}}{frac{J^2}{M^2}-2 M text{x2}+text{x2}^2} & 0 & 0 \
0 & 0 & text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2} & 0 \
-frac{2 J text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & text{Sin}[text{x3}]^2 left(frac{J^2}{M^2}+text{x2}^2+frac{2 J^2 text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{M left(text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}right)}right)
end{array}
right)$

y en un momento obtenemos:

$latex Gamma^{1}_{alpha beta}$:

Gamma1

$latex Gamma^2_{alpha beta}$:

Gamma2

$latex Gamma^3_{alpha beta}$:

Gamma3

$latex Gamma^4_{alpha beta}$:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

$latex frac{d^2}{dt^2}x^i + Gamma^i_{jk} frac{d}{dt}x^j frac{d}{dt}x^k = 0$.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

$latex begin{cases} ddot{t} + ldots = 0 \ ddot{r} + ldots = 0 \ ddot{theta} + ldots = 0 \ ddot{varphi} + ldots = 0 end{cases}$

donde, por ejemplo, para $latex theta$ tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

$latex ddot{theta} – $

$latex – frac{J^2 M^5 r text{Sin}[theta]}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{t}^2 + frac{J^2 M^2 text{Sin}[theta]}{2 left(J^2+M^2 r (-2 M+r)right) left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)} dot{r}^2 – frac{J^2 text{Sin}[theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 text{Cos}[theta]} dot{theta}^2 – $

$latex -frac{left(J^2+M^2 r^2right) text{Cos}[theta] left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^2 text{Sin}[theta]+4 J^2 M^3 r text{Cos}[theta] left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right) text{Sin}[theta]^3+J^4 M^3 r text{Sin}[theta]^5}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{varphi}^2 + $

$latex + frac{J M^4 r left(4 M^2 r^2 text{Cos}[theta]+J^2 (3+text{Cos}[2 theta])right) text{Sin}[theta]}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{t} dot{varphi} + frac{r}{r^2+frac{J^2 text{Cos}[theta]}{M^2}} dot{r} dot{theta} = 0$

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Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:

$latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$.

Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:

$latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin varphi, sin theta)$

y la métrica inducida medainte el pullback era:

$latex f^*h: a^2 dtheta^2 + a^2 sin^2 theta dvarphi^2$

Tenemos que calcular:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta}, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta}, Gamma^{theta}_{varphi varphi}, Gamma^{varphi}_{theta theta}, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta}, Gamma^{varphi}_{varphi varphi}$

Calculamos, por ejemplo, $latex Gamma^{1}_{22} = Gamma^{theta}_{varphi varphi}$:

$latex Gamma_{varphi varphi}^theta = frac{1}{2} { frac{partial}{partial dvarphi}g_{varphi theta} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi theta} + frac{partial}{partial theta}g_{varphi varphi} } g^{theta theta} + frac{1}{2} { frac{partial}{partial dvarphi}g_{varphi varphi} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi varphi} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi varphi} } g^{varphi theta}$,

que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:

$latex Gamma^{theta}_{varphi varphi} = frac{1}{2} (frac{partial}{partial theta} g_{varphi varphi}) g^{theta theta} = -frac{1}{2 a^2} a^2 , 2 sin theta cos theta = – sin theta cos theta$.

Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:


 Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
   For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
     For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
       r = 0;
       For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
         r = r + FullSimplify[
                              1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
                              (D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] + 
                               D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] - 
                               D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
                 ]
       ];
       Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
     ]
   ]
 ]
 

Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre $latex g$ de dimensión $latex 2 times 2$ con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1 y u_2)

$latex g={{a{}^{wedge}2,0},{0,a{}^{wedge}2*text{Sin}[text{u1}]{}^{wedge}2}}$

y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:

$latex text{Simbolos}[]$

y obtenemos:

$latex text{Gamma[}1,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,1,2text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,1text{] = }0$

$latex Gamma^{1}_{22} = text{Gamma[}1,2,2text{] = }-text{Cos}[text{u1}] text{Sin}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,2text{] = }0$

De la misma manera, para la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$ tenemos:

$latex g={{a{}^{wedge}2*text{Cot}[text{u1}]{}^{wedge}2,0},{0,a{}^{wedge}2*text{Sin}[text{u1}]{}^{wedge}2}}$

que nos da, al ejecutar $latex text{Simbolos}[]$,

$latex text{Gamma[}1,1,1text{] = }-text{Csc}[text{u1}] text{Sec}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}1,1,2text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,2text{] = }-text{Sin}[text{u1}]^2 text{Tan}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,1text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,2text{] = }0$.

Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para $latex mathbb{R}^2$ obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son $latex 0$, de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.

Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo $latex T^a_b$, queda:

$latex nabla_c T^a_b = partial_c T^a_b + Gamma^a_{dc} T^d_b – Gamma^d_bc T^a_d$,

que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.

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Tomamos el toro $latex mathbb{T}^2$ como variedad diferenciable sobre el que construiremos dos variedades de Riemann no isométricas.

Por una parte, si consideramos $latex mathbb{T}^2 = S^1(frac{1}{a^2}) times S^1(frac{1}{b^2})$. Como a $latex S^1(frac{1}{a^2})$ le corresponde la métrica $latex theta_1^2$ y a $latex S^1(frac{1}{b^2})$ le corresponde $latex theta_2^2$, podemos construir una variedad de Riemann con la métrica producto:

$latex (mathbb{T}^2, (dtheta^1)^2 + (dtheta^2)^2)$

Por otra, podemos considerar el embedding (la parametrización) de $latex mathbb{T}^2$ en $latex mathbb{R}^3$ siguiente:

$latex f: mathbb{T}^2 longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta^1,theta^2) mapsto (a+bcos theta^1) cos theta^2, (a + b cos theta^1) sin theta^2, b sin theta^2)$

de manera  que, mediante el pullback, podemos construir la métrica $latex f^*h$ donde $latex h$ es la métrica ordinaria de $latex mathbb{R}^3$:

$latex f^*h = b^2 (dtheta_1)^2 + (a+b cos theta^1)^2 (dtheta^2)^2$.

Estas dos variedades de Riemann no son isométricas (la primera tiene $latex k=0$, por lo que es isométrica al plano y la variedad recibe el nombre de toro plano, mientras que la segunda tiene $latex k neq 0$ y es el toro habitual).

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El teorema de Whitney nos dice que toda variedad diferenciable admite una métrica. La idea es sencilla: como toda variedad $latex M$ admite una inmersión $latex f:M longrightarrow mathbb{R}^m$ en un espacio euclideo de dimensión apropiada $latex m$ entonces $latex f^*h$ es una métrica de Riemann en $latex M$ donde $latex h$ es la métrica ordinaria de $latex mathbb{R}^m$.

Dada una variedad de Riemann $latex (M,g)$, siempre podemos construir una conexión $latex nabla$ compatible con la métrica, $latex nabla_g = 0$, y libre de torsión, $latex T(nabla) = 0$ a la que llamaremos conexión de Levi-Civita.

¿Cómo es su expresión en coordenadas? La condición $latex nabla_g = 0$ hace que

$latex X(g(Y,Z)) = g(nabla_X Y,Z) + g(Y,nabla_X Z)$.

