junio 2013

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De momento unas cuantas imágenes:

CA7

Ya las comentaremos en otro post y colocaremos el código utilizado para generarlas.

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Hace un tiempo estuve trabajando con autómatas celulares y tengo ganas de compartir algunas cosas interesantes de estos, aunque ahora ando un poco escaso de tiempo…

Para empezar a abrir boca, un enlace al artículo original de John von Neumann “Theory of Self-Reproducing Automata” y otros dos a la wikipedia: la definición de lo que son y el ya clásico juego de la vida.

Al resolver mediante diferencias finitas PDEs lo que estamos haciendo, de alguna manera, es poner en marcha un pseudoautómata celular que lo hace. Me interesa explorar sus generalizaciones: del estado, de la función de transición (como podemos encontrarlas, por ejemplo a partir de algoritmos genéticos), de la vecindad (trabajar con vecinos no contíguos),…

Por cierto, el record del Bounded gaps between primes podría estar ya en $latex 6966$, por lo que hemos rebajado el problema en $latex 4$ ordenes de magnitud (Iniciamos el viaje en $latex 70,000,000$ y habría que llegar a $latex 2$ para demostrar la conjetura de los números primos gemelos). Ya queda menos :-).

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“En el plano proyectivo, por ejemplo, todo par de rectas se cruzan en un punto”.

Esta afirmación resume la esencia de los espacios proyectivos. Se trata de completar los espacios afines con elementos especiales que nos permitirán tratar con el infinito de igual manera que tratamos el resto de elementos del espacio. De esta manera, en el caso del plano proyectivo, incluimos los puntos de infinito de manera que todo para de rectas paralelas, que en el espacio afín no se cortan, en el proyectivo lo hacen en uno de estos punto de infinito añadido. La gracia está en que, a la hora de trabajar con elementos ordinarios y con elementos de infinito, lo haremos de la misma manera, sin necesidad de conocer su tipo concreto.

Matemáticamente, el espacio proyectivo real se define simplemente como:

$latex mathbb{P}(mathbb{R})^n:=frac{mathbb{R}^{n+1}- {0}}{sim}$ donde $latex (x_0,ldots, x_n) sim (alpha x_0,ldots, alpha x_n)$ con $latex alpha in mathbb{R} – {0}$,

que, del punto de vista intuitivo, no son mas que las rectas que pasan por el origen (es decir, como todos los puntos de una recta que pasa por el origen son equivalentes entre si por la relación de equivalencia que acabamos de definir, tomamos uno como representante y este será un punto del espacio proyectivo).

Introducimos ahora las coordenadas homogéneas (ampliamente utilizadas en robótica y visión por ordenador). Supongamos que tenemos un punto $latex (x,y)$ del plano afín $latex mathbb{R}^2$. Para representar el mismo punto del plano proyectivo real $latex mathbb{P}^2(mathbb{R})$ simplemente añadimos una tercera coordenada al final:

$latex (x:y:1) sim (alpha x : alpha y: alpha) sim (X,Y,W) = [X,Y,W]^T$

(estamos embebiendo el punto en $latex mathbb{R}^3$ y quedandonos como representante de la recta que pasa por el punto y el origen con aquel que tiene la tercera componente igual a $latex 1$).

Una recta en el espacio afín es:

$latex ax+by+c=0$,

que, al homogeneizar, queda:

$latex aX + bY + cW = 0$ que es $latex u^Tp = p^Tu =0$

con $latex u=[a,b,c]^T$ la línea y $latex p=[X,Y,W]^T$ el punto, por lo que los puntos y las lineas se representan de la misma manera en el prlano proyectivo (serán elementos duales).

Para transformar puntos del espacio proyectivo $latex (X,Y,W)$ al espacio afín únicamente tenemos que dividir por la tercera componente:

$latex (x,y):=(X/W,Y/W)$.

