curvatura intrínseca

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Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:

$latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$.

Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:

$latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin varphi, sin theta)$

y la métrica inducida medainte el pullback era:

$latex f^*h: a^2 dtheta^2 + a^2 sin^2 theta dvarphi^2$

Tenemos que calcular:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta}, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta}, Gamma^{theta}_{varphi varphi}, Gamma^{varphi}_{theta theta}, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta}, Gamma^{varphi}_{varphi varphi}$

Calculamos, por ejemplo, $latex Gamma^{1}_{22} = Gamma^{theta}_{varphi varphi}$:

$latex Gamma_{varphi varphi}^theta = frac{1}{2} { frac{partial}{partial dvarphi}g_{varphi theta} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi theta} + frac{partial}{partial theta}g_{varphi varphi} } g^{theta theta} + frac{1}{2} { frac{partial}{partial dvarphi}g_{varphi varphi} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi varphi} + frac{partial}{partial varphi}g_{varphi varphi} } g^{varphi theta}$,

que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:

$latex Gamma^{theta}_{varphi varphi} = frac{1}{2} (frac{partial}{partial theta} g_{varphi varphi}) g^{theta theta} = -frac{1}{2 a^2} a^2 , 2 sin theta cos theta = – sin theta cos theta$.

Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:


 Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
   For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
     For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
       r = 0;
       For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
         r = r + FullSimplify[
                              1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
                              (D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] + 
                               D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] - 
                               D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
                 ]
       ];
       Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
     ]
   ]
 ]
 

Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre $latex g$ de dimensión $latex 2 times 2$ con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1 y u_2)

$latex g={{a{}^{wedge}2,0},{0,a{}^{wedge}2*text{Sin}[text{u1}]{}^{wedge}2}}$

y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:

$latex text{Simbolos}[]$

y obtenemos:

$latex text{Gamma[}1,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,1,2text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,1text{] = }0$

$latex Gamma^{1}_{22} = text{Gamma[}1,2,2text{] = }-text{Cos}[text{u1}] text{Sin}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,2text{] = }0$

De la misma manera, para la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$ tenemos:

$latex g={{a{}^{wedge}2*text{Cot}[text{u1}]{}^{wedge}2,0},{0,a{}^{wedge}2*text{Sin}[text{u1}]{}^{wedge}2}}$

que nos da, al ejecutar $latex text{Simbolos}[]$,

$latex text{Gamma[}1,1,1text{] = }-text{Csc}[text{u1}] text{Sec}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}1,1,2text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}1,2,2text{] = }-text{Sin}[text{u1}]^2 text{Tan}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,1,1text{] = }0$

$latex text{Gamma[}2,1,2text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,1text{] = }text{Cot}[text{u1}]$

$latex text{Gamma[}2,2,2text{] = }0$.

Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para $latex mathbb{R}^2$ obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son $latex 0$, de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.

Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo $latex T^a_b$, queda:

$latex nabla_c T^a_b = partial_c T^a_b + Gamma^a_{dc} T^d_b – Gamma^d_bc T^a_d$,

que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.

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Sigamos con lo que empezamos en el post anterior.

Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann $latex (S^2(1/a^2),g)$ con

$latex g = left(
begin{array}{cc}
a^2 & 0 \
0 & a^2 sin^2 theta
end{array}
right)$

y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica dada, es decir, como realizar la derivación covariante o transporte paralelo, como encontrar las geodésicas, la calcular la curvatura intrínseca, etc.

Para empezar, dada una curva $latex gamma:I longrightarrow M$ diferenciable, $latex forall a,b in I$, $latex a < b$, se define la longitud del segmento de curva $latex alpha$, desde $latex a$ hasta $latex b$, como:

$latex L [gamma]_a^b=int_a^b || gamma’||dt$ con $latex ||gamma’|| = sqrt{g(gamma’,gamma’)}$,

es decir:

$latex L [gamma]_a^b=int_a^b sqrt{g_{ij} gamma’^i gamma’^j} dt$

En este primer caso que nos ocupa, vamos a medir la longitud de medio meridiano, $latex varphi=0$ ,parametrizado sobre la esfera como $latex gamma(theta,0)=a(sin theta, 0, cos theta)$ con $latex theta in ]0,pi[$. Pero hay que realizar los cálculos de manera intrínseca, por lo que la curva que nos interesa es $latex gamma(theta)=(theta,0)$ con $latex theta in ]0,pi[$. Calculamos $latex dot{gamma}(t) = (1,0)$, de manera que $latex dot{gamma}^1(t) = 1$ y  $latex dot{gamma}^2(t)=0$. Entonces:

$latex L[gamma]_0^{pi} = int_0^{pi} sqrt{sum_{i=0}^1 sum_{j=0}^1 g_{ij} dot{gamma}^i(t) dot{gamma}^j(t)} dt = int_0^{pi} sqrt{ a^2 } dt = a int_0^{pi} dt = a pi$

De la misma manera, para los habitantes de la hiperesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$, pueden medir la longitud de una sección apropiada (recordar que tenemos comportamiento asintótico en $latex 0$ y cambio discontínuo de la normal a la superfície en $latex theta = frac{pi}{2}$) de su meridiano $latex 0$ sabiendo su parametrización en coordenadas $latex (theta, phi)$ sobre la hiperesfera y conociendo la métrica de esta variedad en donde viven:

$latex gamma(theta,varphi) = (theta, 0)$ con $latex theta in ]b,c[$

$latex g = left(
begin{array}{cc}
a^2 cot^2 theta & 0 \
0 & a^2 sin^2 theta
end{array}
right)$

de manera que, procediendo como antes:

$latex L[gamma]_b^c = a int_b^{c} sqrt{cot^2 theta} dtheta = a sqrt{cot^2 theta} tan theta ln[sin theta]|_{b}^{c}$.

Por ejemplo, para $latex a=1$, $latex b = frac{pi}{4}$ y $latex c = frac{pi}{2}$ nos queda $latex L[gamma]_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} = frac{ln{2}}{2}$ y para $latex L[gamma]_{frac{pi}{8}}^{frac{pi}{2}} = -ln{sin frac{pi}{8}}$.

¿Necesitamos calcular la conexión de Levi-Civita $latex nabla$, que es la única libre de torsión (dados dos campos vectoriales $latex X, Y$, como $latex T(X,Y) = nabla_X Y – nabla_Y X – [X,Y]$, lo que tenemos es que $latex nabla_X Y – nabla_Y X = [X,Y]$) que preserva la métrica ($latex nabla_g = 0$) para calcular las geodésicas?

Pues no.  En el libro Geometría Diferencial y Relatividad de J. Girbau encontramos una receta del procedimiento para calcular las geodésicas basada en, a grandes rasgos:

  • Llamamos geodésica a toda curva $latex x(t)$ tal que $latex nabla_{dot{x(t)}} dot{x(t)} = 0$.
  • En coordenadas, $latex nabla_X Y = ( X(Y^k) + Y^j X^i Gamma_{ij}^k) e_k$.
  • En una carta local $latex (U,x^i)$, le ecuación $latex nabla_{dot{x(t)}} dot{x(t)}$ se escribe $latex frac{d^2 x^i}{dt^2}+Gamma_{jk}^i frac{dx^j}{dt} frac{dx^k}{dt} = 0$ donde $latex Gamma_{jk}^i$ son los símbolos de Christoffel relativos a la base $latex partial_{x^i}$.
  • “muchos matemáticos alejados del mundo de la física o del cálculo de variaciones en su formulación primitiva de Euler”, como es mi caso :-), “tienen la firme convicción de que para escribir explícitamente las ecuaciones de las geodésicas de una determinada métrica de Riemann es indispensable haber calculado previamente la derivada covariante $latex nabla$ asociada a la métrica, ya sea por sus símbolos de Christoffel o per algun otro método equivalente. Nada mas lejos de la realidad”.
  • Tendremos la métrica $latex g$ que depende de $latex x^1,ldots,x^n$. Escribimos, formalmente, la función de $latex 2n$ variables $latex x^i, dot{x}^i$ que volvemos a denotar $latex g$ abusando de la notación. Entonces, con la convención $latex frac{d}{dt}x^i = dot{x}^i$ y $latex frac{d}{dt}dot{x}^i = ddot{x}^i$, las ecuaciones de las geodésicas son: $latex frac{d}{dt} frac{partial}{partial dot{x}^i} g = frac{partial}{partial x ^i} g $.