Si la escribimos tres veces permutando los campos $latex X, Y, Z$ obtenemos:

$latex X(g(Y,Z)) = g(nabla_X Y,Z) + g(Y,nabla_X Z)$,

$latex Z(g(X,Y)) = g(nabla_Z X,Y) + g(X,nabla_Z Y)$,

$latex Y(g(Z,X)) = g(nabla_Y Z,X) + g(Z,nabla_Y X)$.

Sumando las dos primeras, restando la última y aplicando que $latex T(nabla)=0$, es decir, que $latex nabla_X Y – nabla_Y X = [X,Y]$ nos queda:

$latex X(g(Y,Z)) + Z(g(X,Y)) – Y(g(Z,X)) = $

$latex = g([X,Y],Z) + g([Z,Y],X) + g([X,Z],Y) + 2g(nabla_Z X, Y)$,

por lo que, despejando:

$latex g(nabla_Z X, Y) = $

$latex = frac{1}{2} { X(g(Y,Z)) + Z(g(X,Y) + Y(g(Z,X)) -$

$latex – g([X,Y],Z) – g([Z,Y],X) + g([X,Z],Y) )}$.

Si $latex (U,(x^i))$  es un abierto de coordenadas de $latex (M,g)$, veamos la expresión de los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita $latex nabla$. En la expresión anterior hacemos $latex Z = frac{partial}{partial x^i}$, $latex X = frac{partial}{partial x^j}$ y $latex Y = frac{partial}{partial x^r}$ y como el claudator de Lie para estos campos es cero, nos queda:

$latex g(nabla_{frac{partial}{partial x^i}} frac{partial}{partial x^j}, frac{partial}{partial x^r} ) = frac{1}{2} { frac{partial}{partial dx^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} + frac{partial}{partial x^j}g_{ij} } =$

es decir:

$latex Gamma_{ij}^l g_{lr} = frac{1}{2} { frac{partial}{partial x^j} g_{ir} + frac{partial}{partial x^i} g_{jr} + frac{partial}{partial x^r} g_{ij} }$

y utilizando la matriz inversa $latex g^{ij}$ de $latex g_{ij}$ obtenemos:

$latex Gamma_{ij}^l g_{lr}g^{rk} = Gamma_{ij}^l delta_l^k = Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} { frac{partial}{partial dx^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} + frac{partial}{partial x^r}g_{ij} } g^{rk}$,

Por lo que los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita se obtienen a partir de la métrica y de sus primeras derivadas.

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Ya escribimos al respecto en este post. Aquí lo que haremos es reescribir las expresiones allí introducidas

En primer lugar, teniamos:

 $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij}S_j^* – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$

donde:

$latex S_j^* := sqrt{ frac{gamma}{f} } S = psi^6 S_j$,

$latex S_j := rho h w^2 v_j$.

En el caso de estar trabajando en cartesianas y teniendo en cuenta todo el trabajo realizado en el artículo, nos queda:

$latex partial_{xx} X^x + partial_{yy} X^x + partial_{zz} X^x = 8 pi psi^6 rho h w^2 v_x – frac{1}{3} partial_x (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z)$,

$latex partial_{xx} X^y + partial_{yy} X^y + partial_{zz} X^y = 8 pi psi^6 rho h w^2 v_y – frac{1}{3} partial_y (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z)$,

$latex partial_{xx} X^z + partial_{yy} X^z + partial_{zz} X^z = 8 pi psi^6 rho h w^2 v_z – frac{1}{3} partial_z (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z)$.

A continuación, y para la siguiente ecuación, necesitamos:

$latex hat{A}^{ij} = mathcal{D}^i X^j + mathcal{D}^j X^i – frac{2}{3} mathcal{D}_k X^k f^{ij}$

que queda como:

$latex hat{A}^{xx} = 2 partial_x X^x – frac{2}{3} (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z)$,

$latex hat{A}^{xy} = hat{A}^{yx}= partial_x X^y + partial_y X^x$,

$latex hat{A}^{xz} = hat{A}^{zx} = partial_x X^z + partial_z X^x$,

$latex hat{A}^{yy} = 2 partial_y X^y – frac{2}{3} (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z)$,

$latex hat{A}^{yz} = hat{A}^{zy} = partial_y X^z + partial_z X^y$,

$latex hat{A}^{zz} = 2 partial_z X^z – frac{2}{3} (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z)$,

por lo que:

$latex Delta psi = -2 pi psi^{-1} E^* – psi^{-7} frac{f_{il}f_{jm}hat{A}^{lm}hat{A}^{ij}}{8}$

donde:

$latex E^*:= sqrt{ frac{gamma}{f} } E = psi^6 E$,

$latex E:= D + tau$

es:

$latex Delta psi = -2 pi psi^{-1} (D + tau) – psi^{-7} frac{(hat{A}^{xx})^2+(hat{A}^{yy})^2+(hat{A}^{zz})^2+2(hat{A}^{xy})^2+2(hat{A}^{xz})^2+2(hat{A}^{yz})^2}{8}$.

La siguiente:

$latex Delta (alphapsi) = 2 pi (alphapsi)^{-1} (E^* + 2S^*) + frac{7}{8} (alphapsi)^{-7} (f_{il} f{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij})$

con:

$latex S^*:= sqrt{ frac{gamma}{f} } S = psi^6 S$,

$latex S:= rho h (w^2-1) + 3 p$

queda:

$latex Delta (alphapsi) = 2 pi (alphapsi)^{-1} ( D + tau + 2 rho h (w^2-1) + 6 p) + $

$latex + frac{7}{8}(alphapsi)^{-7} ((hat{A}^{xx})^2+(hat{A}^{yy})^2+(hat{A}^{zz})^2+2(hat{A}^{xy})^2+2(hat{A}^{xz})^2+2(hat{A}^{yz})^2)$

Y la última:

$latex Delta beta^i = mathcal{D}_j (2 (alphapsi)^{-6} hat{A}^{ij}) – frac{1}{3} mathcal{D}^i (mathcal{D}_j beta^j)$,

que escribimos como:

$latex Delta beta^x = partial_x (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{xx}) + partial_y (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{xy}) + partial_z (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{xz}) – $

$latex – frac{1}{3} partial_x (partial_x beta^x + partial_y beta^y + partial_z beta^z)$

$latex Delta beta^y = partial_x (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{yx}) + partial_y (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{yy}) + partial_z (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{yz}) – $

$latex – frac{1}{3} partial_y (partial_x beta^x + partial_y beta^y + partial_z beta^z)$

$latex Delta beta^z = partial_x (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{zx}) + partial_y (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{zy}) + partial_z (2 (alpha psi)^{-6} hat{A}^{zz}) – $

$latex – frac{1}{3} partial_z (partial_x beta^x + partial_y beta^y + partial_z beta^z)$

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Sigamos con lo que empezamos en el post anterior.

Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann $latex (S^2(1/a^2),g)$ con

$latex g = left(
begin{array}{cc}
a^2 & 0 \
0 & a^2 sin^2 theta
end{array}
right)$

y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica dada, es decir, como realizar la derivación covariante o transporte paralelo, como encontrar las geodésicas, la calcular la curvatura intrínseca, etc.

