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coordenadas esféricas

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Aunque siempre podemos hacer cambios de coordenadas, vamos a ver como quedan los esquemas de diferencias finitas en sistemas no rectangulares: coordenadas cilíndricas, $latex (rho,phi, z)$, y coordenadas esféricas, $latex (r,theta,phi)$. Nos centraremos en la ecuación de Poisson aunque la técnica se puede extender de manera inmediata a cualquier tipo de PDE.

En coordenadas cilíndricas podemos escribir:

$latex nabla cdot nabla u = frac{partial^2}{partial rho^2}u + frac{1}{rho}frac{partial}{partial rho}u + frac{1}{rho^2}frac{partial^2}{partial phi^2}u + frac{partial^2}{partial z^2} u = f$,

que podemos discretizar como:

$latex frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{(Delta rho)^2} + $

$latex + frac{1}{rho_{i,j,k}}frac{u_{i+1,j,k}-u_{i-1,j,k}}{2Delta rho} + $

$latex + frac{1}{rho_{i,j,k}^2} frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{(Delta phi)^2} + $

$latex + frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{(Delta z)^2} = f_{i,j,k}$

En coordenadas esféricas tenemos:

$latex nabla cdot nabla u = frac{partial^2}{partial r^2}u + frac{2}{r} frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2}frac{partial^2}{partial theta^2}u + frac{1}{r^2sintheta} frac{partial}{partial theta}u + frac{1}{r^2 sin^2theta} frac{partial^2}{partial phi^2}u = f$

que podemos discretizar como:

$latex frac{u_{i-1,j,k-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}}{(Delta r)^2} + $

$latex + frac{2}{r_{i,j,k}} frac{u_{i+1,j,k}+u_{i-1,j,k}}{2Delta r} + $

$latex + frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{(r_{i,j,k} Delta theta)^2} + $

$latex + frac{1}{r_{i,j,k}^2 sin phi_{i,j,k}} frac{u_{i,j+1,k}-u_{i,j-1,k}}{2 Delta phi} + $

$latex + frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{(r_{i,j,k} sin phi_{i,j,k} Delta phi)^2} = f_{i,j,k}$

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En $latex n$ dimensiones, el operador Laplaciano queda como:

$latex Delta u= sum_{i=1}^n frac{partial^2}{partial x_i^2}u$

en coordenadas cartesianas, y como:

$latex Delta u = frac{partial}{partial r^2}u + frac{n-1}{r}frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2}Delta_{S^{n-1}}u$

en esféricas, donde $latex Delta_{S^{n-1}}$ es el operador de Laplace-Beltrami, una generalización del Laplaciano para funciones definidas sobre variedades,  en la $latex (n-1)$-esfera ($latex S^{n-1}$), el operador Laplaciano esférico.

Un punto es un tensor sin índices, un vector es un tensor con $latex 1$ índice, una matriz es un tensor con $latex 2$ índices, etc. Cuando discreticemos una PDE en $latex n$ dimensiones, llegaremos a un tensor con $latex n$ índices y $latex 2n$ tensores con $latex n-1$ índices para las condiciones en las fronteras.

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