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acción grupo

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Una representación lineal de un grupo $latex G$ es un homomorfismo $latex varphi$ de $latex G$ en el grupo de Lie $latex GL(mathbb{V})$ donde $latex mathbb{V}$ es un espacio vectorial que se puede asociar de manera natural a $latex GL(n,mathbb{K})$ escogiendo una base. Podemos hablar entonces de la acción del grupo $latex G$ sobre el espacio vectorial $latex mathbb{V}$ de la que, con la base, tenemos una representación matricial.

Un homomorfismo $latex varphi$ es una aplicación entre grupos $latex varphi: G longrightarrow G’$ que conserva el producto $latex varphi(ab) = varphi(a)varphi(b)$. Hablamos de automorfismo cuando $latex G = G’$.

Por ejemplo, si consideramos:

$latex varphi: GL(n,mathbb{K}) longrightarrow mathbb{K}_0 ,/, varphi(A) = det A$,

entonces $latex det A$ es un polinomio respecto de las componentes de $latex A$, por lo que es analítica, y es homomorfismo de grupos de Lie ya que:

$latex det AB = det A det B$.

Además, su nucleo son aquellas matrices con $latex det A = 1$, por lo que $latex ker varphi = SL(n,mathbb{K})$, el grupo lineal especial. Si calculamos ahora su diferencial, con las reglas de diferenciacion de un determinante y calculando su valor en la unidad de $latex GL(n,mathbb{K})$ tenemos:

$latex det_* U = tr U$,

por lo que tenemos un homomorfismo del algebra de Lie $latex mathfrak{gl}(n,mathbb{K})$ sobre el álgebra $latex mathbb{K}$ cuyo núcleo, las matrice de traza nula, es el ideal $latex mathfrak{sl}(n,mathbb{K})$.

En el estudio de las representaciones destacan los caracteres de las representaciones. Dada una representación $latex varphi$, el carácter de esta es

$latex chi_varphi(a) = tr varphi(a)$.

que no depende de la base.

Sea $latex G$ un grupo de Lie y $latex mathfrak{g}$ su álgebra de Lie. El conjunto $latex Aut(G)$ de los automorfismos de $latex G$ es un grupo de Lie si $latex G$ es conexo.

Dos elementos $latex x$ y $latex x’$ diremos que son conjugados si:

$latex x’ = a x a^{-1}$.

Los automorfismos internos son aquellos automorfismos que relacionan elementos conjugados. Sus diferenciales se denotan mediante $latex Ad(a)$ con $latex a in G$ y forman un subgrupo de Lie: el grupo adjunto $latex Ad(G) subset Aut(mathfrak{g})$.

Si $latex varphi_*$ es la diferencial del homomorfismo $latex varphi$, dado un campo vectorial $latex u(a)$ invariante por la izquierda en $latex G$ entonces $latex varphi_* u$ es un campo vectorial invariante por la izquierda de $latex G’$, por lo que todo homomorfismo de grupos de Lie genera un homomorfismo de sus álgebras de Lie ya que:

$latex varphi_*[u,v] = [varphi_* u, varphi_* v]$.

Construimos la aplicación:

$latex Phi: Aut(G) longrightarrow Aut(mathfrak{g}) ,/, varphi mapsto varphi_*$

que pone en correspondencia cada automorfismo $latex varphi$ con su diferencial $latex varphi_*$, que es una representación lineal del grupo $latex Aug(G)$ en el álgebra de Lie $latex mathfrak{g}$. Si consideramos la diferencial de su restricción a los automorfismos internos, obtenemos:

$latex Ad: G longrightarrow Aut(mathfrak{g}) ,/, a mapsto Ad(a) = Int_*(a)$,

que es la representación adjunta del grupo $latex G$ en el álgebra $latex mathfrak{g}$ y que, como todos los automorfismos del álgebra, conserva el conmutador:

$latex Ad(a)[u,v] = [Ad(a)u, Ad(a) v]$.

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