Para empezar, dada una curva $latex gamma:I longrightarrow M$ diferenciable, $latex forall a,b in I$, $latex a < b$, se define la longitud del segmento de curva $latex alpha$, desde $latex a$ hasta $latex b$, como:

$latex L [gamma]_a^b=int_a^b || gamma’||dt$ con $latex ||gamma’|| = sqrt{g(gamma’,gamma’)}$,

es decir:

$latex L [gamma]_a^b=int_a^b sqrt{g_{ij} gamma’^i gamma’^j} dt$

En este primer caso que nos ocupa, vamos a medir la longitud de medio meridiano, $latex varphi=0$ ,parametrizado sobre la esfera como $latex gamma(theta,0)=a(sin theta, 0, cos theta)$ con $latex theta in ]0,pi[$. Pero hay que realizar los cálculos de manera intrínseca, por lo que la curva que nos interesa es $latex gamma(theta)=(theta,0)$ con $latex theta in ]0,pi[$. Calculamos $latex dot{gamma}(t) = (1,0)$, de manera que $latex dot{gamma}^1(t) = 1$ y  $latex dot{gamma}^2(t)=0$. Entonces:

$latex L[gamma]_0^{pi} = int_0^{pi} sqrt{sum_{i=0}^1 sum_{j=0}^1 g_{ij} dot{gamma}^i(t) dot{gamma}^j(t)} dt = int_0^{pi} sqrt{ a^2 } dt = a int_0^{pi} dt = a pi$

De la misma manera, para los habitantes de la hiperesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$, pueden medir la longitud de una sección apropiada (recordar que tenemos comportamiento asintótico en $latex 0$ y cambio discontínuo de la normal a la superfície en $latex theta = frac{pi}{2}$) de su meridiano $latex 0$ sabiendo su parametrización en coordenadas $latex (theta, phi)$ sobre la hiperesfera y conociendo la métrica de esta variedad en donde viven:

$latex gamma(theta,varphi) = (theta, 0)$ con $latex theta in ]b,c[$

$latex g = left(
begin{array}{cc}
a^2 cot^2 theta & 0 \
0 & a^2 sin^2 theta
end{array}
right)$

de manera que, procediendo como antes:

$latex L[gamma]_b^c = a int_b^{c} sqrt{cot^2 theta} dtheta = a sqrt{cot^2 theta} tan theta ln[sin theta]|_{b}^{c}$.

Por ejemplo, para $latex a=1$, $latex b = frac{pi}{4}$ y $latex c = frac{pi}{2}$ nos queda $latex L[gamma]_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} = frac{ln{2}}{2}$ y para $latex L[gamma]_{frac{pi}{8}}^{frac{pi}{2}} = -ln{sin frac{pi}{8}}$.

¿Necesitamos calcular la conexión de Levi-Civita $latex nabla$, que es la única libre de torsión (dados dos campos vectoriales $latex X, Y$, como $latex T(X,Y) = nabla_X Y – nabla_Y X – [X,Y]$, lo que tenemos es que $latex nabla_X Y – nabla_Y X = [X,Y]$) que preserva la métrica ($latex nabla_g = 0$) para calcular las geodésicas?

Pues no.  En el libro Geometría Diferencial y Relatividad de J. Girbau encontramos una receta del procedimiento para calcular las geodésicas basada en, a grandes rasgos:

  • Llamamos geodésica a toda curva $latex x(t)$ tal que $latex nabla_{dot{x(t)}} dot{x(t)} = 0$.
  • En coordenadas, $latex nabla_X Y = ( X(Y^k) + Y^j X^i Gamma_{ij}^k) e_k$.
  • En una carta local $latex (U,x^i)$, le ecuación $latex nabla_{dot{x(t)}} dot{x(t)}$ se escribe $latex frac{d^2 x^i}{dt^2}+Gamma_{jk}^i frac{dx^j}{dt} frac{dx^k}{dt} = 0$ donde $latex Gamma_{jk}^i$ son los símbolos de Christoffel relativos a la base $latex partial_{x^i}$.
  • “muchos matemáticos alejados del mundo de la física o del cálculo de variaciones en su formulación primitiva de Euler”, como es mi caso :-), “tienen la firme convicción de que para escribir explícitamente las ecuaciones de las geodésicas de una determinada métrica de Riemann es indispensable haber calculado previamente la derivada covariante $latex nabla$ asociada a la métrica, ya sea por sus símbolos de Christoffel o per algun otro método equivalente. Nada mas lejos de la realidad”.
  • Tendremos la métrica $latex g$ que depende de $latex x^1,ldots,x^n$. Escribimos, formalmente, la función de $latex 2n$ variables $latex x^i, dot{x}^i$ que volvemos a denotar $latex g$ abusando de la notación. Entonces, con la convención $latex frac{d}{dt}x^i = dot{x}^i$ y $latex frac{d}{dt}dot{x}^i = ddot{x}^i$, las ecuaciones de las geodésicas son: $latex frac{d}{dt} frac{partial}{partial dot{x}^i} g = frac{partial}{partial x ^i} g $.

Vamos a aplicarlo, en primer lugar, a la esfera $latex S^2(frac{1}{a^2})$. Como:

$latex g = a^2 dtheta otimes dtheta + a^2 sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$,

entonces:

$latex g(theta,varphi,dot{theta},dot{varphi}) = a^2 dot{theta}^2+ a^2 sin^2 theta dot{varphi}^2$,

de manera que:

$latex partial_theta g = a^2 , 2 sin theta cos theta dot{varphi}^2$

$latex partial_varphi g = 0$

$latex partial_{dot{theta}} g = a^2 , 2 dot{theta}$ y entoces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{theta}} g = a^2 2 ddot{theta}$

$latex partial_{dot{varphi}} g = a^2 sin^2 theta 2 dot{varphi} $ y entonces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{varphi}} g = 2 a^2 sin theta (cos theta dot{theta} dot{varphi} + sin theta ddot{varphi})$.

Así pués, las ecuaciones de las geodésicas son:

$latex begin{cases}ddot{theta} – dot{varphi}^2 sin theta cos theta = 0 \ sin theta (2 dot{theta} dot{varphi} cos theta + ddot{varphi} sin theta) = 0 end{cases}$

En el caso de la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$ tenemos:

$latex g = a^2 cot^2 theta dtheta otimes dtheta + a^2 sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$,

entonces:

$latex g(theta,varphi,dot{theta},dot{varphi}) = a^2 cot^2 theta dot{theta}^2+ a^2 sin^2 theta dot{varphi}^2$,

de manera que:

$latex partial_theta g = 2 a^2 (-dot{theta}^2 cot theta csc^2 theta + dot{varphi}^2 cos theta sin theta )$

$latex partial_varphi g = 0$

$latex partial_{dot{theta}} g = 2 a^2 dot{theta} cot^2 theta$ y entoces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{theta}} g = 2 a^2 cot theta (ddot{theta} cot theta – 2 dot{theta}^2 csc^2 theta )$

$latex partial_{dot{varphi}} g = 2 a^2 dot{varphi} sin^2 theta$ y entonces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{varphi}} g =2 a^2 sin theta (ddot{varphi} sin theta + 2 dot{theta} dot{varphi} cos theta )$.

