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Álgebra de Lie de un grupo de Lie

Las álgebras de Lie aparecen al estudiar los grupos de Lie compactos, aunque adquieren entidad propia dada su importancia en el estudio de los grupos y sus representaciones.

Se utilizan, entre otras cosas, para el análisis de esquemas de ruptura de la simetría gauge, al estudiar el modelo quark de los hadrones, en la reducción dimensional de teorías multidimensionales,…

Dado un grupo de Lie $latex G$ podemos asociarle un álgebra de Lie $latex mathfrak{g}$. En este post vamos a ver como.

Sea $latex v(x)$ un campo vectorial en el grupo de Lie $latex G$. Diremos que el campo $latex v(x)$ es invariante por la izquierda si lo es respecto a los desplazamientos a la izquierda:

$latex (L_a)_* v(x) = v(ax)$ con $latex a in G$.

Antes de seguir, clarifiquemos el significado de la expresión anterior. Para empezar, si $latex a in G$ es un elemento del grupo, $latex L_a x = ax$ representan las traslaciones a la izquierda de valor $latex a$. Como $latex v(x)$ es un campo vectorial, lo que tenemos es una aplicación:

$latex v: G longrightarrow TG$,

donde $latex TG$ es la variedad tangente a $latex G$. Finalmente, para la aplicación:

$latex L_a: G longrightarrow G$

de las traslaciones a izquierda, podemos construir su aplicación diferencial:

$latex (L_a)_*: TG longrightarrow TG$.

De esta manera, todo tiene sentido: como $latex x in G$ entonces $latex v(x) in TG$ y podemos aplicarle $latex (L_a)_*$ que nos devuelve un elemento de $latex TG$. Por otro lado, $latex ax in G$ y $latex v(ax) in TG$.

Con todo lo visto, dado un grupo de Lie $latex G$, el subconjunto $latex mathfrak{g}$ del conjunto de todos los campos diferenciables $latex chi(G)$ en $latex G$ es un subespacio vectorial. Como:

$latex (L_a)_*[u(x),v(x)] = [(L_a)_* u(x), (L_a)_* v(x)]$,

entonces $latex mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie del grupo de Lie $latex G$ con conmutador $latex [u(a), v(a)]$.

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