condiciones frontera

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Vamos a suponer $latex n=3$ para reducir el tamaño de las matrices.

Empezamos suponiendo que conocemos:

$latex frac{partial}{partial x}|_{0,0,}u, frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u$

$latex frac{partial}{partial y}|_{0,0}u, frac{partial}{partial y}|_{1,0}u$

$latex frac{partial}{partial y}|_{0,2}u, frac{partial}{partial y}|_{1,2}u$

$latex u|_{2,0}, u|_{2,1}, u|_{2,2}$

Discretizamos:

$latex frac{u_{-1,0}-2u_{0,0}+u_{1,0}}{h^2} + frac{u_{0,-1}-2u_{0,0}+u_{0,1}}{h^2} = f_{0,0}$

$latex frac{u_{-1,1}-2u_{0,1}+u_{1,1}}{h^2} + frac{u_{0,0}-2u_{0,1}+u_{0,2}}{h^2} = f_{0,1}$

$latex frac{u_{-1,2}-2u_{0,2}+u_{1,2}}{h^2} + frac{u_{0,1}-2u_{0,2}+u_{0,3}}{h^2} = f_{0,2}$

$latex frac{u_{0,0}-2u_{1,0}+u_{2,0}}{h^2} + frac{u_{1,-1}-2u_{1,0}+u_{1,1}}{h^2} = f_{1,0}$

$latex frac{u_{0,1}-2u_{1,1}+u_{2,1}}{h^2} + frac{u_{1,0}-2u_{1,1}+u_{1,2}}{h^2} = f_{1,1}$

$latex frac{u_{0,2}-2u_{1,2}+u_{2,2}}{h^2} + frac{u_{1,1}-2u_{1,2}+u_{1,3}}{h^2} = f_{1,2}$

En las fronteras, sabemos que:

$latex frac{u_{1,0}-u_{-1,0}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,0}u Leftrightarrow u_{-1,0}=u_{1,0}-2h frac{partial}{partial x}|_{0,0}u$

$latex frac{u_{1,1}-u_{-1,1}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,1}u Leftrightarrow u_{-1,1}=u_{1,1}-2h frac{partial}{partial x}|_{0,1}u$

$latex frac{u_{1,2}-u_{-1,2}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,2}u Leftrightarrow u_{-1,2}=u_{1,2}-2h frac{partial}{partial x}|_{0,2}u$

$latex frac{u_{0,1}-u_{0,-1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{0,0}u Leftrightarrow u_{0,-1}=u_{0,1}-2h frac{partial}{partial y}|_{0,0}u$

$latex frac{u_{1,1}-u_{1,-1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{1,0}u Leftrightarrow u_{1,-1}=u_{1,1}-2h frac{partial}{partial y}|_{1,0}u$

$latex frac{u_{0,3}-u_{0,1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{0,2}u Leftrightarrow u_{0,3}=u_{0,1}+2h frac{partial}{partial y}|_{0,2}u$

$latex frac{u_{1,3}-u_{1,1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{1,2}u Leftrightarrow u_{1,3}=u_{1,1}+2h frac{partial}{partial y}|_{1,2}u$

La matriz queda:

$latex left(
begin{array}{ccc|ccc}
-4 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 \
0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 2 \ hline
1 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -4
end{array}
right)$

Simetrizable como:

$latex left(
begin{array}{ccc|ccc}
-1 & frac{1}{2} & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 \
frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \
0 & frac{1}{2} & -1 & 0 & 0 & frac{1}{2} \ hline
frac{1}{2} & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 1 & -2
end{array}
right)$

Tenemos $latex 6$ ecuaciones con $latex 6$ incognitas y la matriz tiene rango $latex 6$, por lo que la solución es única.

