curvatura constante

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Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular.

El tensor de curvatura de Riemann:

$latex R^{a}_{bcd} = partial_c Gamma^{a}_{bd} – partial_d Gamma^{a}_{bc} + Gamma^{a}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{a}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$,

el tensor de Ricci:

$latex R_{ab} = R^{c}_{acb} = partial_c Gamma^{c}_{bd} – partial_d Gamma^{c}_{bc} + Gamma^{c}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{c}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$,

la curvatura escalar:

$latex R = R^{a}_{a}$

y el tensor de Weyl:

$latex C_{abcd} = R_{abcd} – $

$latex – frac{1}{2}(g_{ac}R_{bd}-g_{ad}R_{bc}-g_{bc}R_{ad}+g_{bd}R_{ac}) + frac{1}{6}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) R$

Empezamos con la esfera $latex S^2(frac{1}{r^2})$. Recordamos los símbolos de Christoffel que encontramos:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta} = 0, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta} = 0, Gamma^{theta}_{varphi varphi} = -sin theta cos theta$,

$latex Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta} = cot theta, Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = 0$

(Escribir ahora las ecuaciones de las geodésicas es inmediato: una equacion por variable contravariante donde aparece la segunda derivada de esta y un termino para cada símbolo no nulo de la fila con la primera derivada de las variables covariantes:

$latex begin{cases} ddot{theta} – dot{varphi}^2 sin theta cos theta = 0 \ ddot{varphi} + 2 dot{theta} dot{varphi} cot theta = 0 end{cases}$

que coincide con lo que calculamos en este post de otra manera sin necesidad de los símbolos de Christoffel).

Tenemos cuatro índices y cada uno puede tomar dos valores, pues estamos trabajando con superificies, variedades de dos dimensiones, por lo que tenemos un tensor de con 16 componentes (en el caso de estar trabajando con una variedad de cuatro dimensiones como es espacio-tiempo, el tensor de Riemann tiene 256 componentes..). Aunque existe una serie de propiedades que minimizan el número de componentes de $latex n^4$ a $latex frac{1}{12}n^2(n^2-1)$ (simetrías, antisimetrías e identidades de Bianchi) vamos a calcularlos todos aquí para practicar.

$latex R^{theta}_{ theta theta theta} = partial_theta Gamma^{theta}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta theta varphi} = partial_theta Gamma^{theta}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta varphi theta} = partial_varphi Gamma^{theta}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta varphi varphi} = partial_varphi Gamma^{theta}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 0$

$latex R^{theta}_{ varphi theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ varphi theta varphi} = $

$latex = partial_theta Gamma^{theta}_{varphi varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{varphi theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{varphi varphi} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{varphi varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{varphi theta} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{varphi theta} = sin^2 theta$

$latex R^{theta}_{ varphi varphi theta} = $

$latex = partial_varphi Gamma^{theta}_{varphi theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{varphi varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{varphi theta} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{varphi theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{varphi varphi} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = -sin^2 theta$

$latex R^{theta}_{varphi varphi varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ theta theta theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{ theta theta varphi} = partial_theta Gamma^{varphi}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{varphi}_{theta theta} + Gamma^{varphi}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{varphi}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{varphi}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{varphi}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} = -1$

$latex R^{varphi}_{ theta varphi theta} = partial_varphi Gamma^{varphi}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{varphi}_{theta varphi} + Gamma^{varphi}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{varphi}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{varphi}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{varphi}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 1$

$latex R^{varphi}_{ theta varphi varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi theta theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi theta varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi varphi theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = 0$

Continuamos con el tensor de Ricci. Podemos calcularlo a partir de la formula o a partir del tensor de Riemann, que ya lo tenemos. Lo haremos de esta última manera:

$latex R_{theta theta} = R^{a}_{theta a theta} = R^{theta}_{theta theta theta} + R^{varphi}_{theta varphi theta} = 1$

$latex R_{theta varphi} = R^{a}_{theta a varphi} = R^{theta}_{theta theta varphi} + R^{varphi}_{theta varphi varphi} = 0$

$latex R_{varphi theta} = R^{a}_{varphi a theta} = R^{theta}_{varphi theta theta} + R^{varphi}_{varphi varphi theta} = 0$

$latex R_{varphi varphi} = R^{a}_{varphi a varphi} = R^{theta}_{varphi theta varphi} + R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = sin^2 theta$.

