métrica

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El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura $latex (-,+,+,+)$ tendríamos ($latex c=1$):

$latex square = -partial_{tt} + partial_{xx} + partial_{yy} + partial_{zz} = -partial_{tt} + nabla$,

que, numerando las variables, tenemos:

$latex square = partial^alpha partial_alpha = g^{alpha beta} partial_beta partial_alpha$.

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En su Lecture I nos habla de vectores, $latex 1$-formas, tensores y espacio-tiempos planos. Para empezar, un vector, a diferencia de un escalar, no solo tiene magnitud sino tambien dirección y sentido. En un contexto mas abstracto, son los elementos de un espacio vectorial fínito $latex V$ (en realidad, un espacio euclideo, es decir, un espacio vectorial normado con una norma procedente de un producto escalar).

Por ejemplo, dada una curva $latex alpha(t) in mathbb{R}^3$, siendo $latex t$ un parámetro, el tiempo absoluto Newtoniano, podemos definir su vector velocidad como:

$latex boldsymbol{v} = boldsymbol{v}(t) = frac{d}{dt} alpha(t) = frac{d}{dt}alpha (= alpha_t)$.

O, en relatividad, $latex beta(tau) in mathbb{M}^4$, con $latex tau$ el tiempo propio:

$latex boldsymbol{v} = boldsymbol{v}(tau) = frac{d}{dtau} beta(tau) = frac{d}{dtau}beta (= beta_tau)$.

Al introducir los espacio vectoriales, podemos sumar/restar vectores entre si, multiplicarlos por un escalar y disponemos de los conceptos de bases (conjuntos de vectores linealmente independientes que forman un sistema generador)  y coordenadas. Sean $latex {boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3}$ y $latex { boldsymbol{e}_0, boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3}$ las bases de $latex mathbb{R}^3$ y $latex mathbb{M}^4$ respectivamente. Entonces podemos escribir, por ejemplo:

$latex boldsymbol{v} = v^0 boldsymbol{e}_0 + v^1 boldsymbol{e}_1 + v^2 boldsymbol{e}_2 + v^3 boldsymbol{e}_3 = sum_alpha v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^0 boldsymbol{e}_0 + v^i boldsymbol{e}_i$.

Aunque muchas veces no se escriba explicitamente, tener en cuenta que las coordenadas pueden ser, como en el ejemplo anterior, funciones:

$latex v(tau) = v^alpha (tau) boldsymbol{e}_alpha$.

Para cambiar de un sistema de coordenadas $latex { boldsymbol{e}_alpha }$ a otro $latex { boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} }$ basta expresar los vectores de una base  en la otra:

$latex boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = sum_alpha A^alpha_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha} = A^alpha_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha}$,

$latex boldsymbol{e}_{alpha} = sum_{tilde{alpha}} B_alpha^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = B_alpha^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}}$,

donde $latex B_alpha^{tilde{alpha}} = (A^{-1})_alpha^{tilde{alpha}}$, de manera que si $latex boldsymbol{v} = v^{alpha} boldsymbol{e}_alpha$ entonces:

$latex boldsymbol{v} = v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^alpha B^{tilde{alpha}}_{alpha} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = v^alpha (A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = v^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}}$

con:

$latex v^{tilde{alpha}} = v^{alpha}(A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} = (A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} v^{alpha}$.

Como ya hemos comentado, disponemos de un producto escalar $latex cdot$ y podemos definir una norma

$latex |boldsymbol{u}|^2 = boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u}$.

