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grupo topologico

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Cuando decimos que $latex G$ es un grupo topológico queremos decir que $latex G$, además de cumplir con las condiciones de grupo (operación interna $latex .$ asociativa con neutro e inversos) también es un espacio topológico separable y las funciones $latex f(a,b)=ab$ y $latex g(a)=a^{-1}$ son contínuas (por ejemplo, en el primer caso, para todo entorno $latex W$ de $latex c = ab$ existen entornos $latex U$ y $latex V$ con $latex a in U$ y $latex b in V$ tales que $latex UV subset W$ ).

El conjunto $latex GL(n,mathbb{K})$ de todas las matrices regulares de orden $latex n$ con elementos en $latex mathbb{K}$, un cuerpo de característica $latex 0$, es un grupo respecto a la multiplicación de matrices: el grupo lineal general.

Es sencillo comprobar que la matriz identidad $latex I$ es el elemento neutro y que $latex A^{-1}$ es el inverso de $latex A$.

Como los elementos de $latex A = a^{i}_{j}$ los podemos vectorizar, resulta que $latex GL(n,mathbb{K}) subset mathbb{K}^{n^{2}}$ tal que $latex det A neq 0$. Llamaremos topología natural de $latex G$ a la topología inducida por la topología natural de $latex mathbb{K}^{n^2}$:

$latex U_k = { C in GL(n,mathbb{K}): |c^{i}_{j} – a^{i}_{j} < frac{1}{k}| }$

es una base de entornos del elemento $latex A in GL(n,mathbb{K})$.

Finalmente, las aplicaciones $latex f^{i}_{j}(A,B)=a^{i}_{k} b^{k}_{j}$ y $latex g^{i}_{j} = frac{A^{i}_{j}}{det A}$, donde $latex A^{i}_{j}$ son los adjuntos de los elementos $latex a^{i}_{j}$, son contínuas por ser polinomios.

Tomando bases, para cualquier $latex mathbb{K}$ espacio vectorial $latex mathbb{V}$ de dimension $latex n$, podemos identificar $latex GL(mathbb{V})$ con $latex GL(n,mathbb{K})$.

Los grupos lineales son subgrupos cerrados de $latex GL(n,mathbb{K})$ que se distinguen por dejar invariante una forma bilineal $latex Phi$. El grupo seudoortogonal $latex O(p,q)$, el grupo ortogonal $latex O(n)$ y el grupo ortogonal especial $latex SO(n)$, que aparecen cuando $latex mathbb{K}=mathbb{R}$ y el grupo seudounitario $latex U(p,q)$, el grupo unitario $latex U(n)$ y el grupo unitario especial $latex SU(n)$ que lo hacen cuando $latex mathbb{K} = mathbb{C}$.

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