Derivada covariante y conexiones (afines)

Una conexión afín (o derivación covariante) permite

La derivada covariante del campo vectorial queda:

donde el primer sumando corresponde a la derivada parcial del campo respecto de la base y la segunda a la variación de la propia base curvilínea respecto de las lineas coordenadas.

Aunque la formula anterior corresponde a la derivada covariante de un campo vectorial contravariante, es fácilmente extensible a cualquier tensor $latex (p,q)$. La derivada covariante de un tensor de este tipo queda:

$latex mathcal{D}_{hat{k}} T^{hat{i}_1 cdots hat{i}_p}_{hat{j}_1 cdots hat{j}_q} = e_{hat{k}}^l partial_{hat{k}} T^{hat{i}_1 cdots hat{i}_p}_{hat{j}_1 cdots hat{j}_q} + Sigma_{i=1}^p Gamma_{}^{} T_{}^{hat{j}_1 cdots hat{j}_q} – Sigma_{i=1}^q Gamma_{}^{} T_{hat{i}_1 cdots hat{i}_p}^{}$

donde:

$latex Gamma^{alpha}_{beta gamma} = $

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