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17 abril, 2013

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Dado un $latex mathbb{K}$-espacio vectorial $latex E$, diremos que la aplicación:

$latex B:E times E longrightarrow mathbb{K}$

es un producto escalar si verifica:

  1. Fijado $latex y in E$, entonces $latex E longrightarrow mathbb{K} ,:, x mapsto B(x,y)$ es lineal.
  2. $latex B(x,y) = bar{B(y,x)}, forall x,y in E$.
  3. $latex B(x,y) geq 0, forall x in E$.
  4. $latex B(x,x)=0 leftrightarrow x=0, forall x in E$.

Llamamos espacio pre-Hilbertiano al par $latex (E,B)$.

Dos consecuencias inmediatas de estas propiedades son:

  1. Fijado $latex x in E$, entonces $latex E longrightarrow mathbb{K} ,:, y mapsto B(x,y)$ es sesquilineal.
  2. $latex B(0,y)=B(x,0)=0, forall x,y in E$.

Podemos definir la aplicación norma como:

$latex q:E longrightarrow mathbb{R}^+ cup {0} ,:, x mapsto sqrt{B(x,x)}$,

que cumple la desigualdad de Cauchy-Schwartz:

$latex |B(x,y)| leq q(x)q(y), forall x,y in E$,

dandose la igualdad cuando $latex x, y$ son linealmente dependientes, y las propiedades:

  1. $latex q(x+y) leq q(x)+ q(y), forall x,y in E$.
  2. $latex q(lambda x) = lambda q(x), forall x in E$.
  3. $latex q(x)=0 leftrightarrow x=0, forall x in E$.

Podemos definir la aplicación distancia como:

$latex d: E times E longrightarrow mathbb{R}^+ cup { 0 } ,:, (x,y) mapsto q(x-y)$,

cumpliendo:

  1. $latex q(x,y) = q(y,x)$.
  2. $latex d(x,y)=0 leftrightarrow x = y$.
  3. $latex d(x,y) leq d(x,z)+d(z,y)$.

¿Qué pasa ahora si empezamos a eliminar requisitos en las definiciones? Se siguen cumpliendo propiedades interesantes de manera que las estructuras resultantes son ricas o no? Suponemos que si. Vamos a ver…

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