En el segundo caso, suponemos que todas las fronteras son Neumann:

$latex frac{partial}{partial x}|_{0,0}u, frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u$

$latex frac{partial}{partial y}|_{0,0}u, frac{partial}{partial y}|_{1,0}u, frac{partial}{partial y}|_{2,0}u$

$latex frac{partial}{partial y}|_{0,2}u, frac{partial}{partial y}|_{1,2}u, frac{partial}{partial y}|_{2,2}u$

$latex frac{partial}{partial x}|_{2,0}u, frac{partial}{partial x}|_{2,1}u, frac{partial}{partial x}|_{2,2}u$

Si discretizamos:

$latex frac{u_{-1,0}-2u_{0,0}+u_{1,0}}{h^2} + frac{u_{0,-1}-2u_{0,0}+u_{0,1}}{h^2} = f_{0,0}$

$latex frac{u_{-1,1}-2u_{0,1}+u_{1,1}}{h^2} + frac{u_{0,0}-2u_{0,1}+u_{0,2}}{h^2} = f_{0,1}$

$latex frac{u_{-1,2}-2u_{0,2}+u_{1,2}}{h^2} + frac{u_{0,1}-2u_{0,2}+u_{0,3}}{h^2} = f_{0,2}$

$latex frac{u_{0,0}-2u_{1,0}+u_{2,0}}{h^2} + frac{u_{1,-1}-2u_{1,0}+u_{1,1}}{h^2} = f_{1,0}$

$latex frac{u_{0,1}-2u_{1,1}+u_{2,1}}{h^2} + frac{u_{1,0}-2u_{1,1}+u_{1,2}}{h^2} = f_{1,1}$

$latex frac{u_{0,2}-2u_{1,2}+u_{2,2}}{h^2} + frac{u_{1,1}-2u_{1,2}+u_{1,3}}{h^2} = f_{1,2}$

$latex frac{u_{1,0}-2u_{2,0}+u_{3,0}}{h^2} + frac{u_{2,-1}-2u_{2,0}+u_{2,1}}{h^2} = f_{2,0}$

$latex frac{u_{1,1}-2u_{2,1}+u_{3,1}}{h^2} + frac{u_{2,0}-2u_{2,1}+u_{2,2}}{h^2} = f_{2,1}$

$latex frac{u_{1,2}-2u_{2,2}+u_{3,2}}{h^2} + frac{u_{2,1}-2u_{2,2}+u_{2,3}}{h^2} = f_{2,2}$

En las fronteras, sabemos que:

$latex frac{u_{1,0}-u_{-1,0}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,0}u Leftrightarrow u_{-1,0}=u_{1,0}-2h frac{partial}{partial x}|_{0,0}u$

$latex frac{u_{1,1}-u_{-1,1}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,1}u Leftrightarrow u_{-1,1}=u_{1,1}-2h frac{partial}{partial x}|_{0,1}u$

$latex frac{u_{1,2}-u_{-1,2}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,2}u Leftrightarrow u_{-1,2}=u_{1,2}-2h frac{partial}{partial x}|_{0,2}u$

$latex frac{u_{0,1}-u_{0,-1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{0,0}u Leftrightarrow u_{0,-1}=u_{0,1}-2h frac{partial}{partial y}|_{0,0}u$

$latex frac{u_{1,1}-u_{1,-1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{1,0}u Leftrightarrow u_{1,-1}=u_{1,1}-2h frac{partial}{partial y}|_{1,0}u$

$latex frac{u_{2,1}-u_{2,-1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{2,0}u Leftrightarrow u_{2,-1}=u_{2,1}-2h frac{partial}{partial y}|_{2,0}u$

$latex frac{u_{0,3}-u_{0,1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{0,2}u Leftrightarrow u_{0,3}=u_{0,1}+2h frac{partial}{partial y}|_{0,2}u$

$latex frac{u_{1,3}-u_{1,1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{1,2}u Leftrightarrow u_{1,3}=u_{1,1}+2h frac{partial}{partial y}|_{1,2}u$

$latex frac{u_{2,3}-u_{2,1}}{2h} = frac{partial}{partial y}|_{2,2}u Leftrightarrow u_{2,3}=u_{2,1}+2h frac{partial}{partial y}|_{2,2}u$

