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grupo Lie lineal general

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En el caso de $latex GL(n,mathbb{K})$, un desplazamiento a la izquierda tiene la forma:

$latex L_A X = AX$

donde $latex AX$ es el producto de matrices y cuya diferenciación, que es lo que nos interesa, es:

$latex (L_A)_* U = AU$ con $latex U in M(n,mathbb{K})$.

De esta manera, todo campo vectorial invariante por la izquierda en $latex GL(n,mathbb{K})$ tiene la forma $latex U(A)= AU$. Si tomamos como $latex U$ los elementos $latex e_alpha^beta$ (las matrices con todos los elementos nulos excepto en la fila $latex alpha$-ésima y la columna $latex beta$-ésima que contiene a la unidad), obtenemos una base de estos campos:

$latex e_alpha^beta (A) = A e_alpha^beta$

que son las matrices de orden $latex n$ donde los elementos no nulos forman la columna $latex beta$-ésima.

Sean $latex U(A)=AU$ y $latex V(A)=AV$ un par de campos invariantes por la izquierda. Teniendo en cuenta que:

$latex frac{partial}{partial a_mu^nu}a_alpha^beta = delta_mu^alpha delta_beta^nu$

obtenemos:

$latex [U(A),V(A)] = A(UV-VU)$.

Tomando $latex A=I$, obtenemos un álgebra de Lie que podemos identificarla con el espacio tangente a la unidad del grupo $latex GL(n,mathbb{K})$ que coincide con el espacio $latex M(n,mathbb{K})$ de todas las matrices de orden $latex n$ con conmutador:

$latex [U,V] = UV-VU$,

y que denotaremos mediante $latex mathfrak{gl}(n,mathbb{K})$.

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