Así pues, las geodésicas cumplen:

$latex begin{cases} cot theta (ddot{theta} cot theta – 2 dot{theta}^2 csc^2 theta) – (-dot{theta}^2 cot theta csc^2 theta + dot{varphi}^2 cos theta sin theta ) = 0 \ sin theta (ddot{varphi} sin theta + 2 dot{theta} dot{varphi} cos theta ) = 0 end{cases}$

Para terminar, procediento de la misma manera para $latex mathbb{R}^2$ obtenemos que las geodésicas satisfacen:

$latex begin{cases} ddot{theta} = 0 \ ddot{varphi} = 0 end{cases}$

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Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann $latex M$ conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante $latex k$ es isométrica a:

  • el Espacio Hiperbólico: $latex mathbb{H}^n(k)$ si $latex k<0$,
  • el Espacio Euclídeo: $latex mathbb{R}^n$ si $latex k=0$,
  • la Hipersuperfície Esférica: $latex S^n(k)$ si $latex k>0$.

En particular, cuando la dimensión sea $latex n=2$, tenemos las superfícies $latex mathbb{H}^2(k)$, trabajaremos con la pseudoesfera, el plano $latex mathbb{R}^2$ y la esfera $latex S^2(k)$.

En este caso, existe una forma sencilla de calcular la primera forma fundamental $latex I equiv ds^2$, la métrica inducida por la métrica Euclidea del espacio ambiente $latex mathbb{R}^3$ en el que las superficies pueden ser embebidas, a partir de su parametrización (Una parametrización $latex f$ es un embedding y si $latex h$ es la métrica del espacio ambiente entonces tenemos la métrica $latex f^*h$ en la variedad):

$latex S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$,

$latex I(u,v) = E(u,v) du otimes du + F(u,v) du otimes dv + $

$latex + F(u,v) dv otimes du + G(u,v) dv otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$latex ds^2 = g_{00} du^2 + g_{01} du dv + g_{10} dv du + g_{11} dv^2$

donde

$latex g_{00}=frac{partial}{partial u}S(u,v) cdot frac{partial}{partial u}S(u,v) = partial_u S cdot partial_u S$

$latex g_{01}=g_{10} = partial_u S cdot partial_v S$

$latex g_{11} = partial_v S cdot partial_v S$.

Si en lugar de $latex u$ y $latex v$ trabajamos con $latex u_1$ y $latex u_2$ entonces podemos escribir

$latex ds^2 = sum_{i=0}^1 g_{ij}du^i du^j = g_{ij}du^i du^j$,

donde al final aplicamos el $latex C sum E$ con $latex i=1,2$ y $latex j=1,2$.

También son sencillas de calcular el vector normal $latex boldsymbol{n}$, la segunda forma fundamental $latex II$ y la curvatura de Gauss o intrínseca $latex k$:

$latex boldsymbol{n} = frac{partial_u S times partial_v S}{|| partial_u S times partial_v S||}$,

$latex II(u,v) = L(u,v) du otimes du + M(u,v) du otimes dv + $

$latex + M(u,v) dv otimes du + N(u,v) dv otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$latex amalg = b_{00} du^2 + b_{01} du dv + b_{10} dv du + b_{11} dv^2$ o $latex amalg = b_{ij}du^i du^j$

donde

$latex b_{00}=partial_{uu} cdot boldsymbol{n}$

$latex b_{01}=b_{10} = partial_{uv} S cdot boldsymbol{n}$

$latex b_{11} = partial_{vv} S cdot boldsymbol{n}$,

$latex k = frac{LN-M^2}{EG-F^2} = frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}$

Calculamos a continuación todos estos valores en las superficies que nos interesan.

Plano $latex mathbb{R}^2$

Utilizamos la parametrización $latex S(u,v)=(u,v,0)$ con $latex u in mathbb{R}$ y $latex v in mathbb{R}$ (desde el punto de vista de las variedades, tenemos un atlas  con una única carta que es la identidad. Recordar que las cartas van en sentido contrario)

plaR2

$latex g_{00} = partial_u S cdot partial_u S = (1,0,0) cdot (1,0,0) = 1$

$latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=1$

$latex boldsymbol{n} = (0,0,1)$

$latex partial_{uu} S = partial_{uv} S = partial_{vv} S = 0$ y, por tanto, $latex b_{ij}=0$

$latex k = frac{0.0 – 0^2}{1.1 – 0^2} = 0$.

Esfera $latex S^2(k)$

Parametrizamos según indica la figura:

esfera

$latex g_{00} = a^2$, $latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=a^2 sin^2 theta $

$latex boldsymbol{n} = (sin theta cos varphi, sin theta sin varphi ,cos theta)$

$latex b_{00} = -a$, $latex b_{01} = b_{10} = 0$, $latex b_{11}=-a sin^2 theta$

y, por tanto, $latex k = frac{-a.-a sin^2 theta – 0^2}{a^2.a^2 sin^2 theta – 0^2} = frac{1}{a^2}$.

Pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(k)$

pseudoesfera

$latex g_{00} = a^2 cot^2 theta$, $latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=a^2 sin^2 theta $

$latex boldsymbol{n} = (-|cos theta| cos varphi, – |cos theta| sin varphi, sgn(cos theta) sin theta)$

$latex k = -frac{1}{a^2}$.

Para terminar, ¿que tiene de curioso la siguiente aparente parametrización como superficie de revolución de $latex mathbb{R}^2$ para que nos de $latex g_{11} = theta^2$?

plano

Hasta aquí calculamos de manera clásica.

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Pierre Deligne es el ganador del Premio Abel de este año 2013:

“for seminal contributions to algebraic geometry and for their transformative impact on number theory, representation theory, and related fields”

Dos de los blogs que sigo también se hacen eco de la noticia, el de Francisthemulenews y el de Gowers, que de hecho es el encargado oficial de presentar su trabajo al público general. El resumen oficial en español aquí.

El premio Abel es el Nobel de las matemáticas. Era extraño que no existiera un Nobel para esta disciplina fundamental. La Medalla Fields cubre esa ausencia, aunque busca premiar a jovenes talentos, no a matemáticos consagrados. De ahí el premio Abel, creado en el bicentenario del nacimiento del matemático noruego Niels Henrik Abel el año 2002 y otorgado por la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras de Noruega, con una dotación económica de $latex 750000$ euros similar a la del Nobel.

La geometría algebraica trata de los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas en varias variable. Al igual que el conjunto de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales en una variable determinan una variedad lineal (puntos, rectas, planos, etc.), las soluciones de los sistemas de ecuaciones polinómicas no lineales determinan variedades algebraicas.

Andre Weil hizo grandes aportaciones a la geometría algebraica, desarrollando todo un lenguaje y una fundamentación para la misma. En un momento propuso cuatro afirmaciones que no pudo demostrar, conocidas a partir de entonces como las Conjeturas de Weil, siendo la última la mas dificil y la mas profunda. Son las siguientes:

Sea $latex Z(x)$ la función zeta asociada a un sistema de ecuaciones polinómicas de grado $latex n$ y sea $latex q$ un primo. Entonces:

  1. $latex Z(x)$ puede escribirse de la forma $latex frac{P(x)}{Q(x)}$ para dos polinomios $latex P$ y $latex Q$ con coeficientes enteros.
  2. Concretamente, existe una fórmula de la forma $latex Z(x)=frac{P_1(x) P_3(x) ldots P_{2n-1}(x)}{P_0(x) P_2(x) ldots P_{2n}(x)}$ donde cada $latex P_i$ tiene coeficientes enteros y los reciprocos de las raices de $latex P_i$ son enteros algebraicos y las raices tienen módulo $latex q^{frac{-i}{2}}$.
  3. La función $latex z mapsto 1/q^n z$ intercambia las raices de $latex P_i$ con las de $latex P_{2n-1}$.
  4. Bajo condiciones apropiadas, el grado de $latex P_i$ es igual al $latex i$-ésimo Número de Betti del conjunto determinado por el sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes sobre $latex mathbb{C}$.