Vamos a aplicarlo, en primer lugar, a la esfera $latex S^2(frac{1}{a^2})$. Como:

$latex g = a^2 dtheta otimes dtheta + a^2 sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$,

entonces:

$latex g(theta,varphi,dot{theta},dot{varphi}) = a^2 dot{theta}^2+ a^2 sin^2 theta dot{varphi}^2$,

de manera que:

$latex partial_theta g = a^2 , 2 sin theta cos theta dot{varphi}^2$

$latex partial_varphi g = 0$

$latex partial_{dot{theta}} g = a^2 , 2 dot{theta}$ y entoces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{theta}} g = a^2 2 ddot{theta}$

$latex partial_{dot{varphi}} g = a^2 sin^2 theta 2 dot{varphi} $ y entonces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{varphi}} g = 2 a^2 sin theta (cos theta dot{theta} dot{varphi} + sin theta ddot{varphi})$.

Así pués, las ecuaciones de las geodésicas son:

$latex begin{cases}ddot{theta} – dot{varphi}^2 sin theta cos theta = 0 \ sin theta (2 dot{theta} dot{varphi} cos theta + ddot{varphi} sin theta) = 0 end{cases}$

En el caso de la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$ tenemos:

$latex g = a^2 cot^2 theta dtheta otimes dtheta + a^2 sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$,

entonces:

$latex g(theta,varphi,dot{theta},dot{varphi}) = a^2 cot^2 theta dot{theta}^2+ a^2 sin^2 theta dot{varphi}^2$,

de manera que:

$latex partial_theta g = 2 a^2 (-dot{theta}^2 cot theta csc^2 theta + dot{varphi}^2 cos theta sin theta )$

$latex partial_varphi g = 0$

$latex partial_{dot{theta}} g = 2 a^2 dot{theta} cot^2 theta$ y entoces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{theta}} g = 2 a^2 cot theta (ddot{theta} cot theta – 2 dot{theta}^2 csc^2 theta )$

$latex partial_{dot{varphi}} g = 2 a^2 dot{varphi} sin^2 theta$ y entonces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{varphi}} g =2 a^2 sin theta (ddot{varphi} sin theta + 2 dot{theta} dot{varphi} cos theta )$.

Así pues, las geodésicas cumplen:

$latex begin{cases} cot theta (ddot{theta} cot theta – 2 dot{theta}^2 csc^2 theta) – (-dot{theta}^2 cot theta csc^2 theta + dot{varphi}^2 cos theta sin theta ) = 0 \ sin theta (ddot{varphi} sin theta + 2 dot{theta} dot{varphi} cos theta ) = 0 end{cases}$

Para terminar, procediento de la misma manera para $latex mathbb{R}^2$ obtenemos que las geodésicas satisfacen:

$latex begin{cases} ddot{theta} = 0 \ ddot{varphi} = 0 end{cases}$

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Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann $latex M$ conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante $latex k$ es isométrica a:

  • el Espacio Hiperbólico: $latex mathbb{H}^n(k)$ si $latex k<0$,
  • el Espacio Euclídeo: $latex mathbb{R}^n$ si $latex k=0$,
  • la Hipersuperfície Esférica: $latex S^n(k)$ si $latex k>0$.

En particular, cuando la dimensión sea $latex n=2$, tenemos las superfícies $latex mathbb{H}^2(k)$, trabajaremos con la pseudoesfera, el plano $latex mathbb{R}^2$ y la esfera $latex S^2(k)$.

