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Diferencias finitas para la segunda derivada con puntos separados por distancias que siguen una serie geometrica respecto del punto central (I)

El caso mas sencillo es cuando tenemos cinco puntos:

$latex (x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4)$,

de manera que:

$latex x_1-x_0 = 2(x_2-x_1) = 2(x_3-x_2) = x_4-x_3$.

Tal y como escribimos en el anterior post, el polinomio general para cinco puntos quedaria:

$latex L(x) = y_0 l_0(x) + y_1 l_1(x) + y_2 l_2(x) + y_3 l_3(x) + y_4 l_4(x)$,

donde:

$latex l_0(x) = frac{x-x_1}{x_0-x_1} frac{x-x_2}{x_0-x_2} frac{x-x_3}{x_0-x_3} frac{x-x_4}{x_0-x_4}$,

$latex l_1(x) = frac{x-x_0}{x_1-x_0} frac{x-x_2}{x_1-x_2} frac{x-x_3}{x_1-x_3} frac{x-x_4}{x_1-x_4}$,

$latex l_2(x) = frac{x-x_0}{x_2-x_0} frac{x-x_1}{x_2-x_1} frac{x-x_3}{x_2-x_3} frac{x-x_4}{x_2-x_4}$,

$latex l_3(x) = frac{x-x_0}{x_3-x_0} frac{x-x_1}{x_3-x_1} frac{x-x_2}{x_3-x_2} frac{x-x_4}{x_3-x_4}$,

$latex l_4(x) = frac{x-x_0}{x_4-x_0} frac{x-x_1}{x_4-x_1} frac{x-x_2}{x_4-x_2} frac{x-x_3}{x_4-x_3}$.

Dado que tratamos de aproximar la segunda derivada, tenemos, en el caso de equidistancia quedaría:

$latex frac{d^2}{dx^2}u_i = frac{-u_{i-2}+16u_{i-1}-30u_i+16u_{i+1}-u_{i+2}}{12 h^2}$.

Vamos a ver que queda ahora en nuestro caso. Reescribimos los $latex l_i(x)$ en función de $latex x_0$ de manera que, por ejemplo, tenemos:

$latex l_0(x) = frac{x-x_1}{x_0-x_1} frac{x-x_2}{x_0-x_2} frac{x-x_3}{x_0-x_3} frac{x-x_4}{x_0-x_4} =$

$latex =frac{x-x_0-2h}{x_0-x_0-2h} frac{x-x_0-3h}{x_0-x_0-3h} frac{x-x_0-4h}{x_0-x_0-4h} frac{x-x_0-6h}{x_0-x_0-6h} = $

$latex =frac{(x-x_0-2h)(x-x_0-3h)(x-x_0-4h)(x-x_0-6h)}{144h^4}$,

que para $latex x=x_2=x_0+3h (2h+h)$, la segunda derivada queda:

$latex frac{d^2}{dx^2} l_0(x) |_{x=x_2} = -frac{1}{72h^2}$.

Haciendo lo mismo para todas las derivadas segundas de todos los $latex l_i(x)$, obtenemos la siguiente formula en diferencias finitas:

$latex frac{d^2}{dx^2}u_i = frac{-u_{i-3} + 81 u_{u-1} – 160 u_i + 81 u_{i+1} – u_{i+3}}{72h^2}$,

donde los índices hacen referencia a una malla inicial equiespaciada.

Para el mismo denominador, antes teniamos:

$latex frac{d^2}{dx^2}u_i = frac{-6u_{i-2}+96u_{i-1}-180u_i+96u_{i+1}-6u_{i+2}}{72 h^2}$.

Podemos hacer lo mismo para cada uno de los puntos $latex x=x_0$, $latex x=x_1=x_0+2h$, $latex x=x_3=x_0+4h$ y $latex x=x_4=x_0+6h$:

$latex frac{d^2}{dx^2}u_{i-3} = frac{40 u_{i-3} -243 u_{i-1} + 352 u_i -162 u_{i+1} + 13 u_{i+3}}{36 h^2}$

$latex frac{d^2}{dx^2}u_{i-2} = frac{7 u_{i-3} – 32 u_i + 27 u_{i+1} – 2 u_{i+3}}{36 h^2}$

$latex frac{d^2}{dx^2}u_{i+1} =frac{-2 u_{i-3} + 27 u_{i-1} – 32 u_i -+7 u_{i+3}}{36 h^2}$

$latex frac{d^2}{dx^2}u_{i+3} =frac{13 u_{i-3} -162 u_{i-1} + 352 u_i -243 u_{i+1} + 40 u_{i+3}}{36 h^2}$

 En el caso de $latex x=x_0+4h (3h+h)$, tenemos:

$latex frac{d^2}{dx^2}u_i = frac{-u_{i-4} + 256_{u-1} – 510 u_i + 256 u_{i+1} – u_{i+4}}{140h^2}$.

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