$latex frac{u_{3,0}-u_{1,0}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{2,0}u Leftrightarrow u_{3,0}=u_{1,0}+2h frac{partial}{partial x}|_{2,0}u$

$latex frac{u_{3,1}-u_{1,1}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{2,1}u Leftrightarrow u_{3,1}=u_{1,1}+2h frac{partial}{partial x}|_{2,1}u$

$latex frac{u_{3,2}-u_{1,2}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{2,2}u Leftrightarrow u_{3,2}=u_{1,2}+2h frac{partial}{partial x}|_{2,2}u$

La matriz, por tanto, queda:

$latex text{A6}=left(
begin{array}{ccc|ccc|ccc}
-4 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & -4
end{array}
right)$

Simetrizable como:

$latex text{A6s}=left(
begin{array}{ccc|ccc|ccc}
-1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1/2 & -2 & 1/2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1/2 & -1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \ hline
1/2 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1/2 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1/2 \ hline
0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & -1 & 1/2 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -2 & 1/2 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & -1
end{array}
right)$

En este caso, tenemos $latex 9$ ecuaciones con $latex 9$ incognitas pero la matriz tiene rango $latex 8$, por lo que tenemos infinitas soluciones. Hay que conservar.

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Suponemos $latex Delta u = f$ en $latex 2D$, es decir,

$latex frac{partial^2}{partial x^2}u(x,y) + frac{partial^2}{partial y^2}u(x,y) = f(x,y)$.

Miraremos como queda la matriz del sistema al discretizar, como simetrizarla y su rango en tres casos: condición Neuman respecto $latex x$ en una frontera, condición Neumann respecto $latex y$ en una frontera y condición Neumann respecto $latex x$ e $latex y$ en dos fronteras.

Discretizamos con $latex n=5$. Si todas las condiciones fueran Dirichlet, la matriz quedaría:

$latex A_1 = left(
begin{array}{ccc|ccc|ccc}
-4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4
end{array}
right) $.

En este caso, $latex A_1 in mathcal{M}(9 times 9)$ y simétrica, lo que permite tratar de manera conjunta los problemas de existencia y unicidad de solución. Si calculamos su rango obtenemos $latex 9$ por lo que existe solución y es única. Desde el punto de vista algebraico, es el punto $latex (u_{1,1},u_{1,2},u_{1,3},u_{2,1},u_{2,2},u_{2,3},u_{3,1},u_{3,2},u_{3,3})$ intersección de $latex 9$ hiperplanos

$latex -4x_{1,1} + x_{1,2} + x_{2,1} = f_{1,1}$,

$latex x_{1,1}-4x_{1,2}+x_{1,3} + x_{2,2} = f_{1,2}$,

$latex ldots$

en el espacio $latex mathbb{R}^9$.

Si condiremos conocidos $latex frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u, frac{partial}{partial x}|_{0,3}u$ en lugar de $latex u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3}$ ($latex u_{0,0}$ y $latex u_{0,4}$ son conocidos por las otras fronteras que son Dirichelt), tenemos:

$latex A_2 = left(
begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}
-4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$

de manera que $latex A_2 in mathcal{M}(12 times 12)$ y no es simétrica. Sin embargo es facilmente simetrizable dividiendo las tres primera filas (hacemos lo mismo en el termino independiente) por $latex 2$:

$latex A_2 = left(
begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}
-2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$

Tenemos $latex 12$ incognitas ($latex u_{i,j}$ con $latex i=0..3$ y $latex j=1..3$) y el rango de $latex A_2$ es $latex 12$, por lo que la solución, nuevamente, es única.