En este caso, existe una forma sencilla de calcular la primera forma fundamental $latex I equiv ds^2$, la métrica inducida por la métrica Euclidea del espacio ambiente $latex mathbb{R}^3$ en el que las superficies pueden ser embebidas, a partir de su parametrización (Una parametrización $latex f$ es un embedding y si $latex h$ es la métrica del espacio ambiente entonces tenemos la métrica $latex f^*h$ en la variedad):

$latex S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$,

$latex I(u,v) = E(u,v) du otimes du + F(u,v) du otimes dv + $

$latex + F(u,v) dv otimes du + G(u,v) dv otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$latex ds^2 = g_{00} du^2 + g_{01} du dv + g_{10} dv du + g_{11} dv^2$

donde

$latex g_{00}=frac{partial}{partial u}S(u,v) cdot frac{partial}{partial u}S(u,v) = partial_u S cdot partial_u S$

$latex g_{01}=g_{10} = partial_u S cdot partial_v S$

$latex g_{11} = partial_v S cdot partial_v S$.

Si en lugar de $latex u$ y $latex v$ trabajamos con $latex u_1$ y $latex u_2$ entonces podemos escribir

$latex ds^2 = sum_{i=0}^1 g_{ij}du^i du^j = g_{ij}du^i du^j$,

donde al final aplicamos el $latex C sum E$ con $latex i=1,2$ y $latex j=1,2$.

También son sencillas de calcular el vector normal $latex boldsymbol{n}$, la segunda forma fundamental $latex II$ y la curvatura de Gauss o intrínseca $latex k$:

$latex boldsymbol{n} = frac{partial_u S times partial_v S}{|| partial_u S times partial_v S||}$,

$latex II(u,v) = L(u,v) du otimes du + M(u,v) du otimes dv + $

$latex + M(u,v) dv otimes du + N(u,v) dv otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$latex amalg = b_{00} du^2 + b_{01} du dv + b_{10} dv du + b_{11} dv^2$ o $latex amalg = b_{ij}du^i du^j$

donde

$latex b_{00}=partial_{uu} cdot boldsymbol{n}$

$latex b_{01}=b_{10} = partial_{uv} S cdot boldsymbol{n}$

$latex b_{11} = partial_{vv} S cdot boldsymbol{n}$,

$latex k = frac{LN-M^2}{EG-F^2} = frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}$

Calculamos a continuación todos estos valores en las superficies que nos interesan.

Plano $latex mathbb{R}^2$

Utilizamos la parametrización $latex S(u,v)=(u,v,0)$ con $latex u in mathbb{R}$ y $latex v in mathbb{R}$ (desde el punto de vista de las variedades, tenemos un atlas  con una única carta que es la identidad. Recordar que las cartas van en sentido contrario)

plaR2

$latex g_{00} = partial_u S cdot partial_u S = (1,0,0) cdot (1,0,0) = 1$

$latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=1$

$latex boldsymbol{n} = (0,0,1)$

$latex partial_{uu} S = partial_{uv} S = partial_{vv} S = 0$ y, por tanto, $latex b_{ij}=0$

$latex k = frac{0.0 – 0^2}{1.1 – 0^2} = 0$.

Esfera $latex S^2(k)$

Parametrizamos según indica la figura:

esfera

$latex g_{00} = a^2$, $latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=a^2 sin^2 theta $

$latex boldsymbol{n} = (sin theta cos varphi, sin theta sin varphi ,cos theta)$

$latex b_{00} = -a$, $latex b_{01} = b_{10} = 0$, $latex b_{11}=-a sin^2 theta$

y, por tanto, $latex k = frac{-a.-a sin^2 theta – 0^2}{a^2.a^2 sin^2 theta – 0^2} = frac{1}{a^2}$.

Pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(k)$

pseudoesfera

$latex g_{00} = a^2 cot^2 theta$, $latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=a^2 sin^2 theta $

$latex boldsymbol{n} = (-|cos theta| cos varphi, – |cos theta| sin varphi, sgn(cos theta) sin theta)$

$latex k = -frac{1}{a^2}$.

Para terminar, ¿que tiene de curioso la siguiente aparente parametrización como superficie de revolución de $latex mathbb{R}^2$ para que nos de $latex g_{11} = theta^2$?

plano

Hasta aquí calculamos de manera clásica.

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