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hiperbólico

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Las ecuaciones de Euler gobiernan la dinámica de los fluidos compresibles, como gases o líquidos a alta presión, cuando consideramos despreciables las fuerzas de cuerpo, las tensiones viscosas y los flujos de calor. Forman un sistema de PDE no lineal hiperbólico.

En el caso clásico, deducidas por Leonhard Euler, las leyes de conservación son las siguientes:

  1. Conservación de la masa: $latex rho_t + nabla cdot (rho vec{v}) = 0$
  2. Conservación del momento: $latex (rho vec{v})_t + nabla cdot (rho vec{v} otimes vec{v} + pI) = 0 $
  3. Conservación de la energia: $latex E_t + nabla cdot [(E + p)] vec{v} = 0$

donde $latex rho(x,y,z,t)$ es la densidad de masa, $latex vec{v}= (v^1,v^2,v^3)$ es el vector velocidad con $latex v^i(x,y,z,t)$, $latex p(x,y,z,t)$ es la presión,

De hecho, podemos escribir el sistema de forma compacta:

$latex U_t + nabla cdot H = 0$

con el vector columna $latex U = left[ begin{array}{c} rho \ rho v^1 \ rho v^2 \ rho v^3 \ E end{array} right]$ y el tensor $latex H = begin{bmatrix} rho v^1 & rho (v^1)^2 + p & rho v^2 v^1 & rho v^3 v^1 & v^1 (E + p) \ rho v^2 & rho v^1 v^2 & rho (v^2)^2 + p & rho v^3 v^2 & v^2 (E + p) \ rho v^3 & rho v^1 v^3 & rho v^2 v^3 & rho (v^3)^2 + p & v^3 (E + p) end{bmatrix}$

La derivación de estas leyes de conservación esta basada en la relación entre las integrales en volumenes de control y sus fronteras y utilizando el teorema de Gauss. En la forma integral de las ecuaciones no necesitamos la hipótesis de diferenciabilidad. Para la conservación de la masa asumimos que en un volumen $latex V$ la masa ni se crea ni se destruye, por lo que la variación de fluido en su interior esta relacionada con la cantidad del mismo que atraviesa su frontera $latex partial V$

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