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septiembre 2013

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Como $latex Delta u = f leftrightarrow u = Delta^{-1} f$ entonces $latex mathcal{M}(u) = mathcal{M}(Delta^{-1} f)$ y

$latex mathcal{M}(Delta^{-1}f) = frac{1}{r} M(f) + frac{1}{r^2}n_i D^i(f) + frac{3}{2} frac{1}{r^3} n_{langle i} n_{j rangle} Q^{ij}(f) + O(frac{1}{r^4}) + $

$latex + Delta_0^{-1} mathcal{M}(f)$

con

$latex M(f) = – frac{1}{4 pi} int f$,

$latex D^i(f) = – frac{1}{4 pi} int x^i f$,

$latex Q^{ij}(f) = – frac{1}{4 pi} int x^i x^j f$

y $latex mathcal{M}(f) = 0$ si $latex f$ es de soporte compacto.

 1.- $latex boxed{Delta Theta_X = frac{3}{4} 8 pi mathcal{D}^i S_i^*}$ donde $latex Theta_X := mathcal{D}_j X^j$

En este caso, $latex f_{Theta_X} := frac{3}{4} 8 pi mathcal{D}^i S_i^*$ y, por tanto, $latex mathcal{M}(f_{Theta_X})=0$. De esta manera, tenemos:

$latex M(f_{Theta_X}) =$,

$latex D^i(f_{Theta_X}) = – frac{1}{4 pi} int x^i frac{3}{4} 8 pi mathcal{D}^i S_i^* = -frac{3}{2} (int mathcal{D}^j(x^i S_j^*) d^3x’ – int S_j^* mathcal{D}^j x^i d^3x’)$,

$latex Q^{ij}(f_{Theta_X}) = – frac{1}{4 pi} int x^i x^j frac{3}{4} 8 pi mathcal{D}^i S_i^*$

$latex mathcal{M}(Delta^{-1}f_{Theta_X}) = + O()$

2.- $latex boxed{Delta X^i = 8 pi f^{ij} S_j^* – frac{1}{3} mathcal{D}^i Theta_X}$

Ahora hacemos $latex f_{X^i} := 8 pi f^{ij} S_j^* – frac{1}{3} mathcal{D}^i Theta_X$

$latex M(f_{X^i}) = – frac{1}{4 pi} int 8 pi f^{ij} S_j^* – frac{1}{3} mathcal{D}^i Theta_X$,

$latex D^i(f_{X^i}) = – frac{1}{4 pi} int x^i (8 pi f^{ij} S_j^* – frac{1}{3} mathcal{D}^i Theta_X)$,

$latex Q^{ij}(f_{X^i}) = – frac{1}{4 pi} int x^i x^j (8 pi f^{ij} S_j^* – frac{1}{3} mathcal{D}^i Theta_X)$

$latex mathcal{M}(Delta^{-1}f_{X^i}) = + O()$

3.- $latex boxed{Delta psi = -2 pi E^* psi^{-1} – frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij}) psi^{-7}}$

En esta ocasión, $latex f_psi := -2 pi E^* psi^{-1} – frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij}) psi^{-7}$

$latex M(f_psi) = – frac{1}{4 pi} int -2 pi E^* psi^{-1} – frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij}) psi^{-7}$,

$latex D^i(f_psi) = – frac{1}{4 pi} int x^i (-2 pi E^* psi^{-1} – frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij}) psi^{-7})$,

$latex Q^{ij}(f_psi) = – frac{1}{4 pi} int x^i x^j (-2 pi E^* psi^{-1} – frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij}) psi^{-7})$

$latex mathcal{M}(Delta^{-1}f_psi) = + O()$

4.- $latex boxed{ Delta (alpha psi) = big( 2 pi (E^* + 2S^*) psi^{-2} + frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij} ) psi^{-8} big) (alpha psi) }$

Definimos $latex f_{alpha psi}:=big( 2 pi (E^* + 2S^*) psi^{-2} + frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij} ) psi^{-8} big) (alpha psi)$

$latex M(f_{alpha psi}) = – frac{1}{4 pi} int big( 2 pi (E^* + 2S^*) psi^{-2} + frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij} ) psi^{-8} big) (alpha psi)$,

$latex D^i(f_{alpha psi}) = – frac{1}{4 pi} int x^i (big( 2 pi (E^* + 2S^*) psi^{-2} + frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij} ) psi^{-8} big) (alpha psi))$,

$latex Q^{ij}(f_{alpha psi}) = – frac{1}{4 pi} int x^i x^j (big( 2 pi (E^* + 2S^*) psi^{-2} + frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij} ) psi^{-8} big) (alpha psi))$

$latex mathcal{M}(Delta^{-1} f_{alpha psi}) = + O() $

5.- $latex boxed{Delta Theta_beta = frac{3}{4}mathcal{D}^i (mathcal{D}_j(2alpha psi^{-6}hat{A}^{ij})) }$ con $latex Theta_beta := mathcal{D}_i beta^i$

Para esta ecuación, $latex f_{Theta_beta}:=frac{3}{4}mathcal{D}^i (mathcal{D}_j(2alpha psi^{-6}hat{A}^{ij}))$

$latex M(f_{Theta_beta}) = – frac{1}{4 pi} int frac{3}{4}mathcal{D}^i (mathcal{D}_j(2alpha psi^{-6}hat{A}^{ij}))$,

$latex D^i(f_{Theta_beta}) = – frac{1}{4 pi} int x^i frac{3}{4}mathcal{D}^i (mathcal{D}_j(2alpha psi^{-6}hat{A}^{ij}))$,

