Corchete de Lie de los elementos de una base no holonómica

Ya comentamos aquí la diferencia entre una base coordenada, por ejemplo $latex {partial_r, partial_theta, partial_varphi }$, y una no coordenada, por ejemplo $latex { partial_r, frac{1}{r} partial_theta, frac{1}{r sin theta} partial_varphi }$, respecto del cálculo de los símbolos de su conexión de Levi-Civita (la derivación covariante libre de torsión derivada de su métrica 🙂 ).

También aquí calculé el corchete de Lie en algunos casos concretos. Recordar de éste dos cuestiones importantes:

  1. el corchete de Lie de campos coordenados es nulo,
  2. se puede demostrar que si $latex g,h in C^infty(M)$ y $latex X,Y in mathfrak{X}(M)$ entonces:

$latex [gX,hY] = gX(h)Y – hY(g)X + gh[X,Y]$.

Vamos a calcularlo ahora para los elementos de la base ortonormal en esféricas, que ya hemos dicho que no es holonómica:

$latex [partial_r, frac{1}{r} partial_theta] = 1 partial_r(frac{1}{r}) partial_theta – frac{1}{r} partial_theta(1) partial_r + 1frac{1}{r sin theta} [partial_r, partial_varphi] = -frac{csc theta}{r^2}$

$latex = -frac{1}{r^2} partial_theta – frac{1}{r} 0 partial_r + frac{1}{r} 0 = -frac{1}{r^2} partial_theta = -[frac{1}{r} partial_theta, partial_r]$,

$latex [partial_r, frac{1}{r sin theta} partial_varphi] = 1 partial_r(frac{1}{r sin theta}) partial_varphi – frac{1}{r sin theta} partial_varphi(1) partial_r + 1frac{1}{r sin theta} [partial_r, partial_varphi] = -frac{csc theta}{r^2} partial_varphi$,

$latex [frac{1}{r} partial_theta, frac{1}{r sin theta} partial_varphi] = frac{1}{r} partial_theta (frac{1}{r sin theta}) partial_varphi – frac{1}{r sin theta} partial_varphi (frac{1}{r}) partial_theta + frac{1}{r}frac{1}{r sin theta} [partial_theta, partial_varphi] = $

$latex = frac{1}{r} frac{-csc theta cot theta}{r} partial_varphi – frac{1}{r sin theta} 0 partial_theta + frac{1}{r}frac{1}{r sin theta} 0 = -frac{csc theta cot theta}{r^2} partial_varphi$.

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