Alexander Grothendieck es el siguiente personaje importante en el area, pues reescribió la geometría algebraica subsumiendo el concepto de variedad algebraica en el de esquema, entendiendo que cualquier anillo conmutativo puede ser un objeto geométrico, dotando de esta manera, de un nuevo lenguaje y una fundamentación, mucho mas potente que la de Weil, para la geometría algebraica.

A pesar de su abstracción, o precisamente por ella, esta última visión es la que ha permanecido, pues permite conectar dos mundos, el de la geometría algebraica y el de la álgebra conmutativa. Fué gracias a ella que Grothendieck pudo demostrar la ecuación funcional y tenía ideas, demostrar las conjeturas estandar, para abordar la última conjetura.

Es aquí cuando entra en escena Pierre Deligne, discípulo aventajado de Grothendieck. que la demostró pero sin seguir el guión propuesto por Grothendieck, es decir, sin demostrar las conjeturas estandar (de hecho hay gente que piensa que fue capaz de demostrarla porque era el único que realmente comprendía toda la reformulación de su maestro).

Yo no entiendo mucho, y Gowers dice que tampoco, aunque muchísimo mas que yo, por supuesto. pero la demostración dicen que es asombrosa, pues utiliza muchos resultados muy profundos y complidos del area, en palabras del propio Gowers:

  • A theorem of Kazhdan and Margulis about monodromy groups of Lefschetz pencils.
  • A method of Rankin for estimating Ramanujan’s tau function.
  • A cohomology theory of Grothendieck for certain L-functions.
  • The classical invariant theory of the symplectic group.
  • A Leray spectral sequence argument.
  • The “tensor-power trick”

De hecho, esta demostración ya le valió en su momento la medalla Fields. En fin, casi nada… Nuestra felicitación a Pierre Deligne.

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Alguna definicion previa (mantendremos la nomenclatura inglesa):

Un workspace es un lugar donde el desarrollador tiene todos las entidades que necesita para realizar su tarea. En concreto, puede ser un arbol de directorios en disco en el area de trabajo del desarrollador o una colección de ficheros mantenidad en un espacio abstracto por una herramienta. Está asociado con versiones particulares de las entidades. Debe disponer de un mecanismo para construir ejecutables a partir de su contenido.

Una codeline es un conjunto de fichero fuente y otras entidades que forman parte y que cambia a lo largo del tiempo. Cada vez que modificamos un fichero u otra entidad en el sistema de control de versiones, creamos una revisión de los mismos. Una codeline contiene cada versión de cada entidad a lo largo de un camino de evolución.

Dado que las ramas en las que se trabaja en paralelo no constituyen conjuntos disjuntos, el merge siempre tiene un overhead debido a posibles conflictos.

En cada uno de los patrones aparecen los problemas que intenta resolver y el esquema de solución.

Mainline
¿Cómo mantener el numero de codelines activas de manera que sea un conjunto manejable, y evitar que el crecimiento del arbol de versiones deproyecto lo lleve a ser demasiado amplio o demasiado denso? ¿Como evitar el overhead del merging?

mainlineDevelopment

Active Development Line
¿Cómo conseguir una codeline rapidamente evolucionable pero lo suficientemente estable para poder utilizarse?

labelingNamedStableBases

Private Workspace

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Acabo de conseguir el libro Software Configuration Management Patterns: Effective Teamwork, Practical Integration de Stephen P. Berczuk, Brad Appleton y Kyle Brown en el que se abordan diferentes patrones para la Gestión de Configuración de Software. Además, encontre una presentación de G. Serrano basada en el libro que cubre sobradamente nuestros intereses.

En la práctica, la SCM se preocupa de como construir y lanzar un producto, así como de la identificación y el seguimiento de sus modificaciones.

Para empezar, ¿qué entendemos por patrón? La idea de patrón tal y como la utilizaremos aparece originalmente en el trabajo que el arquitecto Christopher Alexander hizo en construcción arquitectónica para describir las cualidades de un buen diseño arquitectónico. Define patrón como una “solución a un problema en un contexto”, como algo que “describe un problema que ocurre una y otra vez en nuestro entorno, y describe la esencia de la solución a dicho problema, de manera que puedes utilizar esa solución millones de veces sin tenerlo que hacer dos veces de la misma manera”.

El esquema de patrones que seguiremos es:

SCMPatternLanguage

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Acabo de descubrir Prezi, un programa que nos permite crear presentaciones online.

Por una parte, como acabamos de decir, permite tanto su creación como su exposición sin necesidad de ninguna instalación local. Por otra, el punto mas original, es que nos permite crearla a partir de un único esquema por el que podremos navegar líbremente, un complejo gráfico por el que nos iremos desplazando, acercando y alejando a lo largo de nuestra exposición.

Existen tres modalidades, una de ellas gratuita, para darnos de alta en el sistema. A partir de ahí, podemos crear tantas presentaciones como queramos (tenemos un límite de almacenamiento) y disponemos de unas cuantas plantillas, que parecen meditadas, que nos facilitarán la iniciación en el sistema.

Las presentaciones, la verdad, quedan resultonas.

Para los que utilizamos latex, tenemos que añadirlo como imagen (generada, por ejemplo, mediante LatexIt).

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Tensor de energía impulso

Energía del campo electromagnético

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En la Lecture III del curso sobre GR de C. Hirata nos comenta, por una parte, operaciones sobre tensores, y por otra, electrodinámica en relatividad especial.

La primera operación que define es el producto tensorial. Dados dos tensores $latex A$ y $latex B$ de tipo $latex binom{m}{n}$ y $latex binom{p}{q}$ respectivamente, podemos construir un nuevo tensor $latex A otimes B$ de tipo $latex binom{m+p}{n+q}$ haciendo:

$latex (boldsymbol{A} otimes boldsymbol{B})(boldsymbol{tilde{k}},ldots,boldsymbol{u},boldsymbol{tilde{l}},ldots,boldsymbol{v}):=boldsymbol{A}(boldsymbol{tilde{k}}ldotsboldsymbol{u})boldsymbol{B}(boldsymbol{tilde{l}},ldots,boldsymbol{v}) $

que en components queda:

$latex (A otimes B)^{alpha_1 ldots alpha_m,,gamma_1 ldots gamma_p}_{beta_1 ldots beta_n ,, delta_1 ldots delta_q} = A^{ alpha_1 ldots alpha_m}_{beta_1 ldots beta_n} B^{gamma_1 ldots gamma_p}_{delta_1 ldots delta_q}$

Comenta la idea intuitiva que lo que estamos haciendo es la generalización  a tensores de rango arbitrario del hecho de construir la matriz $latex boldsymbol{u}boldsymbol{v^T}$ a partir de los dos vectores (columna, siempre columna los vectores…) $latex boldsymbol{u}$ y $latex boldsymbol{v}$.

Ya comentamos que:

$latex boldsymbol{d}f(boldsymbol{v}) = frac{d}{dt}(boldsymbol{x}(t) circ f)|_{t=0}$.

