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Expresión en coordenadas de la conexión de Levi-Civita

El teorema de Whitney nos dice que toda variedad diferenciable admite una métrica. La idea es sencilla: como toda variedad $latex M$ admite una inmersión $latex f:M longrightarrow mathbb{R}^m$ en un espacio euclideo de dimensión apropiada $latex m$ entonces $latex f^*h$ es una métrica de Riemann en $latex M$ donde $latex h$ es la métrica ordinaria de $latex mathbb{R}^m$.

Dada una variedad de Riemann $latex (M,g)$, siempre podemos construir una conexión $latex nabla$ compatible con la métrica, $latex nabla_g = 0$, y libre de torsión, $latex T(nabla) = 0$ a la que llamaremos conexión de Levi-Civita.

¿Cómo es su expresión en coordenadas? La condición $latex nabla_g = 0$ hace que

$latex X(g(Y,Z)) = g(nabla_X Y,Z) + g(Y,nabla_X Z)$.

Si la escribimos tres veces permutando los campos $latex X, Y, Z$ obtenemos:

$latex X(g(Y,Z)) = g(nabla_X Y,Z) + g(Y,nabla_X Z)$,

$latex Z(g(X,Y)) = g(nabla_Z X,Y) + g(X,nabla_Z Y)$,

$latex Y(g(Z,X)) = g(nabla_Y Z,X) + g(Z,nabla_Y X)$.

Sumando las dos primeras, restando la última y aplicando que $latex T(nabla)=0$, es decir, que $latex nabla_X Y – nabla_Y X = [X,Y]$ nos queda:

$latex X(g(Y,Z)) + Z(g(X,Y)) – Y(g(Z,X)) = $

$latex = g([X,Y],Z) + g([Z,Y],X) + g([X,Z],Y) + 2g(nabla_Z X, Y)$,

por lo que, despejando:

$latex g(nabla_Z X, Y) = $

$latex = frac{1}{2} { X(g(Y,Z)) + Z(g(X,Y) + Y(g(Z,X)) -$

$latex – g([X,Y],Z) – g([Z,Y],X) + g([X,Z],Y) )}$.

Si $latex (U,(x^i))$  es un abierto de coordenadas de $latex (M,g)$, veamos la expresión de los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita $latex nabla$. En la expresión anterior hacemos $latex Z = frac{partial}{partial x^i}$, $latex X = frac{partial}{partial x^j}$ y $latex Y = frac{partial}{partial x^r}$ y como el claudator de Lie para estos campos es cero, nos queda:

$latex g(nabla_{frac{partial}{partial x^i}} frac{partial}{partial x^j}, frac{partial}{partial x^r} ) = frac{1}{2} { frac{partial}{partial dx^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} + frac{partial}{partial x^j}g_{ij} } =$

es decir:

$latex Gamma_{ij}^l g_{lr} = frac{1}{2} { frac{partial}{partial x^j} g_{ir} + frac{partial}{partial x^i} g_{jr} + frac{partial}{partial x^r} g_{ij} }$

y utilizando la matriz inversa $latex g^{ij}$ de $latex g_{ij}$ obtenemos:

$latex Gamma_{ij}^l g_{lr}g^{rk} = Gamma_{ij}^l delta_l^k = Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} { frac{partial}{partial dx^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} + frac{partial}{partial x^r}g_{ij} } g^{rk}$,

Por lo que los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita se obtienen a partir de la métrica y de sus primeras derivadas.

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