En su Lecture I nos habla de vectores, $latex 1$-formas, tensores y espacio-tiempos planos. Para empezar, un vector, a diferencia de un escalar, no solo tiene magnitud sino tambien dirección y sentido. En un contexto mas abstracto, son los elementos de un espacio vectorial fínito $latex V$ (en realidad, un espacio euclideo, es decir, un espacio vectorial normado con una norma procedente de un producto escalar).
Por ejemplo, dada una curva $latex alpha(t) in mathbb{R}^3$, siendo $latex t$ un parámetro, el tiempo absoluto Newtoniano, podemos definir su vector velocidad como:
$latex boldsymbol{v} = boldsymbol{v}(t) = frac{d}{dt} alpha(t) = frac{d}{dt}alpha (= alpha_t)$.
O, en relatividad, $latex beta(tau) in mathbb{M}^4$, con $latex tau$ el tiempo propio:
$latex boldsymbol{v} = boldsymbol{v}(tau) = frac{d}{dtau} beta(tau) = frac{d}{dtau}beta (= beta_tau)$.
Al introducir los espacio vectoriales, podemos sumar/restar vectores entre si, multiplicarlos por un escalar y disponemos de los conceptos de bases (conjuntos de vectores linealmente independientes que forman un sistema generador) y coordenadas. Sean $latex {boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3}$ y $latex { boldsymbol{e}_0, boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3}$ las bases de $latex mathbb{R}^3$ y $latex mathbb{M}^4$ respectivamente. Entonces podemos escribir, por ejemplo:
$latex boldsymbol{v} = v^0 boldsymbol{e}_0 + v^1 boldsymbol{e}_1 + v^2 boldsymbol{e}_2 + v^3 boldsymbol{e}_3 = sum_alpha v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^0 boldsymbol{e}_0 + v^i boldsymbol{e}_i$.
Aunque muchas veces no se escriba explicitamente, tener en cuenta que las coordenadas pueden ser, como en el ejemplo anterior, funciones:
$latex v(tau) = v^alpha (tau) boldsymbol{e}_alpha$.
Para cambiar de un sistema de coordenadas $latex { boldsymbol{e}_alpha }$ a otro $latex { boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} }$ basta expresar los vectores de una base en la otra:
$latex boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = sum_alpha A^alpha_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha} = A^alpha_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha}$,
$latex boldsymbol{e}_{alpha} = sum_{tilde{alpha}} B_alpha^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = B_alpha^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}}$,
donde $latex B_alpha^{tilde{alpha}} = (A^{-1})_alpha^{tilde{alpha}}$, de manera que si $latex boldsymbol{v} = v^{alpha} boldsymbol{e}_alpha$ entonces:
$latex boldsymbol{v} = v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^alpha B^{tilde{alpha}}_{alpha} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = v^alpha (A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = v^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}}$
con:
$latex v^{tilde{alpha}} = v^{alpha}(A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} = (A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} v^{alpha}$.
Como ya hemos comentado, disponemos de un producto escalar $latex cdot$ y podemos definir una norma
$latex |boldsymbol{u}|^2 = boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u}$.
Volviendo a la idea de que tenemos una base $latex { e_{alpha}}$, entonces basta determinar el comportamiento del producto escalar respecto de los elementos de la base:
$latex boldsymbol{u} cdot boldsymbol{v} = u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = $
$latex bigg( = sum_{alpha} u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot sum_{beta} v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = sum_{alpha} sum_{beta} u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = $
$latex = sum_{alpha} sum_{beta} u^{alpha} v^{beta} (boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} ) = sum_{alpha} sum_{beta} (boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} ) u^{alpha} v^{beta} = bigg)$
$latex = g_{alpha beta} u^{alpha} v^{beta}$
La conmutatividad del producto escalar nos lleva a que $latex g_{alpha beta} = g_{beta alpha}$ y un cambio de coordenadas de $latex g_{alpha beta}$ a nuevas coordenadas tilde queda:
$latex g_{tilde{alpha} tilde{beta}} = boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} cdot boldsymbol{e}_{tilde{beta}} = A^{alpha}_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha} cdot A^{beta}_{tilde{beta}} boldsymbol{e}_b = A^{alpha}_{tilde{alpha}} A^{beta}_{tilde{beta}} boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} = A^{alpha}_{tilde{alpha}} A^{beta}_{tilde{beta}} g_{alpha beta}$
Podemos definir el producto escalar como:
$latex g(u,v) := u cdot v$
que es una $latex 2$-forma, $latex g:T_pM times T_pM longrightarrow mathbb{K}$ , o un tensor dos veces covariante, ya hablaremos.