Es fácil ver ahora que tendremos puntos con $latex W=0$. A estos puntos los llamaremos puntos de infinito. Por ejemplo, en el plano proyectivo tendremos un punto de infinito para cada dirección, siendo por ejemplo $latex (1:0:0)$ y $latex (0:1:0)$ los puntos de infinito correspondientes a las direcciones horizontal y vertical respectivamente. La gracia de todo esto es que los puntos de infinito se tratan como cualquier otro punto del espacio proyectivo, es decir, en el espacio proyectivo operamos de la misma manera tanto con puntos ordinarios como con puntos de infinito.

Si todos los puntos de una recta son de infinito, entonces tenemos una recta de infinito. Y, en general, cualquier variedad con todos sus puntos de infinito, sera una variedad de infinito. Y otra vez, la idea fundamental es que cualquier variedad de infinito se tratara como cualquier otra variedad ordinaria. En el plano proyectivo, la recta de infinito se representa mediante $latex (0,0,1)$.

Para empezar, veamos que en el plano proyectivo todo par de rectas se cruzan en un punto (si son paralelas, este punto será un punto de infinito). Sean las rectas $latex u_1 = (a_1,b_1,c_1)$ y $latex u_2=(a_2,b_2,c_2)$. El punto de intersección $latex p = u_1 times u_2 = (b_1c_2-b_2c_1,a_2c_1-a_1c_2,a_1b_2-a_2b_1)$ que, en el caso de ser paralelas, nos quedará $latex p = (b_1c_2-b_2c_1,a_2c_1-a_1c_2,0)$ que, efectivamente, es un punto de infinito.

Por el principio de dualidad que hemos visto, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos $latex p_1$ y $latex p_2$ es $latex u = p_1 times p_2$.

Se empieza a vislumbrar la potencia de este enfoque. Veamos ahora un ejemplo un poco mas complicado.

Consideremos la intersección de la hipérbola $latex xy = 1$ con la recta $latex y=1$. En coordenadas homogeneas tenemos $latex XY=W^2$ para la hipérbola, ya que $latex X = Wx$ y $latex Y = Wy$,  y $latex Y = W$ para la recta. La solución es $latex (W,W,W)$ que es $latex (1,1)$, tal como esperabamos. Pero supongamos ahora que la intersección es con $latex y=0$, es decir, que no hay intersección en el espacio afín. El resultado en coordenadas homogeneas es $latex (X,0,0)$, que es el punto de infinito asociado a la dirección horizontal, por lo que si tenemos intersección en el espacio proyectivo.

Sorprendente, ¿no?

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Fantástica noticia desde el ESO (Observatorio Austral Europeo): tres supertierras (planetas con masas superiores a la Tierra pero inferiores a Urano o Neptuno) en la zona habitable (con posibilidad de albergar agua líquida) de una estrella cercana (a una distancia de 22 años luz).

Enlazamos el comunicado científico del observatorio y el artículo científico “A dynamically-packed planetary system around GJ 667C with three super-Earths in its habitable zone” en la revista Astronomy & Astrophysics.

Cuestiones interesantes: el sistema estelar Gliese 667 es triple y es el primer caso de zona habitable totalmente equipada (no existen mas órbitas estables dentro de la zona donde pudiera existir un planeta).

A continuación una representación artística realizada por el propio observatorio del sistema Gliese 667 (C en primer plano y tanto A como B mas distantes) y la reciente descubierta supertierra Gliese 667Ce (creciente a la izquierda de Gliese 667C) todo visto desde la superficie del exoplaneta Gliese 667Cd:

eso1328a

En el enlace al comunicado científico también encontraremos algunos videos.

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En este post ya comenté, por una parte, la aportación de Zhang a la conjetura de los números primos gemelos, y por otra, todo el revuelo que había generado en polymath con el mismísimo Tao a la cabeza.

