Laplaciano

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El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es:

$latex Delta u = frac{partial^2}{partial x^2} u + frac{partial^2}{partial y^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u = frac{partial^2}{(partial x^i)^2} u$.

¿Qué pasa cuando queremos expresarlo en otro sistema de coordenadas curvilineas tal que

$latex x=x(q^1,q^2,q^3) = x(q^i)$, $latex y=y(q^i)$, $latex z = z(q^i)$

cualesquiera? Pues despues de un poco de trabajo, se puede llegar a la expresión:

$latex boxed{frac{1}{h_1 h_2 h_3} frac{partial}{partial q^i} (frac{h_1 h_2 h_3}{h_i^2} frac{partial}{partial q^i} u)}$,

donde, si definimos el cambio de coordenadas

$latex boxed{phi(q^i) := (x(q^i),y(q^i),z(q^i))}$,

tenemos que

$latex boxed{h_i = |frac{partial}{partial q^i} phi|}$.

Para ver como funciona la formula, vamos a calcular el Laplaciano en coordenadas cilíndricas y en esféricas.

En el primer caso, tenemos que

$latex phi(r,theta,z) = (r cos theta, r sin theta, z)$ con

$latex r in mathbb{R}^+, theta in [0,2 pi], z in mathbb{R}$,

por lo que tenemos

$latex h_r = | frac{partial}{partial r} phi| = sqrt{(cos theta, sin theta, 0) cdot (cos theta, sin theta, 0)} = 1$,

$latex h_theta = |frac{partial}{partial theta} phi| = sqrt{(-r sin theta, r cos theta, 0) cdot (-r sin theta, r cos theta, 0)} = r$,

$latex h_z = |frac{partial}{partial z} phi| = sqrt{(0,0,1) cdot (0,0,1)} = 1$.

y entonces, al aplicar nuestra fórmula, obtenemos:

$latex frac{1}{r} bigg [ frac{partial}{partial r} ( r frac{partial}{partial r} u ) + frac{partial}{partial theta} ( frac{1}{r} frac{partial}{partial theta} u ) + frac{partial}{partial z} ( r frac{partial}{partial z} u ) bigg ] =$

$latex = frac{1}{r} (1 frac{partial}{partial r} + r frac{partial^2}{partial r^2}) u + frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u =$

$latex = boxed{frac{partial^2}{partial r^2} u + frac{1}{r} frac{partial}{partial r} u + frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u}$.

Ahora, en el caso de esféricas, tenemos:

$latex phi(r,theta,varphi) = (r sin theta cos varphi, r sin theta sin varphi, r cos theta)$ con

$latex r in mathbb{R}^+$, $latex theta in [0,pi]$ y $latex varphi in [0,2pi]$,

de manera que (el cuadrado hace referencia al producto escalar):

$latex h_r = |frac{partial}{partial r} phi| = sqrt{(sin theta cos varphi, sin theta sin varphi, cos theta)^2} = $

$latex = sqrt{sin^2 theta cos^2 varphi + sin^2 theta sin^2 varphi + cos^2 theta} = 1$

$latex h_theta = |frac{partial}{partial theta} phi| = sqrt{(r cos theta cos varphi, r cos theta sin varphi, – r sin theta)^2} = $

$latex = sqrt{r^2 cos^2 theta cos^2 varphi + r^2 cos^2 theta sin^2 varphi + r^2 sin^2 theta} = r$

$latex h_varphi = |frac{partial}{partial varphi} phi| = sqrt{(-r sin theta sin varphi,r sin theta cos varphi,0)^2} = $

$latex = sqrt{r^2 sin^2 theta sin^2 varphi + r^2 sin^2 theta cos^2 varphi + 0} = r sin theta$,

por lo que, con la fórmula, tenemos:

$latex frac{1}{r^2 sin theta} bigg [ frac{partial}{partial r} (r^2 sin theta frac{partial}{partial r}u) + frac{partial}{partial theta} (sin theta frac{partial}{partial theta}u) + frac{partial}{partial varphi} (frac{1}{sin theta} frac{partial}{partial varphi}u) bigg ] =$

$latex = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} (r^2 frac{partial}{partial r}u) + frac{1}{r^2 sin theta} frac{partial}{partial theta} (sin theta frac{partial}{partial theta}u) + frac{1}{r^2 sin^2 theta} frac{partial^2}{partial varphi^2} u =$

$latex = frac{1}{r^2}(2r frac{partial}{partial r} + r^2 frac{partial^2}{partial r^2})u + frac{1}{r^2 sin theta}(cos theta frac{partial}{partial theta} + sin theta frac{partial^2}{partial theta^2})u + frac{1}{r^2 sin^2 theta} frac{partial^2}{partial varphi^2}u = $

$latex =boxed{ frac{partial^2}{partial r^2}u + frac{2}{r} frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2}u + frac{cot theta}{r^2} frac{partial}{partial theta}u + frac{csc^2 theta}{r^2} frac{partial^2}{partial varphi^2}u}$

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Laplaciano en cartesianas:

$latex Delta u = Sigma_i frac{partial^2}{partial x_i^2}u$

1d

$latex frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} = f_i $

$latex frac{1}{h^2}u_{i-1} + frac{1}{h^2}u_{i+1} +frac{-2}{h^2}u_i= f_i$

2d

$latex frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h_x^2} + frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{h_y^2} = f_{i,j}$

$latex i$ fijo:

$latex frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1} + frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j} + frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j})$

$latex j$ fijo:

$latex frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j} + frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1})$

3d

$latex frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{h_x^2} + frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{h_y^2} + frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{h_z^2} = f_{i,j,k}$

$latex i,j$ fijos:

$latex frac{1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + frac{1}{h_z^2}u_{i,j,k+1} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2}+frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}$

$latex (g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1,k})$

$latex i,k$ fijos:

$latex frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1,k} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2}+frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}$

$latex (g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} + frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k+1})$

$latex j,k$ fijos:

$latex frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2}+frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}$

$latex (g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1,k} + frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k+1})$

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El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura $latex (-,+,+,+)$ tendríamos ($latex c=1$):

$latex square = -partial_{tt} + partial_{xx} + partial_{yy} + partial_{zz} = -partial_{tt} + nabla$,

que, numerando las variables, tenemos:

$latex square = partial^alpha partial_alpha = g^{alpha beta} partial_beta partial_alpha$.

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En $latex n$ dimensiones, el operador Laplaciano queda como:

$latex Delta u= sum_{i=1}^n frac{partial^2}{partial x_i^2}u$

en coordenadas cartesianas, y como:

$latex Delta u = frac{partial}{partial r^2}u + frac{n-1}{r}frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2}Delta_{S^{n-1}}u$

en esféricas, donde $latex Delta_{S^{n-1}}$ es el operador de Laplace-Beltrami, una generalización del Laplaciano para funciones definidas sobre variedades,  en la $latex (n-1)$-esfera ($latex S^{n-1}$), el operador Laplaciano esférico.

Un punto es un tensor sin índices, un vector es un tensor con $latex 1$ índice, una matriz es un tensor con $latex 2$ índices, etc. Cuando discreticemos una PDE en $latex n$ dimensiones, llegaremos a un tensor con $latex n$ índices y $latex 2n$ tensores con $latex n-1$ índices para las condiciones en las fronteras.

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