Para el caso en el que conocemos $latex frac{partial}{partial y}|_{1,0}u, frac{partial}{partial y}|_{2,0}u, frac{partial}{partial y}|_{3,0}u$ en lugar de $latex u_{1,0}, u_{2,0}, u_{3,0}$, si el orden que tomamos es el contrario al tomado anteriormente llegaremos a la misma estructura de antes. Sin embargo, como en el siguiente caso nos veremos obligados a seleccionar uno de los dos, vamos a ver como queda este caso utilizando el mismo orden que antes:

$latex A_3 = left(
begin{array}{cccc|cccc|cccc}
-4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$

que podemos simetrizar facilmente y queda:

$latex A_3 = left(
begin{array}{cccc|cccc|cccc}
-2 & 1 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$

Tenemos $latex 12$ ecuaciones con $latex 12$ incognitas ($latex u_{i,j}$ con $latex i=1..3$ y $latex j=0..3$) y el rango de $latex A_3$ es $latex 12$, por lo que la solución es única.

Finalmente, suponemos conocidos $latex frac{partial}{partial x}|_{0,0}u, frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u, frac{partial}{partial x}|_{0,3}u, frac{partial}{partial y}|_{0,0}u, frac{partial}{partial y}|_{1,0}u, frac{partial}{partial y}|_{2,0}u, frac{partial}{partial y}|_{3,0}u$ que incorpora $latex 7$ ecuaciones mas a las $latex 9$ que ya teniamos por lo que nos queda una matrix $latex A_4 in mathcal{M}(16 times 16)$:

$latex left(
begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc}
-4 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$,

simetrizable dividiendo la fila correspondiente a $latex u_{0,0}$ por $latex 4$, y las correspondientes a $latex u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3}, u_{1,0},u_{2,0}, u_{3,0}$  por $latex 2$, quedando:

$latex left(
begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc}
-1 & frac{1}{2} & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \ hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4
end{array}
right)$,

con lo que el sistema vuelve a ser compatible y determinado.

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Suponemos $latex n=5$. En el caso de tener todas las fronteras con condiciones Dirichlet:

$latex frac{u_{0,1} -2u_{1,1} + u_{2,1}}{h^2} + frac{u_{1,0} -2u_{1,1} + u_{1,2}}{h^2} = f_{1,1}$ para $latex i,j=1,1$,

$latex frac{u_{0,2} -2u_{1,2} + u_{2,2}}{h^2} + frac{u_{1,1} -2u_{1,2} + u_{1,3}}{h^2} = f_{1,2}$ para $latex i,j=1,2$,

$latex frac{u_{0,3} -2u_{1,3} + u_{2,3}}{h^2} + frac{u_{1,2} -2u_{1,3} + u_{1,4}}{h^2} = f_{1,3}$ para $latex i,j=1,3$,

$latex frac{u_{1,1} -2u_{2,1} + u_{3,1}}{h^2} + frac{u_{2,0} -2u_{2,1} + u_{2,2}}{h^2} = f_{2,1}$ para $latex i,j=2,1$,

$latex frac{u_{1,2} -2u_{2,2} + u_{3,2}}{h^2} + frac{u_{2,1} -2u_{2,2} + u_{2,3}}{h^2} = f_{2,2}$ para $latex i,j=2,2$,

$latex frac{u_{1,3} -2u_{2,3} + u_{3,3}}{h^2} + frac{u_{2,2} -2u_{2,3} + u_{2,4}}{h^2} = f_{2,3}$ para $latex i,j=2,3$,

$latex frac{u_{2,1} -2u_{3,1} + u_{4,1}}{h^2} + frac{u_{3,0} -2u_{3,1} + u_{3,2}}{h^2} = f_{3,1}$ para $latex i,j=3,1$,

$latex frac{u_{2,2} -2u_{3,2} + u_{4,2}}{h^2} + frac{u_{3,1} -2u_{3,2} + u_{3,3}}{h^2} = f_{3,2}$ para $latex i,j=3,2$,

$latex frac{u_{2,3} -2u_{3,3} + u_{4,3}}{h^2} + frac{u_{3,2} -2u_{3,3} + u_{3,4}}{h^2} = f_{3,3}$ para $latex i,j=3,3$,

de donde:

$latex begin{bmatrix} f_{1,1} -frac{u_{1,0} + u_{0,1}}{h^2} & f_{1,2} – frac{u_{0,2}}{h^2} & f_{1,3} – frac{u_{0,3}+u_{1,4}}{h^2} \ f_{2,1} -frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} – frac{u_{2,4}}{h^2} \ f_{3,1} – frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} – frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} – frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} end{bmatrix}$

En forma de matriz por bloques (para pensar en la simetrización):

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 end{bmatrix} u_{i,j} = begin{bmatrix} f_{1,1} -frac{u_{1,0} + u_{0,1}}{h^2} \ f_{1,2} – frac{u_{0,2}}{h^2} \ f_{1,3} – frac{u_{0,3}+u_{1,4}}{h^2} \ f_{2,1} -frac{u_{2,0}}{h^2} \ f_{2,2} \ f_{2,3} – frac{u_{2,4}}{h^2} \ f_{3,1} – frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} \ f_{3,2} – frac{u_{4,2}}{h^2} \ f_{3,3} – frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} end{bmatrix}$

¿Qué pasa ahora si en lugar de conocer $latex u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3}$ conocemos $latex frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u, frac{partial}{partial x}u|_{0,3}$? Necesitamos tres ecuaciones mas:

$latex frac{u_{-1,1} -2u_{0,1} + u_{1,1}}{h^2} + frac{u_{0,0} -2u_{0,1} + u_{0,2}}{h^2} = f_{0,1}$ para $latex i,j=0,1$

$latex frac{u_{-1,2} -2u_{0,2} + u_{1,2}}{h^2} + frac{u_{0,1} -2u_{0,2} + u_{0,3}}{h^2} = f_{0,2}$ para $latex i,j=0,2$

$latex frac{u_{-1,3} -2u_{0,3} + u_{1,3}}{h^2} + frac{u_{0,2} -2u_{0,3} + u_{0,4}}{h^2} = f_{0,3}$ para $latex i,j=0,3$

y

$latex frac{u_{1,1}-u_{-1,1}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,1}u Leftrightarrow u_{-1,1} = u_{1,1} – 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,1}u$

$latex frac{u_{1,2}-u_{-1,2}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,2}u Leftrightarrow u_{-1,2} = u_{1,2} – 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,2}u$

$latex frac{u_{1,3}-u_{-1,3}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,3}u Leftrightarrow u_{-1,3} = u_{1,3} – 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,3}u$

por lo que:

$latex begin{bmatrix} f_{0,1} +frac{2h , frac{partial}{partial x}|_{0,1}u – u_{0,0}}{h^2} & f_{0,2} + frac{2h , frac{partial}{partial x}|_{0,2}u}{h^2} & f_{0,3} + frac{ 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,3}u – u_{0,4}}{h^2} \ f_{1,1} -frac{u_{1,0}}{h^2} & f_{1,2} & f_{1,3} – frac{u_{1,4}}{h^2} \ f_{2,1} -frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} – frac{u_{2,4}}{h^2} \ f_{3,1} – frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} – frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} – frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} end{bmatrix}$

La matriz queda:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & ldots \ 1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & ldots \ 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 2 & ldots \ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & ldots \ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & ldots \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & ldots \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end{bmatrix} $

Que podemos simetrizar:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & ldots \ frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & ldots \ 0 & frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 1 & ldots \ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & ldots \ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & ldots \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & ldots \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end{bmatrix} $

con:

$latex begin{bmatrix} frac{1}{2}(f_{0,1} +frac{2h , frac{partial}{partial x}|_{0,1}u – u_{0,0}}{h^2}) & frac{1}{2}(f_{0,2} + frac{2h , frac{partial}{partial x}|_{0,2}u}{h^2}) & frac{1}{2}(f_{0,3} + frac{ 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,3}u – u_{0,4}}{h^2}) \ f_{1,1} -frac{u_{1,0}}{h^2} & f_{1,2} & f_{1,3} – frac{u_{1,4}}{h^2} \ f_{2,1} -frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} – frac{u_{2,4}}{h^2} \ f_{3,1} – frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} – frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} – frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} end{bmatrix}$

Si las condiciones las tenemos sobre la derivada en el extremo opuesto llegaremos a la misma estructura pero en la parte inferior de la frontera y de la matriz.