Para volvernos a situar, en esta entrada del blog gaussianos explica de manera sencilla la relación entre el trabajo de Zhang y la conjetura de los primos gemelos. Un resumen podría ser:

  • La conjetura dice que existen infinitas parejas de números primos $latex p,q$ tales que $latex p+2=q$.
  • Podemos reescribir la conjetura de la siguiente manera: existen infinitas parejas de número primos $latex p,q$ tales que $latex |p-q|<3$.
  • Esto permite generalizar la conjetura de la siguiente manera: existen infinitas parejas de números primos $latex p,q$ tales que $latex |p-q|<N$.
  • Si llamamos a esta generalización $latex mathtt{CNPG(N)}$, lo que demostró Zhang es $latex mathtt{CNPG(70000000)}$, es decir, que existen infinitas parejas de primos $latex p,q$ tales que $latex |p-q|<70000000$.
  • Zhang ya sabía que $latex 70000000$ no era la mejor cota que se podía alcanzar con su método.

Efectivamente, a día de hoy, gracias a la colaboración masiva de prestigiosos matemáticos, y en poco mas de un mes, tenemos comprobado $latex mathtt{CNPG(12006)}$, y con algo de suerte $latex mathtt{CNPG}(10206)$, una cota que Zhang nunca habría alcanzado si hubiera seguido unos meses mas trabajando solo.

En este útimo post de francisthemulenews saca conclusiones muy interesantes, basandose en el caso que acabamos de exponer, sobre el avance de la ciencia hoy en día:

  • “En la ciencia actual el prestigio está asociado al impacto y éste al número de citas recibidas”.
  • “Hacer algo importante sin molestarse en afinar los detalles es mucho mejor, pues los revisores no pondrán inconvenientes y el trabajo recibirá gran número de citas de quienes refinen los detalles”.
  • “La demora cercena el éxito de los demasiado egoístas que ignoran como funciona la ciencia actual”.
  • “En ciencia, siempre se citará al padre de la idea”.
  • “[…] muchos […] creen que han descubierto algo “grande” y creen que si lo publican algún “listo” se lo robará. Así no funciona la ciencia y lo que se publica por la vía estándar queda para siempre. Los que ocultan sus supuestos descubrimientos no hacen ciencia, hacen paraciencia. Y la paraciencia siempre queda en el olvido”.

Tengámoslo en cuenta 😉

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Algunas imagenes VisIt resultantes de interpolaciones entre mallas esféricas y mallas cartesianas de componentes de la métrica en el formalismo $latex 3+1$:

  • $latex beta^z$ (pseudocolor):
  • $latex alpha$ (contour):

alphaSphCar

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Una nueva imagen curiosa del error en la resolución numérica de una Poisson 2d utilizando multigrid…

caraError2d

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Vamos a discretizar las ecuaciones que comentamos en este post. Para ello, discretizaremos las derivadas de la siguiente manera:

$latex partial_x u = frac{u_{i+1,j,k}-u_{i-1,j,k}}{2h_x}$,

$latex partial_y u = frac{u_{i,j+1,k}-u_{i,j-1,k}}{2h_y}$,

$latex partial_z u = frac{u_{i,j,k+1}-u_{i,j,k-1}}{2h_z}$,

$latex partial_{xx} u = frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{h_x^2}$,

$latex partial_{yy} u = frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{h_y^2}$,

$latex partial_{zz} u = frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{h_z^2}$,

$latex partial_{xy} u = frac{u_{i-1,j-1,k}-u_{i+1,j-1,k}-u_{i-1,j+1,k}+u_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y}$,

$latex partial_{xz} u = frac{u_{i-1,j,k-1}-u_{i+1,j,k-1}-u_{i-1,j,k+1}+u_{i+1,j,k+1}}{4h_xh_z}$,

$latex partial_{yz} u = frac{u_{i,j-1,k-1}-u_{i,j+1,k-1}-u_{i,j-1,k+1}+u_{i,j+1,k+1}}{4h_yh_z}$.

