Lagrangiana

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En [Rosswog 2009] tenemos las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana discretizadas y en su forma mas básica. Las partículas avanzaran en el tiempo siguiendo las siguientes ecuaciones:

Para empezar, no hay necesidad de resolver la ecuación de continuidad ya que la masa de las partículas permanece fija. Podemos obtener las densidades mediante:

$latex rho_a = sum_b m_b W_{ab}$

La ecuación del momento queda:

$latex frac{d}{dt}vec{v}_a = – sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{P_b}{rho_b^2} + Pi_{ab} ) nabla_a W_{ab} $

La ecuación de evolución para la energía interna específica puede escribirse como:

$latex frac{d}{dt} u_a = sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{1}{2}Pi_{ab}) vec{v}_{ab} nabla_b W_{ab} $

Rosswog las llama “vanilla ice” SPH.

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En el artículo [Rosswog 2009], Stephan Rosswog hace un repaso detallado del método SPH centrandose especialmente en sus aplicaciones en astrofísica. Repasamos el apartado que hace referencia a las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana.

A diferencia de los metodos basados en malla, que son Eulerianos, es decir, métodos donde  describimos el fluido desde un punto fijo del espacio, el Smoothed Particle Hydrodynamics es totalmente Lagrangiano, por lo que describimos el fluido desde un sistema de coordenadas fijado en una particula del fluido en movimiento.

La derivada Lagrangiana o sustancial respecto del tiempo, $latex frac{d}{dt}$, se relaciona con la derivada Euleriana respecto al tiempo, $latex frac{partial}{partial t}$ de la siguiente manera:

$latex frac{d}{dt} = frac{dx^i}{dt} frac{partial}{partial x^i} + frac{partial}{partial t} = vec{v} cdot nabla + frac{partial}{partial t}$

Aplicando esta relación a las ecuaciones en forma Euleriana, las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana quedan:

  1. Ecuación de continuidad: $latex frac{d}{dt} rho = – rho nabla cdot vec{v}$
  2. Ecuacion del momento: $latex frac{d}{dt} vec{v} = -frac{nabla P}{rho} + vec{f}$
  3. Ecuación de la energía: $latex frac{d}{dt}u = frac{P}{rho^2} frac{d}{dt} rho = – frac{P}{rho} nabla cdot vec{v}$
  4. Ecuación de estado, que describe la termodinámica del fluido estelar: $latex P = (gamma -1) cdot rho cdot epsilon$ (ecuación del gas ideal)

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En el artículo  [Gingold & Monaghan, 1977] se presenta por primera vez el método Smoothed Particle Hydrodynamics. Los autores, originalmente, buscaban un método que permitiera tratar problemas en astrofísica asimétricos (sin simetría esférica, sin simetría axial, etc.) . En estos casos, los métodos de diferencias finitas no se adaptan bien, pues requieren elevar el número de puntos en la malla para seguir con la precisión deseada su evolución, lo cual complica enormemente la evolución de las integrales múltiples.

Lo que pensaron es utilizar la descripción Lagrangiana del flujo del fluido que centra su atención en los elementos del fluido. En la discretización, estos elementos se mueven siguiendo las leyes de Newton con fuerzas debidas a los gradientes de presión y a otras fuerzas de cuerpo como la gravedad, rotación o magnéticas. ¿Qué método utilizar para determinar las fuerzas que actuan en un momento determinado sobre un elemento de fluido?

Para empezar, para elementos de fluido de igual masa, el número de elementos por unidad de volumen debe ser proporcional a la densidad. Además, sin ningún tipo especial de simetría, la posicion de los elementos será aleatoria de acuerdo con la densidad. Para recuperar la densidad de la distribución conocida de los elementos es equivalente a recuperar una distribución de probabilidad a partir de una muestra. Existen dos métodos para conseguir esto que funcionan bien con problemas de fluidos: el smoothing kernel method y  la técnica del spline delta. Ambos métodos se pueden pensar como la aproximación de una integral por el procedimiento de Monte Carlo.

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