El cuerpo finito F_2 y las derivadas formales

Dado cualquier número primo $latex p$, el conjunto $latex mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ de los enteros módulo $latex p$ tiene estructura de cuerpo. Solemos escribir $latex mathbb{F}_p$ para referirnos al cuerpo finito de $latex p$ elementos.

En particular, cuando $latex p=2$, tenemos el cuerpo $latex mathbb{F}_2$ con la suma y el producto, que están en correspondencia, desde el punto de vista de las álgebras de Boole, con las operaciones XOR y AND.

Si $latex mathbb{K}$ es un cuerpo, se puede dotar fácilmente a $latex mathbb{K}^n$ de estructura de cuerpo.

Por lo tanto, $latex (mathbb{F}_2)^n$ es un cuerpo, también finito. Como todos los cuerpos finitos de $latex q$ elementos son isomorfos entre ellos y el cuerpo anterior tiene $latex 2^n$, estamos tratando con $latex mathbb{F}_{2^n}$. Podriamos haber construido el cuerpo de otra manera: buscar un polinomio irreducible $latex f(x)$ de grado $latex n$ con coeficientes en $latex mathbb{F}_2$ y construir $latex F_{2^n}$ como:

$latex mathbb{F}_{2^n} = frac{mathbb{F}_2[x]}{langle f(x) rangle}$.

Se puede demostrar que cualquier cuerpo finito $latex mathbb{F}_p$ es un espacio vectorial sobre cierto $latex mathbb{Z}/qmathbb{Z}$. En particular, $latex mathbb{F}_{2^n}$ es un espacio vectorial sobre $latex mathbb{F}_2$ de dimensión $latex n$.

Existe un teorema, que en nuestro nos lleva a algo que ya sabiamos, que nos dice que si $latex V$ es un $latex mathbb{K}$-ev de dimensión $latex n$ entonces $latex V$ es isomorfo a $latex mathbb{F}^n$ (en nuestro caso $latex V$ es $latex mathbb{F}_{2^n}$ y $latex mathbb{K}$ es $latex mathbb{F}_2$, por lo que $latex mathbb{F}_{2^n} cong (mathbb{F}_2)^n$).

Dado un anillo $latex R$ y sea $latex A = R[x]$ el anilllo de polinomios sobre $latex R$. Entonces la derivada formal de $latex f(x)=a_nx^n + ldots + a_1 x + a_0 in R[x]$ es $latex f'(x) = Df(x) = n a_n x^{n-1} + ldots + a_1$.

 

 

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