El primer grupo de ecuaciones quedaría:

$latex partial_{xx} X^x + partial_{yy} X^x + partial_{zz} X^x = 8 pi psi^6 rho h w^2 v_x – frac{1}{3} partial_x (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z) approx $

$latex approx frac{X^x_{i-1,j,k}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{X^x_{i,j-1,k}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{X^x_{i,j,k-1}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i,j,k+1}}{h_z^2} = $

$latex = 8 pi psi^6_{i,j,k} rho_{i,j,k} h_{i,j,k} w^2_{i,j,k} v_{x_{i,j,k}} – frac{1}{3} ( frac{X^x_{i-1,j,k}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} +$

$latex + frac{X^y_{i-1,j-1,k}-X^y_{i+1,j-1,k}-X^y_{i-1,j+1,k}+X^y_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y} +$

$latex + frac{X^z_{i-1,j,k-1}-X^z_{i+1,j,k-1}-X^z_{i-1,j,k+1}+X^z_{i+1,j,k+1}}{4h_xh_z} )$,

y además, para los esquemas de relajación no lineales, reescribimos la igualdad anterior como $latex F(X^x_{i,j,k})=0$ y entonces tenemos:

$latex partial_{X^x_{i,j,k}} F(X^x_{i,j,k}) = -2 ( frac{4}{3}frac{1}{h_x^2} + frac{1}{h_y^2} + frac{1}{h_z^2})$.

$latex partial_{xx} X^y + partial_{yy} X^y + partial_{zz} X^y = 8 pi psi^6 rho h w^2 v_y – frac{1}{3} partial_y (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z) approx $

$latex approx frac{X^y_{i-1,j,k}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{X^y_{i,j-1,k}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{X^y_{i,j,k-1}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i,j,k+1}}{h_z^2} = $

$latex = 8 pi psi^6_{i,j,k} rho_{i,j,k} h_{i,j,k} w^2_{i,j,k} v_{y_{i,j,k}} – frac{1}{3} ( frac{X^x_{i-1,j-1,k}-X^x_{i+1,j-1,k}-X^x_{i-1,j+1,k}+X^x_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y} +$

$latex + frac{X^y_{i,j-1,k}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} +$

$latex + frac{X^z_{i-1,j,k-1}-X^z_{i+1,j,k-1}-X^z_{i-1,j,k+1}+X^z_{i+1,j,k+1}}{4h_yh_z} )$,

con:

$latex partial_{X^y_{i,j,k}} F(X^y_{i,j,k}) = -2 ( frac{1}{h_x^2} +frac{4}{3} frac{1}{h_y^2} + frac{1}{h_z^2})$.

$latex partial_{xx} X^z + partial_{yy} X^z + partial_{zz} X^z = 8 pi psi^6 rho h w^2 v_z – frac{1}{3} partial_z (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z) approx $

$latex approx frac{X^z_{i-1,j,k}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{X^z_{i,j-1,k}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{X^z_{i,j,k-1}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i,j,k+1}}{h_z^2} = $

$latex = 8 pi psi^6_{i,j,k} rho_{i,j,k} h_{i,j,k} w^2_{i,j,k} v_{z_{i,j,k}} – frac{1}{3} ( frac{X^x_{i-1,j,k-1}-X^x_{i+1,j,k-1}-X^x_{i-1,j,k+1}+X^x_{i+1,j,k+1}}{4h_xh_z} +$

$latex + frac{X^y_{i,j-1,k-1}-X^y_{i,j+1,k-1}-X^y_{i,j-1,k+1}+X^y_{i,j+1,k+1}}{4h_yh_z} )$

$latex + frac{X^z_{i,j,k-1}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i,j,k+1}}{h_z^2}$

con:

$latex partial_{X^z_{i,j,k}} = F(X^z_{i,j,k}) = -2 ( frac{1}{h_x^2} + frac{1}{h_y^2} + frac{4}{3} frac{1}{h_z^2})$.

A continuación, discretizamos las siguientes ecuaciones:

$latex hat{A}^{xx} = 2 partial_x X^x – frac{2}{3} (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z) approx$

$latex approx frac{2}{3}frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} -frac{1}{3} frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} – frac{1}{3} frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = hat{A}^{xx}_{i,j,k}$,

$latex hat{A}^{xy} = hat{A}^{yx}= partial_x X^y + partial_y X^x approx $

$latex approx frac{X^y_{i+1,j,k}-X^y_{i-1,j,k}}{2h_x} + frac{X^x_{i,j+1,k}-X^x_{i,j-1,k}}{2h_y} = hat{A}^{xy}_{i,j,k} = hat{A}^{yx}_{i,j,k}$,