Volviendo a la idea de que tenemos una base $latex { e_{alpha}}$, entonces basta determinar el comportamiento del producto escalar respecto de los elementos de la base:

$latex boldsymbol{u} cdot boldsymbol{v} = u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = $

$latex bigg( = sum_{alpha} u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot sum_{beta} v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = sum_{alpha} sum_{beta} u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = $

$latex = sum_{alpha} sum_{beta} u^{alpha} v^{beta} (boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} ) = sum_{alpha} sum_{beta} (boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} ) u^{alpha} v^{beta} = bigg)$

$latex = g_{alpha beta} u^{alpha} v^{beta}$

La conmutatividad del producto escalar nos lleva a que $latex g_{alpha beta} = g_{beta alpha}$ y un cambio de coordenadas de $latex g_{alpha beta}$ a nuevas coordenadas tilde queda:

$latex g_{tilde{alpha} tilde{beta}} = boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} cdot boldsymbol{e}_{tilde{beta}} = A^{alpha}_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha} cdot A^{beta}_{tilde{beta}} boldsymbol{e}_b = A^{alpha}_{tilde{alpha}} A^{beta}_{tilde{beta}} boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} = A^{alpha}_{tilde{alpha}} A^{beta}_{tilde{beta}} g_{alpha beta}$

Podemos definir el producto escalar como:

$latex g(u,v) := u cdot v$

que es una $latex 2$-forma, $latex g:T_pM times T_pM longrightarrow mathbb{K}$ , o un tensor dos veces covariante, ya hablaremos.

En el caso particular de $latex mathbb{R}^3$  tenemos:

$latex g_{i j} = delta_{i j} := left(
begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
end{array}
right)$

donde, si tenemos $latex boldsymbol{u} = boldsymbol{u}^i = (u^1, u^2, u^3)^T$ en la base $latex { boldsymbol{e}_i}$:

$latex |boldsymbol{u}|^2 = boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u} = delta(boldsymbol{u},boldsymbol{u}) = delta_{ij} u^i u^j = (sum_i sum_j delta_{ij} u^i u^j) = u_j u^j = $

$latex = (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2$.

que es siempre positiva para todos los vectores salvo para el $latex boldsymbol{0}$. Nos ha aparecido en el cálculo, al multiplicar la matriz de la métrica por el primer vector, el mismo vector pero ahora como $latex 1$-forma: $latex u_i = (u^1, u^2, u^3)$, en la base $latex {boldsymbol{e}^i}$. Además, hemos visto como la métrica nos a permitido bajar un índice. Ya volveremos sobre esto.

y en $latex mathbb{M}^4$:

$latex g_{alpha beta} = eta_{alpha beta} := left(
begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
end{array}
right)$.

En este caso, $latex eta_{alpha beta} u^alpha u^{beta} = -(u^0)^2 + (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2$, dado lugar a tres clases de vectores en función del valor de su norma: espaciales, con norma positiva, temporales, con norma negativa y luminosos, con norma $latex 0$.

Para terminar, nos habla de las $latex 1-$formas, que nos son mas que operadores lineales $latex tilde{boldsymbol{k}}$ que a partir de un vector $latex boldsymbol{v}$ nos devuelve un escalar $latex phi$:

$latex phi = langle tilde{boldsymbol{k}}, boldsymbol{v} rangle$.

Desde el punto de vista del espacio vectorial $latex V$, las $latex 1$-formas son elementos del espacio dual $latex V^*$ (elementos del tipo $latex boldsymbol{tilde{k}}: V longrightarrow mathbb{K}$). Si volvemos a mirar componentes, la acción de la $latex 1$-forma queda totalmente determinada, debido a la linealidad, por su acción sobre los elementos de la base $latex { boldsymbol{e}_alpha}$:

$latex tilde{k_{alpha}} = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle$

de manera que si $latex boldsymbol{v} = v^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha}$ tenemos:

$latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = langle boldsymbol{tilde{k}}, v^{alpha}boldsymbol{e}_{alpha} rangle = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle v^{alpha} = tilde{k_{alpha}}v^{alpha}$.

Por tanto,

Como tenemos una métrica, podemos relacionar cualquier vector $latex boldsymbol{k}$ con una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ de manera que:

$latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{v}$

es decir, que dado $latex boldsymbol{k} in V$ entonces le asociamos $latex boldsymbol{tilde{k}} in V^*$:

$latex boldsymbol{tilde{k}}: V longrightarrow mathbb{K} ,/, v mapsto boldsymbol{tilde{k}}(v) = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{v}$

¿Y cuales son sus componentes $latex tilde{k}_{alpha}$? Sencillamente:

$latex tilde{k}_{alpha} = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{e}_{alpha} = k^{beta} boldsymbol{e}_{beta} cdot boldsymbol{e}_{alpha} = g_{alpha beta} k^{beta}$.