Podemos generalizarlo para un tensor $latex boldsymbol{T}$ de rango cualquiera. Por ejemplo, con rango $latex binom{1}{1}$ tendriamos $latex T^{alpha}_{beta}$ y:

$latex (boldsymbol{nabla T}$

Contracción de un tensor

Transposición de un tensor

Simetrización y antisimetrización de un tensor

Producto exterior

Tensor de volumen

Derivada exterior

Con respecto a la parte de electrodinámica, empezamos con la fuerza de Lorentz clásica, que es la fuerza que experiementa una particula de masa $latex m$ y carga $latex e$ sometida a un cambo electromagnético:

$latex m frac{d}{dt} boldsymbol{v} = e( boldsymbol{E} + boldsymbol{v} times boldsymbol{B} )$.

Para su generalización en SR necesitamos, por una parte, que la ecuación sea invariante Lorentz, y por otra, pensar como se generaliza el producto vectorial. La opción mas simple y que funciona es, pensando en $latex 4$-aceleraciones, el campo electromagnético y las $latex 4$-velocidades, la siguiente:

$latex frac{d}{dtau}p^{alpha} = m^{alpha} = e F^{alpha}_{beta} u^{beta}$

Tenemos ahora $latex 16$ ecuaciones mientras que, hasta ahora, teniamos $latex 6$: $latex 3$ para el campo eléctrico y $latex 3$ para el campo magnético.

Ecuaciones de Maxwell

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En su Lecture II, Christopher empieza hablando del gradiente $latex boldsymbol{d}f$ de un campo escalar $latex f$ como una $latex 1$-forma (transformable en vector subiendo un índice) importante que nos permitirá definir bases de vectores y $latex 1-$formas en espacios curvados.

La explicación está bastante clara y lo que hace es traducir lo que nos encontrariamos trabajando con variedades a un lenguaje comprensible para aquellos que aun no las conocen, es decir, existe una manera general de construir la diferencial en un punto de una función con dominio en una variedad y los espacios planos con los que estamos trabajando no son mas que casos particulares de variedades donde las cartas son la identidad (podemos pensar $latex mathbb{R}^3$ como una variedad diferenciable con la carta identidad: $latex (mathbb{R}^3,id)$. A partir de ahí podemos construir las variedades tangentes, $latex T_mmathbb{R}^3 cong mathbb{R}^3$, y cotangente y en esta última aparece la diferencial como una $latex 1$-forma).

El resumen es, sean $latex alpha(t)$ una trayectoria y $latex f$ un campo escalar en el espacio plano considerado, entonces podemos construir una función $latex (f circ alpha)(t) = f(alpha(t))$ que, por ser una función de una variable, podemos derivar y evaluar en $latex t=0$:

$latex frac{d}{dt}(f circ alpha)(t)|_{t=0}$,

por lo que podemos escribir:

$latex frac{partial}{partial boldsymbol{v}} f := frac{d}{dt}$ $latex (f circ alpha)(t) = langle boldsymbol{d}f, boldsymbol{v} rangle$

donde $latex boldsymbol{v} = frac{d}{dt}alpha(t)$ y $latex boldsymbol{d}f$ es la $latex 1$-forma diferencial o gradiente de $latex f$.

En un espacio plano se puede escoger un sistema de referencia en el que las coordenadas $latex x^alpha$ son las componentes de vector de posición $latex boldsymbol{x} = x^alpha boldsymbol{e}_alpha$. En este caso:

$latex langle boldsymbol{d}(x^alpha) , boldsymbol{v} rangle = frac{d}{dt}x^alpha = v^alpha$,

por lo que $latex $, formando una base. Definimos $latex boldsymbol{d}(x^alpha) := boldsymbol{omega}^alpha$.

Dada una partícula que sigue una trayectoria $latex boldsymbol{alpha}(t) = x^{alpha}(t)$, podemos parametrizarla mediante el tiempo propio $latex tau$ que es aquel que cumple:

$latex |frac{d}{dtau}boldsymbol{alpha}(tau)|^2 = frac{d}{dtau}x^{alpha}(tau) cdot frac{d}{dtau}x^{alpha}(tau) = -1$.

Siempre podemos reparametrizar haciendo:

$latex frac{d}{dt}tau = sqrt{-frac{d}{dt}alpha(t) cdot frac{d}{dt}alpha(t)}$.

La idea, desde el punto de vista de curvas sobre variedades, es que la parametrización mediante el tiempo propio no es mas que el equivalente a la parametrización por longitud de arco de manera de manera que nos permita medir la longitud de la misma que en este caso corresponde a medir tiempos (lo del reloj propio y estas cosas).

Para tener un invariante Lorentz de la velocidad $latex boldsymbol{v}$ definimos la $latex 4$-velocidad $latex boldsymbol{u}$ como:

$latex boldsymbol{u}:=frac{d}{dtau}alpha(tau)$,

ya que, como acabamos de ver, por construcción tenemos $latex boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u} = -1$.

Para un objeto con masa $latex m$ definimos el $latex 4$-momento como $latex boldsymbol{p} = m boldsymbol{v}$, de manera que $latex boldsymbol{p} cdot boldsymbol{p} = -m^2$. La componente temporal $latex p^0$ del $latex 4-$momento es la energía y las componentes espaciales $latex p^i$ son los $latex 3$-momentos.

Finalmente, si hay fuerzas tenemos aceleraciones. La $latex 4$-aceleración $latex boldsymbol{a}$ se define como

$latex boldsymbol{a} = frac{d}{dtau}boldsymbol{v}$ o $latex a^{mu} = frac{d}{dtau}v^{mu}$.

En variedades generales, para que la aceleración tenga sentido, necesitaremos trabajo extra, pues necesitaremos ser capaces de trasladar paralelamente vectores sobre la variedad.

Para finalizar, nos habla de algunos conceptos mas de algebra tensorial. En primer lugar define un tensor $latex boldsymbol{T}$ de tipo $latex binom{m}{n}$ como un operador lineal que actua sobre $latex m$ $latex 1$-formas y $latex n$ vectores y nos devuelve un escalar:

$latex boldsymbol{T}(boldsymbol{tilde{k}},ldots, boldsymbol{tilde{l}}, boldsymbol{u},ldots, boldsymbol{v})$

y que, fijada una referencia, queda determinada por su actuación sobre los elementos de esta base:

$latex boldsymbol{T}(boldsymbol{w}^{alpha_1},ldots,boldsymbol{w}^{alpha_m},boldsymbol{e}_{beta_1},ldots,boldsymbol{e}_{beta_n}) = T^{alpha_1,ldots,alpha_m}_{beta_1,ldots,beta_n}$.

Podemos ver una métrica $latex boldsymbol{g}$ como un tensor de tipo $latex binom{0}{2}$, o $latex 2$ veces covariante, pues actua sobre $latex 2$ vectores y devuelve $latex g_{alpha beta}u^{alpha}v^{beta}$. Podemos pensar una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ como un tensor de tipo $latex binom{0}{1}$, o $latex 1$ vez covariante, pues a partir de un vector $latex boldsymbol{v}$ nos devuelve el escalar $latex langle boldsymbol{tilde{k}},boldsymbol{v}rangle$. Sus componentes son $latex tilde{k}_{alpha}$. Por el contrario, podemos pensar un vector $latex boldsymbol{v}$ como un tensor de tipo $latex binom{1}{0}$, o $latex 1$ vez contravariante, pues a partir de una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ nos devuelve el escalar $latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle$. Las componentes de $latex boldsymbol{v}$ son $latex v^{alpha} = langle boldsymbol{w}^{alpha},boldsymbol{v} rangle$.