$latex hat{A}^{xz} = hat{A}^{zx} = partial_x X^z + partial_z X^x approx $

$latex approx frac{X^z_{i+1,j,k}-X^z_{i-1,j,k}}{2h_x} + frac{X^x_{i,j,k+1}-X^x_{i,j,k-1}}{2h_z} = hat{A}^{xz}_{i,j,k} = hat{A}^{zx}_{i,j,k}$,

$latex hat{A}^{yy} = 2 partial_y X^y – frac{2}{3} (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z) approx $

$latex approx -frac{1}{3}frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} +frac{2}{3} frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} – frac{1}{3} frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = hat{A}^{yy}_{i,j,k}$,

$latex hat{A}^{yz} = hat{A}^{zy} = partial_y X^z + partial_z X^y approx $

$latex approx frac{X^z_{i,j+1,k}-X^z_{i,j-1,k}}{2h_y} + frac{X^y_{i,j,k+1}-X^y_{i,j,k-1}}{2h_z} = hat{A}^{yz}_{i,j,k} = hat{A}^{zy}_{i,j,k}$,

$latex hat{A}^{zz} = 2 partial_z X^z – frac{2}{3} (partial_x X^x + partial_y X^y + partial_z X^z) approx $

$latex approx -frac{1}{3}frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} -frac{1}{3} frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} + frac{2}{3} frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = hat{A}^{zz}_{i,j,k}$.

Por tanto, la siguiente ecuación:

$latex Delta psi = -2 pi psi^{-1} (D + tau) – psi^{-7} frac{(hat{A}^{xx})^2+(hat{A}^{yy})^2+(hat{A}^{zz})^2+2(hat{A}^{xy})^2+2(hat{A}^{xz})^2+2(hat{A}^{yz})^2}{8}$

queda:

$latex approx frac{psi_{i-1,j,k}-2psi_{i,j,k}+psi_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{psi_{i,j-1,k}-2psi_{i,j,k}+psi_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{psi_{i,j,k-1}-2psi_{i,j,k}+psi_{i,j,k+1}}{h_z^2} = $

$latex =-2 pi psi^{-1}_{i,j,k} (D_{i,j,k}+tau_{i,j,k}) – $

$latex – frac{psi^{-7}_{i,j,k}}{8} ( (hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 ) $,

con:

$latex partial_{psi_{i,j,k}} F(psi_{i,j,k}) = -2 ( frac{1}{h_x^2} + frac{1}{h_y^2} + frac{1}{h_z^2} ) -2 pi psi_{i,j,k}^{-2} (D_{i,j,k}+tau_{i,j,k}) – $

$latex – frac{7}{8} psi^{-8}_{i,j,k} ( (hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 )$.

y la ecuación:

$latex Delta (alphapsi) = 2 pi (alphapsi)^{-1} ( D + tau + 2 rho h (w^2-1) + 6 p) + $

$latex + frac{7}{8} (alpha psi)^{-7} ((hat{A}^{xx})^2+(hat{A}^{yy})^2+(hat{A}^{zz})^2+2(hat{A}^{xy})^2+2(hat{A}^{xz})^2+2(hat{A}^{yz})^2)$

como:

$latex approx frac{(alphapsi)_{i-1,j,k} – 2(alphapsi)_{i,j,k}+(alphapsi)_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{(alphapsi)_{i,j-1,k}-2(alphapsi)_{i,j,k}+(alphapsi)_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{(alphapsi)_{i,j,k-1}-2(alphapsi)_{i,j,k}+(alphapsi)_{i,j,k+1}}{h_z^2} = $

$latex =2 pi (alphapsi)_{i,j,k}^{-1} (D_{i,j,k}+tau_{i,j,k} + 2 rho_{i,j,k} h_{i,j,k} (w^2_{i,j,k}-1)+6p_{i,j,k}) + $

$latex + frac{7}{8}(alphapsi)_{i,j,k}^{-7} ( (hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 ) $,

donde:

$latex partial_{psialpha_{i,j,k}} F(psialpha_{i,j,k}) = -2 ( frac{1}{h_x^2} + frac{1}{h_y^2} + frac{1}{h_z^2} ) + $

$latex + 2 pi (psialpha)_{i,j,k}^{-2} (D_{i,j,k}+tau_{i,j,k} + 2 rho_{i,j,k} h_{i,j,k} (w^2_{i,j,k}-1)+6p_{i,j,k}) – $

$latex + frac{49}{8} (psialpha)_{i,j,k}^{-8} ( (hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 )$.