De la misma manera:

$latex k^{alpha} = g^{alpha beta} tilde{k}_{beta}$, donde $latex g^{alpha beta}$ es la inversa de $latex g_{alpha beta}$ ($latex g^{alpha beta}g_{beta gamma} = delta^{alpha}_{gamma}$).

Finalmente, se puede demostrar que $latex g^{alpha beta} tilde{k}_{alpha} tilde{l}_{beta} = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{l}$.

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Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos $latex (M,g)$, donde $latex M$ es una variedad diferencial abstracta y $latex g$ es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas de función inversa e implicita, campos vectoriales, campos tensoriales, conexiones, corchetes y derivada de Lie, grupos de Lie, etc.) sin referirnos en ningún momento a métricas. Sin embargo, lo que si que determina es la variedad de Riemann. La métrica nos permite hablar de longitudes, angulos, areas y en general cualquier cantidad íntrinseca de la superficie. Dos variedades extrínsecamentes diferentes son equivalentes desde el punto de vista intrínseco, es decir, desde el punto de vista de los habitantes de la variedad, si las medidas que pueden tomar dentro de la variedad son iguales y, por tanto, indistinguibles por éstos. Desde este punto de vista, que es el nuestro, son indistinguibles.

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Se pueden pensar las geodésicas de una variedad $latex M$ como curvas $latex gamma$ que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas.

Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales ($latex D_{vec{v}} Y$ , que podemos ver como $latex (nabla Y) cdot vec{v}$, que nos permite definir $latex D_X Y$) no tiene porque estar en el espacio tangente de una variedad arbitraria, necesitamos aprender a derivar campos vectoriales en éstas.

Si la variedad está contenida en un espacio ambiente, siempre podemos quedarnos con la parte tangente de las derivadas direccionales, es decir, siempre podemos proyectar ($latex D_X^T Y$), pero ¿qué pasa cuando no tenemos la variedad embebida en un espacio ambiente? o, equivalentemente, ¿qué pasa cuando queremos trabajar de manera intrínseca? Necesitamos introducir el concepto de conexión.

Una conexión nos permitirá derivar campos vectoriales sobre variedades abstractas y definir así la aceleración de una curva como la variación del campo velocidad a lo largo de ésta. Se puede definir una conexión sobre una variedad $latex M$ como una aplicación:

$latex nabla: mathcal{X}(M) times mathcal{X}(M) longrightarrow mathcal{X}(M)$

cumpliendo:

  1. $latex nabla$ es $latex mathcal{C}^infty (M)$-lineal en la primera variable.
  2. $latex nabla$ es $latex mathbb{R}$-lineal en la segunda variable.
  3. $latex nabla_X (fY) = X(f) Y + f nabla_X Y$ para toda función $latex f$.

Llamamos al nuevo campo vectorial $latex nabla_X Y$ derivada covariante de $latex Y$ con respecto a $latex X$ y $latex nabla_{X_p} Y$ es la derivada direccional de $latex Y$ en la dirección $latex X_p$ sobre la variedad abstracta.

Esta definición es poco operativa. Si expresamos los campos en una carta $latex (U,phi)$, entonces $latex nabla_X Y$ queda totalmente determinado por los símbolos de conexión $latex Gamma_{ij}^k$ determinados mediante:

$latex nabla_{frac{partial}{partial phi^i}} frac{partial}{partial phi^j} = sum_k Gamma_{ij}^k frac{partial}{partial phi^k}$

en las coordenadas de la carta.

Una consideración importante es que las conexiones existen sin la necesidad de las métricas, es decir, que podemos hacer referencia a transporte paralelo y a geodésicas en una variedad sin necesidad de tener definida una métrica sobre ésta. Sin embargo, un resultado sorprendente, fundamental, nos garantiza la construcción de una conexión única coherente con la métrica: la conexión de Levi-Civita.

