En la Lecture III del curso sobre GR de C. Hirata nos comenta, por una parte, operaciones sobre tensores, y por otra, electrodinámica en relatividad especial.
La primera operación que define es el producto tensorial. Dados dos tensores $latex A$ y $latex B$ de tipo $latex binom{m}{n}$ y $latex binom{p}{q}$ respectivamente, podemos construir un nuevo tensor $latex A otimes B$ de tipo $latex binom{m+p}{n+q}$ haciendo:
$latex (boldsymbol{A} otimes boldsymbol{B})(boldsymbol{tilde{k}},ldots,boldsymbol{u},boldsymbol{tilde{l}},ldots,boldsymbol{v}):=boldsymbol{A}(boldsymbol{tilde{k}}ldotsboldsymbol{u})boldsymbol{B}(boldsymbol{tilde{l}},ldots,boldsymbol{v}) $
que en components queda:
$latex (A otimes B)^{alpha_1 ldots alpha_m,,gamma_1 ldots gamma_p}_{beta_1 ldots beta_n ,, delta_1 ldots delta_q} = A^{ alpha_1 ldots alpha_m}_{beta_1 ldots beta_n} B^{gamma_1 ldots gamma_p}_{delta_1 ldots delta_q}$
Comenta la idea intuitiva que lo que estamos haciendo es la generalización a tensores de rango arbitrario del hecho de construir la matriz $latex boldsymbol{u}boldsymbol{v^T}$ a partir de los dos vectores (columna, siempre columna los vectores…) $latex boldsymbol{u}$ y $latex boldsymbol{v}$.
Ya comentamos que:
$latex boldsymbol{d}f(boldsymbol{v}) = frac{d}{dt}(boldsymbol{x}(t) circ f)|_{t=0}$.
Podemos generalizarlo para un tensor $latex boldsymbol{T}$ de rango cualquiera. Por ejemplo, con rango $latex binom{1}{1}$ tendriamos $latex T^{alpha}_{beta}$ y:
$latex (boldsymbol{nabla T}$
Contracción de un tensor
Transposición de un tensor
Simetrización y antisimetrización de un tensor
Producto exterior
Tensor de volumen
Derivada exterior
Con respecto a la parte de electrodinámica, empezamos con la fuerza de Lorentz clásica, que es la fuerza que experiementa una particula de masa $latex m$ y carga $latex e$ sometida a un cambo electromagnético:
$latex m frac{d}{dt} boldsymbol{v} = e( boldsymbol{E} + boldsymbol{v} times boldsymbol{B} )$.
Para su generalización en SR necesitamos, por una parte, que la ecuación sea invariante Lorentz, y por otra, pensar como se generaliza el producto vectorial. La opción mas simple y que funciona es, pensando en $latex 4$-aceleraciones, el campo electromagnético y las $latex 4$-velocidades, la siguiente:
$latex frac{d}{dtau}p^{alpha} = m^{alpha} = e F^{alpha}_{beta} u^{beta}$
Tenemos ahora $latex 16$ ecuaciones mientras que, hasta ahora, teniamos $latex 6$: $latex 3$ para el campo eléctrico y $latex 3$ para el campo magnético.
Ecuaciones de Maxwell