Finalmente, tenemos:

$latex Delta beta^x = partial_x (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{xx}) + partial_y (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{xy}) + partial_z (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{xz}) – $

$latex – frac{1}{3} partial_x (partial_x beta^x + partial_y beta^y + partial_z beta^z) approx $

$latex approx frac{beta^x_{i-1,j,k}-2beta^x_{i,j,k}+beta^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{beta^x_{i,j-1,k}-2beta^x_{i,j,k}+beta^x_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{beta^x_{i,j,k-1}-2beta^x_{i,j,k}+beta^x_{i,j,k+1}}{h_z^2} = $

$latex = frac{(alpha psi)_{i+1,j,k}^{-6} hat{A}_{i+1,j,k}^{xx} – (alpha psi)_{i-1,j,k}^{-6} hat{A}_{i-1,j,k}^{xx}}{h_x} + $

$latex + frac{(alpha psi)_{i,j+1,k}^{-6} hat{A}_{i,j+1,k}^{xy} – (alpha psi)_{i,j-1,k}^{-6} hat{A}_{i,j-1,k}^{xy}}{h_y} + $

$latex + frac{(alpha psi)_{i,j,k+1}^{-6} hat{A}_{i,j,k+1}^{xz} – (alpha psi)_{i,j,k-1}^{-6} hat{A}_{i,j,k-1}^{xz}}{h_z} – $

$latex – frac{1}{3} ( frac{beta^x_{i-1,j,k}-2beta^x_{i,j,k}+beta^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} + $

$latex + frac{beta^y_{i-1,j-1,k}-beta^y_{i+1,j-1,k}-beta^y_{i-1,j+1,k}+beta^y_{i+1,j+1,k}}{4 h_x h_y} + $

$latex + frac{beta^z_{i-1,j,k-1}-beta^z_{i+1,j,k-1}-beta^z_{i-1,j,k+1}+beta^z_{i+1,j,k+1}}{4 h_x h_z} $,

con:

$latex partial_{beta^x_{i,j,k}} F(beta^x_{i,j,k}) = -2 ( frac{4}{3}frac{1}{h_x^2} + frac{1}{h_y^2} + frac{1}{h_z^2})$,

$latex Delta beta^y = partial_x (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{yx}) + partial_y (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{yy}) + partial_z (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{yz}) – $

$latex – frac{1}{3} partial_y (partial_x beta^x + partial_y beta^y + partial_z beta^z) approx $

$latex approx frac{beta^y_{i-1,j,k}-2beta^y_{i,j,k}+beta^y_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{beta^y_{i,j-1,k}-2beta^y_{i,j,k}+beta^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{beta^y_{i,j,k-1}-2beta^y_{i,j,k}+beta^y_{i,j,k+1}}{h_z^2} = $

$latex = frac{(alpha psi)_{i+1,j,k}^{-6} hat{A}_{i+1,j,k}^{yx} – (alpha psi)_{i-1,j,k}^{-6} hat{A}_{i-1,j,k}^{yx}}{h_x} + $

$latex + frac{(alpha psi)_{i,j+1,k}^{-6} hat{A}_{i,j+1,k}^{yy} – (alpha psi)_{i,j-1,k}^{-6} hat{A}_{i,j-1,k}^{yy}}{h_y} + $

$latex + frac{(alpha psi)_{i,j,k+1}^{-6} hat{A}_{i,j,k+1}^{yz} – (alpha psi)_{i,j,k-1}^{-6} hat{A}_{i,j,k-1}^{yz}}{h_z} – $

