Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:
$latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$.
Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:
$latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin varphi, sin theta)$
y la métrica inducida medainte el pullback era:
$latex f^*h: a^2 dtheta^2 + a^2 sin^2 theta dvarphi^2$
Tenemos que calcular:
$latex Gamma^{theta}_{theta theta}, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta}, Gamma^{theta}_{varphi varphi}, Gamma^{varphi}_{theta theta}, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta}, Gamma^{varphi}_{varphi varphi}$
Calculamos, por ejemplo, $latex Gamma^{1}_{22} = Gamma^{theta}_{varphi varphi}$:
$latex Gamma_{varphi varphi}^theta = frac{1}{2} { frac{partial}{partial dvarphi}g_{varphi theta} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi theta} + frac{partial}{partial theta}g_{varphi varphi} } g^{theta theta} + frac{1}{2} { frac{partial}{partial dvarphi}g_{varphi varphi} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi varphi} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi varphi} } g^{varphi theta}$,
que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:
$latex Gamma^{theta}_{varphi varphi} = frac{1}{2} (frac{partial}{partial theta} g_{varphi varphi}) g^{theta theta} = -frac{1}{2 a^2} a^2 , 2 sin theta cos theta = – sin theta cos theta$.
Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:
Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
r = 0;
For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
r = r + FullSimplify[
1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
(D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] +
D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] -
D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
]
];
Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
]
]
]
Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre $latex g$ de dimensión $latex 2 times 2$ con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1
y u_2
)
$latex g={{a{}^{wedge}2,0},{0,a{}^{wedge}2*text{Sin}[text{u1}]{}^{wedge}2}}$
y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:
$latex text{Simbolos}[]$
y obtenemos:
$latex text{Gamma[}1,1,1text{] = }0$
$latex text{Gamma[}1,1,2text{] = }0$
$latex text{Gamma[}1,2,1text{] = }0$
$latex Gamma^{1}_{22} = text{Gamma[}1,2,2text{] = }-text{Cos}[text{u1}] text{Sin}[text{u1}]$
$latex text{Gamma[}2,1,1text{] = }0$
$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$
$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$
$latex text{Gamma[}2,2,2text{] = }0$
De la misma manera, para la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$ tenemos:
$latex g={{a{}^{wedge}2*text{Cot}[text{u1}]{}^{wedge}2,0},{0,a{}^{wedge}2*text{Sin}[text{u1}]{}^{wedge}2}}$
que nos da, al ejecutar $latex text{Simbolos}[]$,
$latex text{Gamma[}1,1,1text{] = }-text{Csc}[text{u1}] text{Sec}[text{u1}]$
$latex text{Gamma[}1,1,2text{] = }0$
$latex text{Gamma[}1,2,1text{] = }0$
$latex text{Gamma[}1,2,2text{] = }-text{Sin}[text{u1}]^2 text{Tan}[text{u1}]$
$latex text{Gamma[}2,1,1text{] = }0$
$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$
$latex text{Gamma[}2,2,1text{] = }text{Cot}[text{u1}]$
$latex text{Gamma[}2,2,2text{] = }0$.
Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para $latex mathbb{R}^2$ obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son $latex 0$, de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.
Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo $latex T^a_b$, queda:
$latex nabla_c T^a_b = partial_c T^a_b + Gamma^a_{dc} T^d_b – Gamma^d_bc T^a_d$,
que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.