Finalmente, calculamos la curvatura escalar:

$latex g^{cb}R_{ab} = R^c_a$,

$latex R^a_a = g^{theta theta}R_{theta theta} + g^{theta varphi}R_{theta varphi} + g^{varphi theta}R_{varphi theta} + g^{varphi varphi}R_{varphi varphi} = frac{1}{r^2}1+frac{1}{r^2 sin^2 theta} sin^2 = frac{2}{r^2}$,

que es, tal y como esperabamos, la mitad de la curvatura de Gauss ($latex R = 2K$).

Seguimos ahora con la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{r^2})$. Los símbolos de Christoffel eran:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta} = -csc theta sec theta, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta} = 0, Gamma^{theta}_{varphi varphi} = -sin^2 theta tan theta$,

$latex Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta} = cot theta, Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = 0$

(Aprovechamos otra vez, conocidos los símbolos de Christoffel, para escribir las ecuaciones de las geodésicas:

$latex begin{cases} ddot{theta} – dot{theta}^2 csc theta sec theta – dot{varphi}^2 sin^2 theta tan theta = 0 \ ddot{varphi} + 2 dot{theta} dot{varphi} cot theta = 0 end{cases}$

que debería coincidir con la de aquí).

Como es bastante laborioso, aquí otro programita, esta vez para el tensor de Riemann:

tensorRiemann

y los resultados:

tensorRiemannPseudoesfera

por tanto, Ricci es:

$latex R_{theta theta} = R^{a}_{theta a theta} = R^{theta}_{theta theta theta} + R^{varphi}_{theta varphi theta} = – cot^2 theta$

$latex R_{theta varphi} = R^{a}_{theta a varphi} = R^{theta}_{theta theta varphi} + R^{varphi}_{theta varphi varphi} = 0$

$latex R_{varphi theta} = R^{a}_{varphi a theta} = R^{theta}_{varphi theta theta} + R^{varphi}_{varphi varphi theta} = 0$

$latex R_{varphi varphi} = R^{a}_{varphi a varphi} = R^{theta}_{varphi theta varphi} + R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = -sin^2 theta$.

y la curvatura escalar:

$latex R=R^a_a = g^{theta theta}R_{theta theta} + g^{theta varphi}R_{theta varphi} + g^{varphi theta}R_{varphi theta} + g^{varphi varphi}R_{varphi varphi} = $

$latex = frac{1}{r^2 cot^2 theta}(-cot^2 theta)+frac{1}{r^2 sin^2 theta} (-sin^2) = -frac{2}{r^2}$,

que vuelve a ser $latex R = 2K$. Aquí es resultado con dos nuevas funciones programadas para el tensor de Ricci y la curvatura escalar:

RiemannRicciRH2

Por último, para $latex mathbb{R}^2$ todo es $latex 0$.

Finalmente una gráfica de todas las curvaturas escalares que hemos encontrado:

curvaturaEscalar2D

Los colores son los mismos que los de las superficie correspondiente de este post y añadiendo en rojo la curvatura escalar del toro. Recordar que, en superficies, la curvatura escalar es el doble de la curvatura Gauss o curvatura intrínseca y esta, a su vez, es el producto de las dos curvaturas principales.

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Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:

$latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$.

Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:

$latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin varphi, sin theta)$

y la métrica inducida medainte el pullback era:

$latex f^*h: a^2 dtheta^2 + a^2 sin^2 theta dvarphi^2$

Tenemos que calcular:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta}, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta}, Gamma^{theta}_{varphi varphi}, Gamma^{varphi}_{theta theta}, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta}, Gamma^{varphi}_{varphi varphi}$

Calculamos, por ejemplo, $latex Gamma^{1}_{22} = Gamma^{theta}_{varphi varphi}$:

$latex Gamma_{varphi varphi}^theta = frac{1}{2} { frac{partial}{partial dvarphi}g_{varphi theta} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi theta} + frac{partial}{partial theta}g_{varphi varphi} } g^{theta theta} + frac{1}{2} { frac{partial}{partial dvarphi}g_{varphi varphi} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi varphi} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi varphi} } g^{varphi theta}$,

que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:

$latex Gamma^{theta}_{varphi varphi} = frac{1}{2} (frac{partial}{partial theta} g_{varphi varphi}) g^{theta theta} = -frac{1}{2 a^2} a^2 , 2 sin theta cos theta = – sin theta cos theta$.

Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:


 Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
   For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
     For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
       r = 0;
       For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
         r = r + FullSimplify[
                              1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
                              (D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] + 
                               D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] - 
                               D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
                 ]
       ];
       Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
     ]
   ]
 ]
 

Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre $latex g$ de dimensión $latex 2 times 2$ con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1 y u_2)

$latex g={{a{}^{wedge}2,0},{0,a{}^{wedge}2*text{Sin}[text{u1}]{}^{wedge}2}}$

y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:

$latex text{Simbolos}[]$

y obtenemos:

$latex text{Gamma[}1,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,1,2text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,1text{] = }0$

$latex Gamma^{1}_{22} = text{Gamma[}1,2,2text{] = }-text{Cos}[text{u1}] text{Sin}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,2text{] = }0$

De la misma manera, para la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$ tenemos:

$latex g={{a{}^{wedge}2*text{Cot}[text{u1}]{}^{wedge}2,0},{0,a{}^{wedge}2*text{Sin}[text{u1}]{}^{wedge}2}}$

que nos da, al ejecutar $latex text{Simbolos}[]$,

$latex text{Gamma[}1,1,1text{] = }-text{Csc}[text{u1}] text{Sec}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}1,1,2text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,2text{] = }-text{Sin}[text{u1}]^2 text{Tan}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,1text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,2text{] = }0$.

Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para $latex mathbb{R}^2$ obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son $latex 0$, de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.

Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo $latex T^a_b$, queda:

$latex nabla_c T^a_b = partial_c T^a_b + Gamma^a_{dc} T^d_b – Gamma^d_bc T^a_d$,

que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.

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Sigamos con lo que empezamos en el post anterior.

Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann $latex (S^2(1/a^2),g)$ con

$latex g = left(
begin{array}{cc}
a^2 & 0 \
0 & a^2 sin^2 theta
end{array}
right)$

y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica dada, es decir, como realizar la derivación covariante o transporte paralelo, como encontrar las geodésicas, la calcular la curvatura intrínseca, etc.

Para empezar, dada una curva $latex gamma:I longrightarrow M$ diferenciable, $latex forall a,b in I$, $latex a < b$, se define la longitud del segmento de curva $latex alpha$, desde $latex a$ hasta $latex b$, como:

$latex L [gamma]_a^b=int_a^b || gamma’||dt$ con $latex ||gamma’|| = sqrt{g(gamma’,gamma’)}$,

es decir:

$latex L [gamma]_a^b=int_a^b sqrt{g_{ij} gamma’^i gamma’^j} dt$

En este primer caso que nos ocupa, vamos a medir la longitud de medio meridiano, $latex varphi=0$ ,parametrizado sobre la esfera como $latex gamma(theta,0)=a(sin theta, 0, cos theta)$ con $latex theta in ]0,pi[$. Pero hay que realizar los cálculos de manera intrínseca, por lo que la curva que nos interesa es $latex gamma(theta)=(theta,0)$ con $latex theta in ]0,pi[$. Calculamos $latex dot{gamma}(t) = (1,0)$, de manera que $latex dot{gamma}^1(t) = 1$ y  $latex dot{gamma}^2(t)=0$. Entonces:

$latex L[gamma]_0^{pi} = int_0^{pi} sqrt{sum_{i=0}^1 sum_{j=0}^1 g_{ij} dot{gamma}^i(t) dot{gamma}^j(t)} dt = int_0^{pi} sqrt{ a^2 } dt = a int_0^{pi} dt = a pi$

De la misma manera, para los habitantes de la hiperesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$, pueden medir la longitud de una sección apropiada (recordar que tenemos comportamiento asintótico en $latex 0$ y cambio discontínuo de la normal a la superfície en $latex theta = frac{pi}{2}$) de su meridiano $latex 0$ sabiendo su parametrización en coordenadas $latex (theta, phi)$ sobre la hiperesfera y conociendo la métrica de esta variedad en donde viven:

$latex gamma(theta,varphi) = (theta, 0)$ con $latex theta in ]b,c[$

$latex g = left(
begin{array}{cc}
a^2 cot^2 theta & 0 \
0 & a^2 sin^2 theta
end{array}
right)$

de manera que, procediendo como antes:

$latex L[gamma]_b^c = a int_b^{c} sqrt{cot^2 theta} dtheta = a sqrt{cot^2 theta} tan theta ln[sin theta]|_{b}^{c}$.

Por ejemplo, para $latex a=1$, $latex b = frac{pi}{4}$ y $latex c = frac{pi}{2}$ nos queda $latex L[gamma]_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} = frac{ln{2}}{2}$ y para $latex L[gamma]_{frac{pi}{8}}^{frac{pi}{2}} = -ln{sin frac{pi}{8}}$.

¿Necesitamos calcular la conexión de Levi-Civita $latex nabla$, que es la única libre de torsión (dados dos campos vectoriales $latex X, Y$, como $latex T(X,Y) = nabla_X Y – nabla_Y X – [X,Y]$, lo que tenemos es que $latex nabla_X Y – nabla_Y X = [X,Y]$) que preserva la métrica ($latex nabla_g = 0$) para calcular las geodésicas?

Pues no.  En el libro Geometría Diferencial y Relatividad de J. Girbau encontramos una receta del procedimiento para calcular las geodésicas basada en, a grandes rasgos:

  • Llamamos geodésica a toda curva $latex x(t)$ tal que $latex nabla_{dot{x(t)}} dot{x(t)} = 0$.
  • En coordenadas, $latex nabla_X Y = ( X(Y^k) + Y^j X^i Gamma_{ij}^k) e_k$.
  • En una carta local $latex (U,x^i)$, le ecuación $latex nabla_{dot{x(t)}} dot{x(t)}$ se escribe $latex frac{d^2 x^i}{dt^2}+Gamma_{jk}^i frac{dx^j}{dt} frac{dx^k}{dt} = 0$ donde $latex Gamma_{jk}^i$ son los símbolos de Christoffel relativos a la base $latex partial_{x^i}$.
  • “muchos matemáticos alejados del mundo de la física o del cálculo de variaciones en su formulación primitiva de Euler”, como es mi caso :-), “tienen la firme convicción de que para escribir explícitamente las ecuaciones de las geodésicas de una determinada métrica de Riemann es indispensable haber calculado previamente la derivada covariante $latex nabla$ asociada a la métrica, ya sea por sus símbolos de Christoffel o per algun otro método equivalente. Nada mas lejos de la realidad”.
  • Tendremos la métrica $latex g$ que depende de $latex x^1,ldots,x^n$. Escribimos, formalmente, la función de $latex 2n$ variables $latex x^i, dot{x}^i$ que volvemos a denotar $latex g$ abusando de la notación. Entonces, con la convención $latex frac{d}{dt}x^i = dot{x}^i$ y $latex frac{d}{dt}dot{x}^i = ddot{x}^i$, las ecuaciones de las geodésicas son: $latex frac{d}{dt} frac{partial}{partial dot{x}^i} g = frac{partial}{partial x ^i} g $.