Si las condiciones las tenemos sobre derivadas en la otra dirección, podemos llegar también a estas estructuras tomando el orden de variables donde tiene prioridad la variable contraria a la tomada en los casos anteriores.

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En el post anterior hablamos sobre condiciones de frontera y su transferencia entre mallas pero no comentamos en el caso de que las condición haga referencia al valor de la derivada y no al de la función: condición de Neumann.

En $latex 1D$ supongamos que ahora tenemos $latex frac{partial^2}{partial x^2}u = f$ en $latex [a,b]$ con $latex u(a)=u_a$ pero $latex frac{partial}{partial x} = du_b$. Suponiendo de nuevo $latex n=8$, las ecuaciones nos quedan:

$latex frac{u_0 -2u_1 + u_2}{h^2} = f_1$ para $latex i=1$,

$latex frac{u_1 -2u_2 + u_3}{h^2} = f_2$ para $latex i=2$,

$latex frac{u_2 -2u_3 + u_4}{h^2} = f_3$ para $latex i=3$,

$latex frac{u_3 -2u_4 + u_5}{h^2} = f_4$ para $latex i=4$,

$latex frac{u_4 -2u_5 + u_6}{h^2} = f_5$ para $latex i=5$,

$latex frac{u_5 -2u_6 + u_7}{h^2} = f_6$ para $latex i=6$,

$latex frac{u_6 -2u_7 + u_8}{h^2} = f_7$ para $latex i=7$,

La única diferencia con respecto al caso anterior es que, en la primera ecuación, desconocemos el valor de $latex u_0$ pero  conocemos el de su primera derivada. Sabemos que:

$latex frac{u_1 – u_{-1}}{2h} = frac{d}{dx}u_{0} = du_0$,

que, despejando, nos da:

$latex u_1 – u_{-1} = 2h , du_0 Leftrightarrow u_{-1} = u_1 – 2h , du_0$,

Como tenemos una incognita mas por determinar, añadimos una nueva ecuación:

$latex frac{u_{-1} -2u_0 + u_1}{h^2} = f_0$ para $latex i=0$,

donde reescribimos el valor de $latex u_{-1}$ según acabamos de determinar:

$latex frac{ u_1 – 2h , du_0 -2u_0 + u_1}{h^2} = frac{ -2u_0 + 2u_1 – 2h , du_0}{h^2} = f_0$.

Por lo tanto,  en forma matricial tenemos:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 end{bmatrix} begin{bmatrix} u_0 \ u_1 \ u_2 \ u_3 \ u_4 \ u_5 \ u_6 \u_7 end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{1}{2} (f_0 + frac{2h , du_0}{h^2}) \ f_1 \ f_2 \ f_3 \f_4 \ f_5 \ f_6 \ f_7 – frac{u_8}{h^2}end{bmatrix}$.

De la misma manera, en el caso por el otro extremo, llegariamos a:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 end{bmatrix} begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 \ u_4 \ u_5 \ u_6 \ u_7 \u_8 end{bmatrix} = begin{bmatrix} f_1 – frac{u_0}{h^2} \ f_2 \ f_3 \ f_4 \f_5 \ f_6 \ f_7 \ frac{1}{2}(f_8 + frac{2h , du_8}{h^2})end{bmatrix}$.

En resumen, básicamente hay que hacer dos trabajos: en primer lugar, construir el termino independiente de manera apropiada para incorporar la información de las fronteras; en segundo, llegados a los extremos, escoger entre $latex -2$ y $latex -1$ en la diagonal en función de si es Dirichlet o Neumann.

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