enero 2014

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Ya comentamos aquí la diferencia entre una base coordenada, por ejemplo $latex {partial_r, partial_theta, partial_varphi }$, y una no coordenada, por ejemplo $latex { partial_r, frac{1}{r} partial_theta, frac{1}{r sin theta} partial_varphi }$, respecto del cálculo de los símbolos de su conexión de Levi-Civita (la derivación covariante libre de torsión derivada de su métrica 🙂 ).

También aquí calculé el corchete de Lie en algunos casos concretos. Recordar de éste dos cuestiones importantes:

  1. el corchete de Lie de campos coordenados es nulo,
  2. se puede demostrar que si $latex g,h in C^infty(M)$ y $latex X,Y in mathfrak{X}(M)$ entonces:

$latex [gX,hY] = gX(h)Y – hY(g)X + gh[X,Y]$.

Vamos a calcularlo ahora para los elementos de la base ortonormal en esféricas, que ya hemos dicho que no es holonómica:

$latex [partial_r, frac{1}{r} partial_theta] = 1 partial_r(frac{1}{r}) partial_theta – frac{1}{r} partial_theta(1) partial_r + 1frac{1}{r sin theta} [partial_r, partial_varphi] = -frac{csc theta}{r^2}$

$latex = -frac{1}{r^2} partial_theta – frac{1}{r} 0 partial_r + frac{1}{r} 0 = -frac{1}{r^2} partial_theta = -[frac{1}{r} partial_theta, partial_r]$,

$latex [partial_r, frac{1}{r sin theta} partial_varphi] = 1 partial_r(frac{1}{r sin theta}) partial_varphi – frac{1}{r sin theta} partial_varphi(1) partial_r + 1frac{1}{r sin theta} [partial_r, partial_varphi] = -frac{csc theta}{r^2} partial_varphi$,

$latex [frac{1}{r} partial_theta, frac{1}{r sin theta} partial_varphi] = frac{1}{r} partial_theta (frac{1}{r sin theta}) partial_varphi – frac{1}{r sin theta} partial_varphi (frac{1}{r}) partial_theta + frac{1}{r}frac{1}{r sin theta} [partial_theta, partial_varphi] = $

$latex = frac{1}{r} frac{-csc theta cot theta}{r} partial_varphi – frac{1}{r sin theta} 0 partial_theta + frac{1}{r}frac{1}{r sin theta} 0 = -frac{csc theta cot theta}{r^2} partial_varphi$.

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Muchos de los aspectos de las variedades reales son traducibles a variedades complejas cambiando el concepto de diferenciabilidad por el de holomorfía: atlas con aplicaciones de transición holomorfas, aplicación holomorfa entre variedades complejas, subvariedad compleja de una variedad compleja, etc.

Sin embargo, muchas de las propiedades de la variedad compleja dependen unicamente de la existencia de una casi estructura compleja local $latex J_p$ que nos permita complexificar el plano tangente:

$latex J_p: T_p M longrightarrow T_p M$.

Para este fin, es suficiente, dado un espacio vectorial $latex V$, definir una estructura compleja mediante el endomorfismo $latex J$ en $latex V$ tal que $latex J^2 = -1$, de manera que, la multiplicación escalar por un número complejo queda:

$latex (a+bi) X = aX + bJX$ para $latex X in V$ y $latex a,b in mathbb{R}$.

Una variedad casi compleja no es mas que una variedad real de dimensión par donde tenemos definido un tensor $latex J$ de tipo $latex (1,1)$ (recordar que $latex f: V longrightarrow V$ puede reescribirse como un tensor $latex J:V^* times V longrightarrow mathbb{K}$).

Reciprocamente, dado un espacio vectorial complejo $latex V$ de dimensión compleja $latex n$, si consideramos el endomorfismo lineal:

$latex JX = iX$ para $latex X in V$,

entonces este es una estructura compleja si consideramos $latex V$ como un espacio real $latex 2n$ dimensional.

Identificaremos las tuplas $latex (z^1, ldots, z^n)$ de $latex mathbb{C}^n$ con las $latex 2n$-tuplas $latex (x^1, ldots, x^n, y^1, ldots, y^n)$ de $latex mathbb{R}^{2n}$, donde la estructura compleja de éste último inducida por el primero será la estructura compleja canónica que mapea $latex (x^1, ldots, x^n, y^1, ldots, y^n)$ en $latex (y^1, ldots, y^n, -x^1, ldots, -x^n)$.

Para que una variedad casi compleja sea una variedad compleja necesitamos una condición adicional: que la casi estructura diferenciable sea integrable, es decir, que tenga torsión nula.

Podemos definir una métrica $latex h$ sobre una variedad casi compleja que se llamará métrica Hermítica si es compatible con la  estructura casi compleja:

$latex h(JX,JY) = h(X,Y)$ para cualesquiera $latex X,Y$.

Las métricas Hermíticas sobre variedades complejas (con atlas sobre $latex mathbb{C}^n$) dan lugar a métricas de Riemann sobre la variedad real subyacente (con atlas sobre $latex mathbb{R}^{2n}$). Para que la conexión inducida por esta métrica también sea compatible con la estructura casi compleja, necesitamos que la métrica sea una métrica Kähleriana, es decir, que la $latex 2$-forma fundamental $latex Phi$ asociada a la métrica Hermítica:

$latex Phi(X,Y) = h(X,JY)$ para todos los campos vectoriales $latex X$ e $latex Y$,

sea cerrada ($latex dPhi = 0$).

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Los resultados presentados en este post son incorrectos 🙁 .

El motivo es que, para la definición de los símbolos de Christoffel, estamos asumiendo, de manera implícita, que trabajamos en una base coordenada o base holonómica, que son bases donde el corchete de Lie de cualquier par distinto es cero:

$latex [e_i,e_j] = 0$ si $latex i neq j$.

Pero si la base no es holonómica, entonces la definición incorpora tres términos más, los coeficientes de conmutación de la base, y llamamos a los símbolos coeficientes de la conexión. Si la base es ortonormal, estos reciben el nombre de coeficientes de rotación de Ricci.

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