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ecuación continuidad

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En [Rosswog 2009] tenemos las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana discretizadas y en su forma mas básica. Las partículas avanzaran en el tiempo siguiendo las siguientes ecuaciones:

Para empezar, no hay necesidad de resolver la ecuación de continuidad ya que la masa de las partículas permanece fija. Podemos obtener las densidades mediante:

$latex rho_a = sum_b m_b W_{ab}$

La ecuación del momento queda:

$latex frac{d}{dt}vec{v}_a = – sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{P_b}{rho_b^2} + Pi_{ab} ) nabla_a W_{ab} $

La ecuación de evolución para la energía interna específica puede escribirse como:

$latex frac{d}{dt} u_a = sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{1}{2}Pi_{ab}) vec{v}_{ab} nabla_b W_{ab} $

Rosswog las llama “vanilla ice” SPH.

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En el artículo [Rosswog 2009], Stephan Rosswog hace un repaso detallado del método SPH centrandose especialmente en sus aplicaciones en astrofísica. Repasamos el apartado que hace referencia a las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana.

A diferencia de los metodos basados en malla, que son Eulerianos, es decir, métodos donde  describimos el fluido desde un punto fijo del espacio, el Smoothed Particle Hydrodynamics es totalmente Lagrangiano, por lo que describimos el fluido desde un sistema de coordenadas fijado en una particula del fluido en movimiento.

La derivada Lagrangiana o sustancial respecto del tiempo, $latex frac{d}{dt}$, se relaciona con la derivada Euleriana respecto al tiempo, $latex frac{partial}{partial t}$ de la siguiente manera:

$latex frac{d}{dt} = frac{dx^i}{dt} frac{partial}{partial x^i} + frac{partial}{partial t} = vec{v} cdot nabla + frac{partial}{partial t}$

Aplicando esta relación a las ecuaciones en forma Euleriana, las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana quedan:

  1. Ecuación de continuidad: $latex frac{d}{dt} rho = – rho nabla cdot vec{v}$
  2. Ecuacion del momento: $latex frac{d}{dt} vec{v} = -frac{nabla P}{rho} + vec{f}$
  3. Ecuación de la energía: $latex frac{d}{dt}u = frac{P}{rho^2} frac{d}{dt} rho = – frac{P}{rho} nabla cdot vec{v}$
  4. Ecuación de estado, que describe la termodinámica del fluido estelar: $latex P = (gamma -1) cdot rho cdot epsilon$ (ecuación del gas ideal)

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