En el caso particular de $latex mathbb{R}^3$ tenemos:
$latex g_{i j} = delta_{i j} := left(
begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
end{array}
right)$
donde, si tenemos $latex boldsymbol{u} = boldsymbol{u}^i = (u^1, u^2, u^3)^T$ en la base $latex { boldsymbol{e}_i}$:
$latex |boldsymbol{u}|^2 = boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u} = delta(boldsymbol{u},boldsymbol{u}) = delta_{ij} u^i u^j = (sum_i sum_j delta_{ij} u^i u^j) = u_j u^j = $
$latex = (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2$.
que es siempre positiva para todos los vectores salvo para el $latex boldsymbol{0}$. Nos ha aparecido en el cálculo, al multiplicar la matriz de la métrica por el primer vector, el mismo vector pero ahora como $latex 1$-forma: $latex u_i = (u^1, u^2, u^3)$, en la base $latex {boldsymbol{e}^i}$. Además, hemos visto como la métrica nos a permitido bajar un índice. Ya volveremos sobre esto.
y en $latex mathbb{M}^4$:
$latex g_{alpha beta} = eta_{alpha beta} := left(
begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
end{array}
right)$.
En este caso, $latex eta_{alpha beta} u^alpha u^{beta} = -(u^0)^2 + (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2$, dado lugar a tres clases de vectores en función del valor de su norma: espaciales, con norma positiva, temporales, con norma negativa y luminosos, con norma $latex 0$.
Para terminar, nos habla de las $latex 1-$formas, que nos son mas que operadores lineales $latex tilde{boldsymbol{k}}$ que a partir de un vector $latex boldsymbol{v}$ nos devuelve un escalar $latex phi$:
$latex phi = langle tilde{boldsymbol{k}}, boldsymbol{v} rangle$.
Desde el punto de vista del espacio vectorial $latex V$, las $latex 1$-formas son elementos del espacio dual $latex V^*$ (elementos del tipo $latex boldsymbol{tilde{k}}: V longrightarrow mathbb{K}$). Si volvemos a mirar componentes, la acción de la $latex 1$-forma queda totalmente determinada, debido a la linealidad, por su acción sobre los elementos de la base $latex { boldsymbol{e}_alpha}$:
$latex tilde{k_{alpha}} = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle$
de manera que si $latex boldsymbol{v} = v^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha}$ tenemos:
$latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = langle boldsymbol{tilde{k}}, v^{alpha}boldsymbol{e}_{alpha} rangle = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle v^{alpha} = tilde{k_{alpha}}v^{alpha}$.
Por tanto,
Como tenemos una métrica, podemos relacionar cualquier vector $latex boldsymbol{k}$ con una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ de manera que:
$latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{v}$
es decir, que dado $latex boldsymbol{k} in V$ entonces le asociamos $latex boldsymbol{tilde{k}} in V^*$:
$latex boldsymbol{tilde{k}}: V longrightarrow mathbb{K} ,/, v mapsto boldsymbol{tilde{k}}(v) = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{v}$
¿Y cuales son sus componentes $latex tilde{k}_{alpha}$? Sencillamente:
$latex tilde{k}_{alpha} = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{e}_{alpha} = k^{beta} boldsymbol{e}_{beta} cdot boldsymbol{e}_{alpha} = g_{alpha beta} k^{beta}$.
De la misma manera:
$latex k^{alpha} = g^{alpha beta} tilde{k}_{beta}$, donde $latex g^{alpha beta}$ es la inversa de $latex g_{alpha beta}$ ($latex g^{alpha beta}g_{beta gamma} = delta^{alpha}_{gamma}$).
Finalmente, se puede demostrar que $latex g^{alpha beta} tilde{k}_{alpha} tilde{l}_{beta} = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{l}$.