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espacio cotangente

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En palabra de Terry Tao:


En la física, el espacio de fases es un concepto que unifica la mecánica clásica (Hamiltoniana) con la mecánica cuántica; en matemáticas, el espacio de fases es un concepto que unifica la geometría simpléctica con el análisis armónico y las PDE.

En mecánica clásica, el espacio de fases es el espacio de todas las posibles configuraciones de un sistema: no solo las posiciones $latex q$ de todos los objetos del sistema, sino también sus momentos $latex p$. Matemáticamente, el espacio de configuraciones puede definirse como una variedad $latex M$ de manera que, para cada posicion $latex q in M$, los momentos $latex p$ toman valores en el espacio  cotangente $latex T_q^*M$. De esta manera, el espacio de fases puede verse de manera natural como el fibrado cotangente:

$latex T^*M:=bigsqcup_{q in M} T_q^*M$,

y, como ya vimos en ese mismo post, si $latex dim M = n$ entonces $latex dim T^*M = dim TM = 2n$, es decir, que el espacio de fases siempre va a tener dimensión par.

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Dada una variedad diferenciable $latex M$, una curva diferenciable en $latex M$ es una aplicación diferenciable $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ donde $latex a,b in mathbb{R}$ y $latex a<b$.

Dado un punto $latex m$:

  1. denotaremos por $latex mathcal{C}(M,m)$ al conjunto de curvas diferenciables $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ tales que $latex a<0<b$ y $latex alpha(0) = m$.
  2. denotamos por $latex mathcal{F}(M,m)$ al conjunto de funciones diferenciables $latex f:U longrightarrow mathbb{R}$ tales que $latex U$ es un entorno abierto de $latex m$ en $latex M$.

Definimos en $latex mathcal{C}(M,m)$ la relación de equivalencia $latex sim$ de la siguiente manera:

$latex alpha sim beta Leftrightarrow (f circ alpha)'(0) = (f circ beta)'(0),,forall alpha,beta in mathcal{C}(M,m),,forall f in mathcal{F}(M,m)$

Llamamos espacio tangente a $latex M$ en $latex m$ a

$latex T_mM := frac{mathcal{C}(M,m)}{sim}$

A los elementos de $latex T_mM$ se les llama vectores tangentes a $latex M$ en $latex m$, y son clases de equivalencia de curvas diferenciables respecto de la relación anterior.

Denotamos por $latex p:mathcal{C}(M,m) longrightarrow T_mM$ a la aplicación que a cada curva $latex alpha$ le asocia su clase de equivalencia. Además, $latex v(f) :=(f circ alpha)'(0)$ donde $latex f in mathcal{F}(M,m)$ y $latex v = p(alpha)$ con $latex alpha in mathcal{C}(M,m)$.

Si la dimensión de la variedad es $latex n$ y $latex (U,varphi)$ es una carta cualquiera con $latex m in U$, entonces:

  1. denotamos por $latex { e_i}_{i=1}^{n}$ a la base canónica de $latex mathbb{R}^n$.
  2. definimos las curvas coordenadas $latex tau_i in mathcal{C}(M,m)$ como $latex tau_i(t) := varphi^{-1}(varphi(m)+te_i)$.
  3. definimos los vectores tangentes coordenados respecto de la carta $latex (U,varphi)$ como $latex frac{partial}{partial varphi^i}|_m = p(tau_i) in T_mM$.

Los vectores

$latex { frac{partial}{partial varphi^1}|_m, cdots, frac{partial}{partial varphi^n}|_m }$

forman una base de $latex T_mM$, por lo que para todo $latex v in T_mM$ tenemos que:

$latex v = sum_{i=1}^n v(varphi^i) frac{partial}{partial varphi^i}|_m$

y $latex dim T_mM = dim M = n$.

Llamamos espacio cotangente a $latex M$ en $latex m$ al espacio vectorial dual de $latex T_mM$ y que denotamos por $latex T_m^*M$, o sea:

$latex T_m^*M := (T_mM)^* = mathcal{L}(T_mM,mathbb{R})$

A los elementos de $latex T_m^*M$ se les denomina 1-formas de $latex M$ en $latex m$. Las 1-formas:

$latex { dvarphi_m^1, cdots, dvarphi_m^n }$

forman una base de $latex T_m^*M$ que es, a su vez, la base dual de:

$latex { frac{partial}{partial varphi^1}|_m, cdots, frac{partial}{partial varphi^n}|_m }$

Es evidente, por tanto, que $latex dim T_m^*M = dim T_m M = n$.

Llamamos fibrado tangente $latex TM$ a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios tangentes $latex T_mM$ con $latex m in M$, es decir:

$latex TM := bigsqcup_{m in M} T_mM$

Podemos construir un atlas para el fibrado a partir de los atlas de cada una de las variedades tangentes. A partir de esta construcción deducimos que $latex dim TM = 2n$

De la misma manera, llamamos fibrado cotangente $latex T^*M$ a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios cotangentes $latex T_m^*M$ con $latex m in M$, es decir:

$latex T^*M := bigsqcup_{m in M} T_m^*M$

Ademas, $latex dim T^*M = dim TM = 2n$

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