Finalmente, es útil recordar que, por una parte, los tensores de tipo $latex binom{m}{n}$ no necesitan de las métricas para existir y, por otra, que en el caso de existir, entonces gracias a ésta, todos los tensores de rango $latex m+n$ son equivalentes entre si, es decir, el mismo tensor lo podemos escribir de $latex 2^{m+n}$ maneras en función de donde aparece cada índice, si arriba o abajo, contravariante o covariante. Por ejemplo, si $latex T$ es un tensor de tipo $latex binom{1}{2}$ podemos transformalo a uno de tipo $latex binom{0}{3}$ de la siguiente manera:

$latex T^{alpha}_{beta gamma} = boldsymbol{T}(boldsymbol{w}^{alpha},boldsymbol{e}_{beta},boldsymbol{e}_{gamma}) = boldsymbol{T}(g^{delta alpha}boldsymbol{e}_{delta},boldsymbol{e}_{beta},boldsymbol{e}_{gamma}) = g^{delta alpha} boldsymbol{T}(boldsymbol{e}_delta,boldsymbol{e}_beta,boldsymbol{e}_gamma) = g^{delta alpha}T_{delta beta gamma}$.

Desde la geometria diferencial y Riemanniana, subir y bajar índices equivale a construir el isomorfismo musical, $latex sharp$ y $latex flat$ ,entre el fibrado tangente $latex TM$ y el cotangente $latex T^*M$ de una variedad $latex M$ inducido por una métrica $latex g$. Básicamente son contracciones entre el tensor métrico o el co-tensor métrico con un tensor arbitrario. Permite, por ejemplo, la generalización del gradiente.

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En su Lecture I nos habla de vectores, $latex 1$-formas, tensores y espacio-tiempos planos. Para empezar, un vector, a diferencia de un escalar, no solo tiene magnitud sino tambien dirección y sentido. En un contexto mas abstracto, son los elementos de un espacio vectorial fínito $latex V$ (en realidad, un espacio euclideo, es decir, un espacio vectorial normado con una norma procedente de un producto escalar).

Por ejemplo, dada una curva $latex alpha(t) in mathbb{R}^3$, siendo $latex t$ un parámetro, el tiempo absoluto Newtoniano, podemos definir su vector velocidad como:

$latex boldsymbol{v} = boldsymbol{v}(t) = frac{d}{dt} alpha(t) = frac{d}{dt}alpha (= alpha_t)$.

O, en relatividad, $latex beta(tau) in mathbb{M}^4$, con $latex tau$ el tiempo propio:

$latex boldsymbol{v} = boldsymbol{v}(tau) = frac{d}{dtau} beta(tau) = frac{d}{dtau}beta (= beta_tau)$.

Al introducir los espacio vectoriales, podemos sumar/restar vectores entre si, multiplicarlos por un escalar y disponemos de los conceptos de bases (conjuntos de vectores linealmente independientes que forman un sistema generador)  y coordenadas. Sean $latex {boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3}$ y $latex { boldsymbol{e}_0, boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3}$ las bases de $latex mathbb{R}^3$ y $latex mathbb{M}^4$ respectivamente. Entonces podemos escribir, por ejemplo:

$latex boldsymbol{v} = v^0 boldsymbol{e}_0 + v^1 boldsymbol{e}_1 + v^2 boldsymbol{e}_2 + v^3 boldsymbol{e}_3 = sum_alpha v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^0 boldsymbol{e}_0 + v^i boldsymbol{e}_i$.

Aunque muchas veces no se escriba explicitamente, tener en cuenta que las coordenadas pueden ser, como en el ejemplo anterior, funciones:

$latex v(tau) = v^alpha (tau) boldsymbol{e}_alpha$.

Para cambiar de un sistema de coordenadas $latex { boldsymbol{e}_alpha }$ a otro $latex { boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} }$ basta expresar los vectores de una base  en la otra:

$latex boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = sum_alpha A^alpha_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha} = A^alpha_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha}$,

$latex boldsymbol{e}_{alpha} = sum_{tilde{alpha}} B_alpha^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = B_alpha^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}}$,

donde $latex B_alpha^{tilde{alpha}} = (A^{-1})_alpha^{tilde{alpha}}$, de manera que si $latex boldsymbol{v} = v^{alpha} boldsymbol{e}_alpha$ entonces:

$latex boldsymbol{v} = v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^alpha B^{tilde{alpha}}_{alpha} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = v^alpha (A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = v^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}}$

con:

$latex v^{tilde{alpha}} = v^{alpha}(A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} = (A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} v^{alpha}$.

Como ya hemos comentado, disponemos de un producto escalar $latex cdot$ y podemos definir una norma

$latex |boldsymbol{u}|^2 = boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u}$.

Volviendo a la idea de que tenemos una base $latex { e_{alpha}}$, entonces basta determinar el comportamiento del producto escalar respecto de los elementos de la base:

$latex boldsymbol{u} cdot boldsymbol{v} = u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = $

$latex bigg( = sum_{alpha} u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot sum_{beta} v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = sum_{alpha} sum_{beta} u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = $

$latex = sum_{alpha} sum_{beta} u^{alpha} v^{beta} (boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} ) = sum_{alpha} sum_{beta} (boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} ) u^{alpha} v^{beta} = bigg)$

$latex = g_{alpha beta} u^{alpha} v^{beta}$

La conmutatividad del producto escalar nos lleva a que $latex g_{alpha beta} = g_{beta alpha}$ y un cambio de coordenadas de $latex g_{alpha beta}$ a nuevas coordenadas tilde queda:

$latex g_{tilde{alpha} tilde{beta}} = boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} cdot boldsymbol{e}_{tilde{beta}} = A^{alpha}_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha} cdot A^{beta}_{tilde{beta}} boldsymbol{e}_b = A^{alpha}_{tilde{alpha}} A^{beta}_{tilde{beta}} boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} = A^{alpha}_{tilde{alpha}} A^{beta}_{tilde{beta}} g_{alpha beta}$

Podemos definir el producto escalar como:

$latex g(u,v) := u cdot v$

que es una $latex 2$-forma, $latex g:T_pM times T_pM longrightarrow mathbb{K}$ , o un tensor dos veces covariante, ya hablaremos.

En el caso particular de $latex mathbb{R}^3$  tenemos:

$latex g_{i j} = delta_{i j} := left(
begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
end{array}
right)$

donde, si tenemos $latex boldsymbol{u} = boldsymbol{u}^i = (u^1, u^2, u^3)^T$ en la base $latex { boldsymbol{e}_i}$:

$latex |boldsymbol{u}|^2 = boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u} = delta(boldsymbol{u},boldsymbol{u}) = delta_{ij} u^i u^j = (sum_i sum_j delta_{ij} u^i u^j) = u_j u^j = $

$latex = (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2$.

que es siempre positiva para todos los vectores salvo para el $latex boldsymbol{0}$. Nos ha aparecido en el cálculo, al multiplicar la matriz de la métrica por el primer vector, el mismo vector pero ahora como $latex 1$-forma: $latex u_i = (u^1, u^2, u^3)$, en la base $latex {boldsymbol{e}^i}$. Además, hemos visto como la métrica nos a permitido bajar un índice. Ya volveremos sobre esto.

y en $latex mathbb{M}^4$:

$latex g_{alpha beta} = eta_{alpha beta} := left(
begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
end{array}
right)$.

