Funciones booleanas y puertas lógicas

Podemos pensar las funciones como una especie de entidades que a partir de unas entradas nos generan unas salidas. Por ejemplo, en matemáticas la función $latex f(x)=2x$ recibe un número real como entrada y nos devuelve el doble de ese número como salida.

Así pues, tenemos que para definir una función necesitamos un conjunto al que pertenecen las entradas de la función, un conjunto al que pertenecen sus salidas y una manera de obtener estas últimas a partir de las primeras (obviamente, estos métodos han de ser capaces de trabajar con los conjuntos anteriores). En particular, para la función anterior, tenemos que tanto los conjuntos de entrada como de salida son los números reales $latex mathbb{R}$, es una función real de variable real, y la regla de transformación es sencillamente multiplicar por dos.

Por lo tanto, las funciones booleanas no son mas que funciones donde los conjuntos de entrada y de salida tienen que ver con los booleanos $latex mathbb{B} = { 0,1}$. O dicho de otra manera, tendran que ser capaces de trabajar solo con ceros y unos. Cuando escribimos

$latex f:mathbb{B}^n rightarrow mathbb{B}^m$

queremos decir que las entradas son  $latex n$ valores booleanos $latex overbrace{mathbb{B} times mathbb{B}}^{n}$ y lo mismo para los $latex m$ valores de salida. Nos centraremos en $latex m=1$, ya que

$latex f(b_1,ldots,b_n) = f_1(b_1,ldots,b_n) times ldots times f_m(b_1,ldots,b_n)$

con

$latex f_i:mathbb{B}^n rightarrow mathbb{B}$.

Una propiedad interesante de las funciones booleanas es que, debido a que la cardinalidad de los booleanos es $latex |mathbb{B}|=2$, entonces el número de combinaciones posibles para las entradas queda determinado por la aridad $latex n$ de la función de la siguiente manera:

$latex |mathbb{B}^n| = 2^n$.

Ésto justifica la utilización de las tablas de verdad para especificar el comportamiento de una función. En ella, se colocan a la izquierda todas las posibles combinaciones de las entradas, que como acabamos de ver es finito, y a la izquierda de cada una de las ellas el valor correspondiente de la función que estamos definiendo.

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