$latex Q^{ij}(f_{Theta_beta}) = – frac{1}{4 pi} int x^i x^j frac{3}{4}mathcal{D}^i (mathcal{D}_j(2alpha psi^{-6}hat{A}^{ij}))$

$latex mathcal{M}(Delta^{-1}f_{Theta_beta}) = + O()$

6.- $latex boxed{Delta beta^i = mathcal{D}_j(2alphapsi^{-6}hat{A}^{ij})-frac{1}{3}mathcal{D}^i Theta_beta}$

Finalmente, tenemos $latex f_{beta^i}:=mathcal{D}_j(2alphapsi^{-6}hat{A}^{ij})-frac{1}{3}mathcal{D}^i Theta_beta$

$latex M(f_{beta^i}) = – frac{1}{4 pi} int mathcal{D}_j(2alphapsi^{-6}hat{A}^{ij})-frac{1}{3}mathcal{D}^i Theta_beta$,

$latex D^i(f_{beta^i}) = – frac{1}{4 pi} int x^i (mathcal{D}_j(2alphapsi^{-6}hat{A}^{ij})-frac{1}{3}mathcal{D}^i Theta_beta)$,

$latex Q^{ij}(f_{beta^i}) = – frac{1}{4 pi} int x^i x^j (mathcal{D}_j(2alphapsi^{-6}hat{A}^{ij})-frac{1}{3}mathcal{D}^i Theta_beta)$

$latex mathcal{M}(Delta^{-1}f_{beta^i}) = + O()$

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Un salto cualitativo en las matemáticas se produce al introducir las estructuras algebraicas: un conjunto de elementos con unas operaciones cumpliendo ciertas propiedades, ya que nos permiten abstraernos de los objetos concretos y sacar conclusiones generales a partir de las propiedades que cumplen, de manera que podemos demostrar teoremas que seran tan validos en los enteros como en los polinomios, por decir algo.

Los elementos pueden ser números ($latex mathbb{N}, mathbb{Z}, mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$, …) o no (polinomios, matrices, funciones, …). Las operaciones (o leyes de composición) pueden ser internas (la suma, el producto, la composición, …) o externas (producto por escalar, …) y las propiedades son la asociatividad, la existencia de neutro, de inverso, la conmutatividad, distributividad, etc.

Pero como en las matemáticas siempre podemos abstraer mas, podemos convertir a las propias estructuras algebraicas en nuevos objetos de estudio e intentar buscar que tienen en común entre ellas, dando origen al álgebra universal.

En el álgebra universal tenemos categorías. Una categoría $latex mathcal{C}$ está formada por:

  • $latex Obj(mathcal{C})$: un conjunto de objetos, que denotaremos mediante $latex X, Y, ldots$

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La siguiente URL realiza una busqueda en la prestigiosa revista Annals of Mathematics de todos aquellos artículos que contengan la palabra Spain:

http://annals.math.princeton.edu/?s=Spain

que nos devuelve como resultado 22 artículos a partir del 2004 que tienen a algún español entre sus autores. De estos, los únicos autores que repiten son: Diego Cordoba (3), Francisco Gancedo (3), Antonio Cordoba (2), Angel Castro (2) y Gabriel Navarro (2).

Por cierto, una curiosidad: resulta que Antonio Cordoba ¡es el padre de Diego Cordoba! Supongo que el padre debe estar orgullosisimo de que el hijo ya lo supere (por lo menos en artículos en Annals 🙂

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Dado cualquier número primo $latex p$, el conjunto $latex mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ de los enteros módulo $latex p$ tiene estructura de cuerpo. Solemos escribir $latex mathbb{F}_p$ para referirnos al cuerpo finito de $latex p$ elementos.

En particular, cuando $latex p=2$, tenemos el cuerpo $latex mathbb{F}_2$ con la suma y el producto, que están en correspondencia, desde el punto de vista de las álgebras de Boole, con las operaciones XOR y AND.

Si $latex mathbb{K}$ es un cuerpo, se puede dotar fácilmente a $latex mathbb{K}^n$ de estructura de cuerpo.

Por lo tanto, $latex (mathbb{F}_2)^n$ es un cuerpo, también finito. Como todos los cuerpos finitos de $latex q$ elementos son isomorfos entre ellos y el cuerpo anterior tiene $latex 2^n$, estamos tratando con $latex mathbb{F}_{2^n}$. Podriamos haber construido el cuerpo de otra manera: buscar un polinomio irreducible $latex f(x)$ de grado $latex n$ con coeficientes en $latex mathbb{F}_2$ y construir $latex F_{2^n}$ como:

$latex mathbb{F}_{2^n} = frac{mathbb{F}_2[x]}{langle f(x) rangle}$.

Se puede demostrar que cualquier cuerpo finito $latex mathbb{F}_p$ es un espacio vectorial sobre cierto $latex mathbb{Z}/qmathbb{Z}$. En particular, $latex mathbb{F}_{2^n}$ es un espacio vectorial sobre $latex mathbb{F}_2$ de dimensión $latex n$.

Existe un teorema, que en nuestro nos lleva a algo que ya sabiamos, que nos dice que si $latex V$ es un $latex mathbb{K}$-ev de dimensión $latex n$ entonces $latex V$ es isomorfo a $latex mathbb{F}^n$ (en nuestro caso $latex V$ es $latex mathbb{F}_{2^n}$ y $latex mathbb{K}$ es $latex mathbb{F}_2$, por lo que $latex mathbb{F}_{2^n} cong (mathbb{F}_2)^n$).

Dado un anillo $latex R$ y sea $latex A = R[x]$ el anilllo de polinomios sobre $latex R$. Entonces la derivada formal de $latex f(x)=a_nx^n + ldots + a_1 x + a_0 in R[x]$ es $latex f'(x) = Df(x) = n a_n x^{n-1} + ldots + a_1$.

 

 

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