En este caso, $latex eta_{alpha beta} u^alpha u^{beta} = -(u^0)^2 + (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2$, dado lugar a tres clases de vectores en función del valor de su norma: espaciales, con norma positiva, temporales, con norma negativa y luminosos, con norma $latex 0$.

Para terminar, nos habla de las $latex 1-$formas, que nos son mas que operadores lineales $latex tilde{boldsymbol{k}}$ que a partir de un vector $latex boldsymbol{v}$ nos devuelve un escalar $latex phi$:

$latex phi = langle tilde{boldsymbol{k}}, boldsymbol{v} rangle$.

Desde el punto de vista del espacio vectorial $latex V$, las $latex 1$-formas son elementos del espacio dual $latex V^*$ (elementos del tipo $latex boldsymbol{tilde{k}}: V longrightarrow mathbb{K}$). Si volvemos a mirar componentes, la acción de la $latex 1$-forma queda totalmente determinada, debido a la linealidad, por su acción sobre los elementos de la base $latex { boldsymbol{e}_alpha}$:

$latex tilde{k_{alpha}} = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle$

de manera que si $latex boldsymbol{v} = v^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha}$ tenemos:

$latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = langle boldsymbol{tilde{k}}, v^{alpha}boldsymbol{e}_{alpha} rangle = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle v^{alpha} = tilde{k_{alpha}}v^{alpha}$.

Por tanto,

Como tenemos una métrica, podemos relacionar cualquier vector $latex boldsymbol{k}$ con una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ de manera que:

$latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{v}$

es decir, que dado $latex boldsymbol{k} in V$ entonces le asociamos $latex boldsymbol{tilde{k}} in V^*$:

$latex boldsymbol{tilde{k}}: V longrightarrow mathbb{K} ,/, v mapsto boldsymbol{tilde{k}}(v) = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{v}$

¿Y cuales son sus componentes $latex tilde{k}_{alpha}$? Sencillamente:

$latex tilde{k}_{alpha} = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{e}_{alpha} = k^{beta} boldsymbol{e}_{beta} cdot boldsymbol{e}_{alpha} = g_{alpha beta} k^{beta}$.

De la misma manera:

$latex k^{alpha} = g^{alpha beta} tilde{k}_{beta}$, donde $latex g^{alpha beta}$ es la inversa de $latex g_{alpha beta}$ ($latex g^{alpha beta}g_{beta gamma} = delta^{alpha}_{gamma}$).

Finalmente, se puede demostrar que $latex g^{alpha beta} tilde{k}_{alpha} tilde{l}_{beta} = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{l}$.

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Acabo de “tropezarme” por primera vez con Christopher Hirata. La verdad, no lo conocía. Me han sorprendido muchisimo algunas similitudes entre su vida y la de Terry Tao cambiando, obviamene, las matemáticas por la física.

Hirata nace en 1982, Tao en 1975. Hirata gana una medalla de oro en la IPhO en 1996 a los 13 años y Tao gana la de oro en la IMO del 1988 también con los mismos años. Hirata entra en el Calthec a los 14 y recibe un PhD en física a los 22 en Princeton mientras que Tao entra con 14 en Flinders y recibe un PhD en matemáticas a los 20 años también en Princeton. Sorprendente… (Para los que crean en el IQ, yo tengo mis reservas sobre estos índices de inteligencia, dicen que Hirata tiene 225 y Tao 230).

Al margen de curiosidades, vamos a ir comentando a lo largo de unos cuantos posts  su curso sobre relatividad general (GR: General Relativity). Comentaremos lo allí expuesto y lo intentaremos completar desde un punto de vista de la geometría diferencial y Riemanniana.

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¿Qué tenemos que hacer para visualizar localmente datos compatibles con VisIt que tenemos en algun host? Para empezar, necesitamos tener la misma versión de VisIt instalada tanto local como remotamente. En segundo lugar, necesitamos crear un New Host en Options->Host profiles... y configurar, básicamente, el Remote host name y el Username (nombre completo de la máquina y nuestro usuario en ella) en la pestaña Host Settings, y un New Profile en la de Launch Profiles con las opciones por defecto.
Un detalle muy importante es que en el campo Path to VisIt installation, en el caso de tener un Mac, lo que necesita es:

/Applications/VisIt.app/Contents/Resources/

Finalmente, tanto para abrir fichero locales como remotos, le daremos a Open y seleccionaremos el localhost o el nuevo host configurado.

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Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos $latex (M,g)$, donde $latex M$ es una variedad diferencial abstracta y $latex g$ es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

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Se pueden pensar las geodésicas de una variedad $latex M$ como curvas $latex gamma$ que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas.

Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales ($latex D_{vec{v}} Y$ , que podemos ver como $latex (nabla Y) cdot vec{v}$, que nos permite definir $latex D_X Y$) no tiene porque estar en el espacio tangente de una variedad arbitraria, necesitamos aprender a derivar campos vectoriales en éstas.

Si la variedad está contenida en un espacio ambiente, siempre podemos quedarnos con la parte tangente de las derivadas direccionales, es decir, siempre podemos proyectar ($latex D_X^T Y$), pero ¿qué pasa cuando no tenemos la variedad embebida en un espacio ambiente? o, equivalentemente, ¿qué pasa cuando queremos trabajar de manera intrínseca? Necesitamos introducir el concepto de conexión.

Una conexión nos permitirá derivar campos vectoriales sobre variedades abstractas y definir así la aceleración de una curva como la variación del campo velocidad a lo largo de ésta. Se puede definir una conexión sobre una variedad $latex M$ como una aplicación:

$latex nabla: mathcal{X}(M) times mathcal{X}(M) longrightarrow mathcal{X}(M)$

cumpliendo:

  1. $latex nabla$ es $latex mathcal{C}^infty (M)$-lineal en la primera variable.
  2. $latex nabla$ es $latex mathbb{R}$-lineal en la segunda variable.
  3. $latex nabla_X (fY) = X(f) Y + f nabla_X Y$ para toda función $latex f$.

Llamamos al nuevo campo vectorial $latex nabla_X Y$ derivada covariante de $latex Y$ con respecto a $latex X$ y $latex nabla_{X_p} Y$ es la derivada direccional de $latex Y$ en la dirección $latex X_p$ sobre la variedad abstracta.

Esta definición es poco operativa. Si expresamos los campos en una carta $latex (U,phi)$, entonces $latex nabla_X Y$ queda totalmente determinado por los símbolos de conexión $latex Gamma_{ij}^k$ determinados mediante:

$latex nabla_{frac{partial}{partial phi^i}} frac{partial}{partial phi^j} = sum_k Gamma_{ij}^k frac{partial}{partial phi^k}$

en las coordenadas de la carta.

Una consideración importante es que las conexiones existen sin la necesidad de las métricas, es decir, que podemos hacer referencia a transporte paralelo y a geodésicas en una variedad sin necesidad de tener definida una métrica sobre ésta. Sin embargo, un resultado sorprendente, fundamental, nos garantiza la construcción de una conexión única coherente con la métrica: la conexión de Levi-Civita.

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