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Como ya comentamos, de la tesis de Bauswein, adoptando la foliación $latex 3+1$ del espacio-tiempo la métrica queda:

$latex ds^2 = (- alpha^2 + beta_i beta^i) dt^2 + 2 beta_i dx^i dt + gamma_{ij} dx^i dx^j$

En la aproximación CFC resolvemos repetidamente el problema de valor inicial. De acuerdo con esta aproximación, la parte espacial de la métrica se puede escribir como:

$latex gamma_{ij} = psi^4 delta_{ij}$

donde $latex psi$ es el factor conforme (una transformación conforme preserva los ángulos. En geometría Riemanniana, dos métricas de Riemann $latex g$ y $latex h$ sobre una variedad $latex M$ son conformemente equivalentes si $latex g=uh$ para alguna función positiva $latex u$ sobre $latex M$. La función $latex u$ es el factor conforme).

De esta manera, las ecuaciones de Einstein, asumiendo $latex K := tr(K_{ij}) = K_i^i =0$, se reducen al sistema de cinco PDE elipticas no lineales acopladas:

$latex Delta psi = -2 pi psi^5 E – frac{1}{8} psi^5 K_{ij}K^{ij}$

$latex Delta(alpha psi) = 2 pi alpha psi^5 (E + 2S) + frac{7}{8} alpha psi^5 K_{ij}K^{ij}$

$latex Delta beta^i + frac{1}{3}partial^i partial_j beta^j = 16 pi alpha rho W + 2 psi^{10} K^{ij} partial_j (frac{alpha}{psi^6}) =: S_beta$

donde $latex E = rho h W^2 – P$, $latex S = rho h (W^2 -1) + 3P$ y

$latex K_{ij} = frac{psi^4}{2 alpha} (delta_{il} partial_j beta_l + delta_{jl} partial_i beta^l – frac{2}{3} delta_{ij} partial_k beta^k )$

que podemos escribir de manera mas compacta como:

$latex Delta B^i = S_beta$

$latex Delta chi = partial_i B^i$

si definimos $latex beta^i = B^i – frac{1}{4} partial_i chi$ y que es un sistema tipo Poisson que puede ser resuelto iterativamente hasta la convergencia con un método multigrid.

Las condiciones en la frontera se dan mediante desarrollo multipolar () de los terminos fuente, que son no compactas, hasta el armónico quadrupolar.

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En [Monaghan 1992] comenta el caso del método SPH en relatividad especial.

Para empezar asumimos que el fluido está constituido por bariones, por lo que el tensor de energia-momento es:

$latex T^{mu nu} = (n m_0 c^2 + n tau + P) U^mu U^nu + P g^{mu nu}$

donde los indices griegos van de $latex 0$ a $latex 3$ y los coeficientes de la métrica se definen

$latex g_{00} = -1$ y $latex g_{ij} = 1$

En estas ecuaciones, $latex n$ representa la densidad de bariones, $latex P$ es la presión, $latex tau$ la energía térmica, $latex c$ la velocidad del sonido, $latex U^nu$ la 4-velocidad con $latex U_nu U^nu = -1$ y $latex m_0$ la masa.

Las ecuaciones del momento se siguen de:

$latex frac{partial}{partial x^nu} T^{i nu} = 0$

que es:

$latex frac{d}{dt} q = – frac{1}{N} nabla P$

y en forma SPH queda:

$latex frac{d}{dt}q_a = -sum_b nu_b (frac{P_a}{n_a^2} + frac{P_b}{N_b^2}) nabla_a W_{ab}$

donde $latex nu_b$ es el número de bariones asociados a la partícula $latex b$.

Y la de la energía se sigue de:

$latex frac{partial}{partial x^j} T^{0j} = 0$

que es:

$latex frac{d}{dt} epsilon = – frac{1}{N} nabla cdot (Pv)$

y en foma SPH queda:

$latex frac{d}{dt} epsilon_a = -sum_b m_b (frac{P_a v_a}{N_a^2} + frac{P_b v_b}{N_b^2}) nabla W_{ab} $

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