Vamos a aplicarlo, en primer lugar, a la esfera $latex S^2(frac{1}{a^2})$. Como:

$latex g = a^2 dtheta otimes dtheta + a^2 sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$,

entonces:

$latex g(theta,varphi,dot{theta},dot{varphi}) = a^2 dot{theta}^2+ a^2 sin^2 theta dot{varphi}^2$,

de manera que:

$latex partial_theta g = a^2 , 2 sin theta cos theta dot{varphi}^2$

$latex partial_varphi g = 0$

$latex partial_{dot{theta}} g = a^2 , 2 dot{theta}$ y entoces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{theta}} g = a^2 2 ddot{theta}$

$latex partial_{dot{varphi}} g = a^2 sin^2 theta 2 dot{varphi} $ y entonces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{varphi}} g = 2 a^2 sin theta (cos theta dot{theta} dot{varphi} + sin theta ddot{varphi})$.

Así pués, las ecuaciones de las geodésicas son:

$latex begin{cases}ddot{theta} – dot{varphi}^2 sin theta cos theta = 0 \ sin theta (2 dot{theta} dot{varphi} cos theta + ddot{varphi} sin theta) = 0 end{cases}$

En el caso de la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$ tenemos:

$latex g = a^2 cot^2 theta dtheta otimes dtheta + a^2 sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$,

entonces:

$latex g(theta,varphi,dot{theta},dot{varphi}) = a^2 cot^2 theta dot{theta}^2+ a^2 sin^2 theta dot{varphi}^2$,

de manera que:

$latex partial_theta g = 2 a^2 (-dot{theta}^2 cot theta csc^2 theta + dot{varphi}^2 cos theta sin theta )$

$latex partial_varphi g = 0$

$latex partial_{dot{theta}} g = 2 a^2 dot{theta} cot^2 theta$ y entoces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{theta}} g = 2 a^2 cot theta (ddot{theta} cot theta – 2 dot{theta}^2 csc^2 theta )$

$latex partial_{dot{varphi}} g = 2 a^2 dot{varphi} sin^2 theta$ y entonces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{varphi}} g =2 a^2 sin theta (ddot{varphi} sin theta + 2 dot{theta} dot{varphi} cos theta )$.

Así pues, las geodésicas cumplen:

$latex begin{cases} cot theta (ddot{theta} cot theta – 2 dot{theta}^2 csc^2 theta) – (-dot{theta}^2 cot theta csc^2 theta + dot{varphi}^2 cos theta sin theta ) = 0 \ sin theta (ddot{varphi} sin theta + 2 dot{theta} dot{varphi} cos theta ) = 0 end{cases}$

Para terminar, procediento de la misma manera para $latex mathbb{R}^2$ obtenemos que las geodésicas satisfacen:

$latex begin{cases} ddot{theta} = 0 \ ddot{varphi} = 0 end{cases}$

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Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann $latex M$ conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante $latex k$ es isométrica a:

  • el Espacio Hiperbólico: $latex mathbb{H}^n(k)$ si $latex k<0$,
  • el Espacio Euclídeo: $latex mathbb{R}^n$ si $latex k=0$,
  • la Hipersuperfície Esférica: $latex S^n(k)$ si $latex k>0$.

En particular, cuando la dimensión sea $latex n=2$, tenemos las superfícies $latex mathbb{H}^2(k)$, trabajaremos con la pseudoesfera, el plano $latex mathbb{R}^2$ y la esfera $latex S^2(k)$.

