derivada Lie

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Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos $latex (M,g)$, donde $latex M$ es una variedad diferencial abstracta y $latex g$ es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

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En el cáculo de este post, como $latex mathcal{L}_X dalpha = d mathcal{L}_X alpha$, y en este caso conocemos $latex alpha$, también podemos hacer:

$latex mathcal{L}_{[X,Y]}d alpha = dmathcal{L}_Z alpha = d big [ mathcal{L}_{(-4 frac{partial}{partial x} – 12y frac{partial}{partial z})} (2xy,dz – z , dx big ])$

Calculamos, en primer lugar, $latex mathcal{L}_Z alpha$:

$latex mathcal{L}_Z (2xy , dz) – mathcal{L}_Z (z , dx)$

Por una parte, tenemos:

$latex mathcal{L}_Z (2xy , dz) = (mathcal{L}_Z 2xy) , dz + 2xy , mathcal{L}_Z dz =$

$latex = (-4 frac{partial}{partial x} 2xy – 12y frac{partial}{partial z} 2xy ) , dz + 2xy , d(-4 frac{partial}{partial x} z – 12y frac{partial}{partial z} z) =$

$latex = -24xy , dy – 8y , dz$

Y por otra:

$latex mathcal{L}_Z (z , dx) = mathcal{L}_Z z , dx + z , mathcal{L}_Z dx =$

$latex = (-4 frac{partial}{partial x} z – 12y frac{partial}{partial z} z) , dx + z , d(-4 frac{partial}{partial x} x – 12y frac{partial}{partial z} x) = $

$latex = -12y , dx$

Por lo tanto, tenemos:

$latex 12y , dx -24xy ,dy – 8y , dz$

Finalmente, solo queda calcular:

$latex d big [ 12y , dx -24xy ,dy – 8y , dz big ] = $

$latex = 12 , dy wedge dx – 24 , d(xy) wedge dy – 8 , dy wedge dz = $

$latex 12 , dy wedge dx – 24 , (y , dx + x , dy) wedge dy – 8 , dy wedge dz = $

$latex -12(2y + 1) , dx wedge dy – 8 , dy wedge dz$

ya que $latex -24x , dy wedge dy = 0$ por la propiedad de que $latex d^2 = 0$, obteniendo así el mismo resultado que anteriormente.

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Ya nos apareció la derivada de Lie. Con los datos de este post, ¿Cómo calcularíamos $latex mathcal{L}_{[X,Y]} beta$ con $latex beta := d alpha$?

Primero necesitamos calcular el corchete de Lie de los campos dados:

$latex Z:=[X,Y] = -4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z}$

y que es otro campo vectorial, a continuación necesitamos  la $latex 2$-forma resultante de calcular la diferencial exterior de la $latex 1$-forma::

$latex beta = 2y+1,dx wedge dz + 2x,dywedge dz$

y finalmente calcular la derivada de Lie de la forma respecto del campo.

Todos los cálculos se reduciran a saber aplicar la derivada de Lie a funciones, campos vectoriales y a la diferencial exterior de $latex 1-$formas sabiendo que es una derivación:

  1. $latex mathcal{L}_Xh = X(h)$
  2. $latex mathcal{L}_XY = [X,Y]$
  3. $latex mathcal{L}_X dalpha = d mathcal{L}_X (alpha)$

de manera que:

$latex mathcal{L}_Z beta = mathcal{L}_Z (2y+1,dx wedge dz + 2x,dywedge dz) = $

$latex mathcal{L}_Z (2y+1 , dx wedge dz) + mathcal{L}_Z (2x , dy wedge dz) = $

$latex mathcal{L}_Z(2y+1) , dx wedge dz + (2y +1) mathcal{L}_Z(dx) wedge dz + (2y+1) , dx wedge mathcal{L}_Z(dz) + $

$latex mathcal{L}_Z(2x) , dy wedge dz + 2x mathcal{L}_Z(dy) wedge dz + 2x , dy wedge mathcal{L}_Z(dz))$.

Para evitar errores, calculamos separadamente cada derivada de Lie:

$latex mathcal{L}_Z (2y+1) = Z(2y+1) = [X,Y](2y+1) = (-4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z})(2y+1) = $

$latex = -4 frac{partial}{partial x}(2y+1) -12y frac{partial}{partial z}(2y+1) = 0$

$latex mathcal{L}_Z (dx) = d mathcal{L}_Z x = d([X,Y](x)) = d(-4 frac{partial}{partial x}x -12y frac{partial}{partial z}x) = d(-4)=0$

$latex mathcal{L}_Z(dz) = d mathcal{L}_Z z = d([X,Y](z) = d(-4 frac{partial}{partial x}z -12y frac{partial}{partial z}z)) = -12 dy$

$latex mathcal{L}_Z (2x) = [X,Y](2x) = -4 frac{partial}{partial x}2x -12y frac{partial}{partial z}2x = -8$

$latex mathcal{L}_Z (dy) = d mathcal{L}_Z y = d([X,Y](y)) = d(-4 frac{partial}{partial x}y -12y frac{partial}{partial z}y) = 0$

$latex mathcal{L}_Z(dz) = -12 dy$

Por lo que, finalmente, tenemos:

$latex -12(2y+1) , dx wedge dy – 24 , dy wedge dy – 8 , dy wedge dz$

y como $latex d^2 = 0$, nos queda:

$latex -12(2y+1) , dx wedge dy -8 , dy wedge dz$

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