$latex – frac{1}{3} ( frac{beta^x_{i-1,j-1,k}-beta^x_{i+1,j-1,k}-beta^x_{i-1,j+1,k}+beta^x_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y} +$

$latex + frac{beta^y_{i,j-1,k}-2beta^y_{i,j,k}+beta^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} +$

$latex + frac{beta^z_{i-1,j,k-1}-beta^z_{i+1,j,k-1}-beta^z_{i-1,j,k+1}+beta^z_{i+1,j,k+1}}{4h_yh_z} )$,

con:

$latex partial_{beta^y_{i,j,k}} F(beta^y_{i,j,k}) = -2 ( frac{1}{h_x^2} + frac{4}{3} frac{1}{h_y^2} + frac{1}{h_z^2})$,

$latex Delta beta^z = partial_x (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{zx}) + partial_y (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{zy}) + partial_z (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{zz}) – $

$latex – frac{1}{3} partial_z (partial_x beta^x + partial_y beta^y + partial_z beta^z) approx $

$latex approx frac{beta^z_{i-1,j,k}-2beta^z_{i,j,k}+beta^z_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{beta^z_{i,j-1,k}-2beta^z_{i,j,k}+beta^z_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{beta^z_{i,j,k-1}-2beta^z_{i,j,k}+beta^z_{i,j,k+1}}{h_z^2} = $

$latex = frac{(alpha psi)_{i+1,j,k}^{-6} hat{A}_{i+1,j,k}^{zx} – (alpha psi)_{i-1,j,k}^{-6} hat{A}_{i-1,j,k}^{zx}}{h_x} + $

$latex + frac{(alpha psi)_{i,j+1,k}^{-6} hat{A}_{i,j+1,k}^{zy} – (alpha psi)_{i,j-1,k}^{-6} hat{A}_{i,j-1,k}^{zy}}{h_y} + $

$latex + frac{(alpha psi)_{i,j,k+1}^{-6} hat{A}_{i,j,k+1}^{zz} – (alpha psi)_{i,j,k-1}^{-6} hat{A}_{i,j,k-1}^{zz}}{h_z} – $

$latex – frac{1}{3} ( frac{beta^x_{i-1,j,k-1}-beta^x_{i+1,j,k-1}-beta^x_{i-1,j,k+1}+beta^x_{i+1,j,k+1}}{4h_xh_z} +$

$latex + frac{beta^y_{i,j-1,k-1}-beta^y_{i,j+1,k-1}-beta^y_{i,j-1,k+1}+beta^y_{i,j+1,k+1}}{4h_yh_z} )$

$latex + frac{beta^z_{i,j,k-1}-2beta^z_{i,j,k}+beta^z_{i,j,k+1}}{h_z^2}$,

con:

$latex partial_{beta^z_{i,j,k}} F(beta^z_{i,j,k}) = -2 ( frac{1}{h_x^2} + frac{1}{h_y^2} + frac{4}{3} frac{1}{h_z^2} )$.

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A raiz del post de Tao Online reading seminar for Zhang’s “bounded gaps between primes”, he sabido de la existencia del interesantísimo proyecto polymath.

Nacido de la mano del medallista Fields Timothy Gowers, está pensado para la colaboración masiva entre matemáticos.

Que promete, parece claro, pues el primer proyecto que se propuso, relacionado con el teorema de Hales-Jewett, aparentemente se resolvió en siete semanas y ahora mismo, en el último proyecto y en sólo tres semanas, se ha bajado una cota del artículo “Bounded gaps between primes” publicado por Yitang Zhang en la prestigiosa Annals of Mathematics y relacionado con la conjetura de los números primos gemelos, de $latex 70,000,000$ a $latex 4,788,240$ (aquí un tabla con diferentes y posibles futuras mejoras).

Es una novedosa manera, gracias a las nuevas tecnologías, de centrar la atención de una gran mente matemática global, la todos los matemáticos interesados en participar en un problema concreto. ¿Existirán propuestas similares e igualmente eficientes para otros campos…?

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