En este caso, existe una forma sencilla de calcular la primera forma fundamental $latex I equiv ds^2$, la métrica inducida por la métrica Euclidea del espacio ambiente $latex mathbb{R}^3$ en el que las superficies pueden ser embebidas, a partir de su parametrización (Una parametrización $latex f$ es un embedding y si $latex h$ es la métrica del espacio ambiente entonces tenemos la métrica $latex f^*h$ en la variedad):

$latex S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$,

$latex I(u,v) = E(u,v) du otimes du + F(u,v) du otimes dv + $

$latex + F(u,v) dv otimes du + G(u,v) dv otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$latex ds^2 = g_{00} du^2 + g_{01} du dv + g_{10} dv du + g_{11} dv^2$

donde

$latex g_{00}=frac{partial}{partial u}S(u,v) cdot frac{partial}{partial u}S(u,v) = partial_u S cdot partial_u S$

$latex g_{01}=g_{10} = partial_u S cdot partial_v S$

$latex g_{11} = partial_v S cdot partial_v S$.

Si en lugar de $latex u$ y $latex v$ trabajamos con $latex u_1$ y $latex u_2$ entonces podemos escribir

$latex ds^2 = sum_{i=0}^1 g_{ij}du^i du^j = g_{ij}du^i du^j$,

donde al final aplicamos el $latex C sum E$ con $latex i=1,2$ y $latex j=1,2$.

También son sencillas de calcular el vector normal $latex boldsymbol{n}$, la segunda forma fundamental $latex II$ y la curvatura de Gauss o intrínseca $latex k$:

$latex boldsymbol{n} = frac{partial_u S times partial_v S}{|| partial_u S times partial_v S||}$,

$latex II(u,v) = L(u,v) du otimes du + M(u,v) du otimes dv + $

$latex + M(u,v) dv otimes du + N(u,v) dv otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$latex amalg = b_{00} du^2 + b_{01} du dv + b_{10} dv du + b_{11} dv^2$ o $latex amalg = b_{ij}du^i du^j$

donde

$latex b_{00}=partial_{uu} cdot boldsymbol{n}$

$latex b_{01}=b_{10} = partial_{uv} S cdot boldsymbol{n}$

$latex b_{11} = partial_{vv} S cdot boldsymbol{n}$,

$latex k = frac{LN-M^2}{EG-F^2} = frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}$

Calculamos a continuación todos estos valores en las superficies que nos interesan.

Plano $latex mathbb{R}^2$

Utilizamos la parametrización $latex S(u,v)=(u,v,0)$ con $latex u in mathbb{R}$ y $latex v in mathbb{R}$ (desde el punto de vista de las variedades, tenemos un atlas  con una única carta que es la identidad. Recordar que las cartas van en sentido contrario)

plaR2

$latex g_{00} = partial_u S cdot partial_u S = (1,0,0) cdot (1,0,0) = 1$

$latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=1$

$latex boldsymbol{n} = (0,0,1)$

$latex partial_{uu} S = partial_{uv} S = partial_{vv} S = 0$ y, por tanto, $latex b_{ij}=0$

$latex k = frac{0.0 – 0^2}{1.1 – 0^2} = 0$.

Esfera $latex S^2(k)$

Parametrizamos según indica la figura:

esfera

$latex g_{00} = a^2$, $latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=a^2 sin^2 theta $

$latex boldsymbol{n} = (sin theta cos varphi, sin theta sin varphi ,cos theta)$

$latex b_{00} = -a$, $latex b_{01} = b_{10} = 0$, $latex b_{11}=-a sin^2 theta$

y, por tanto, $latex k = frac{-a.-a sin^2 theta – 0^2}{a^2.a^2 sin^2 theta – 0^2} = frac{1}{a^2}$.

Pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(k)$

pseudoesfera

$latex g_{00} = a^2 cot^2 theta$, $latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=a^2 sin^2 theta $

$latex boldsymbol{n} = (-|cos theta| cos varphi, – |cos theta| sin varphi, sgn(cos theta) sin theta)$

$latex k = -frac{1}{a^2}$.

Para terminar, ¿que tiene de curioso la siguiente aparente parametrización como superficie de revolución de $latex mathbb{R}^2$ para que nos de $latex g_{11} = theta^2$?

plano

Hasta aquí calculamos de manera clásica.

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