partículas

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Definimos a los kernels como funciones del tipo:

$latex W_{ab}=W(boldsymbol{r}_a – boldsymbol{r}_b,h)$,

donde $latex a$ es la partícula en la que está centrada la función y $latex b$ es una partícula dentro del soporte compacto de la función kernel, controlado éste último por $latex h$, la smoothing length (longitud de suavizado).

En este post básicamente pretendo aclarar lo que significa $latex nabla_a W_{ab}$ cuando, por ejemplo, tenemos definido el kernel como:

$latex W(q) = alpha_D exp (-q^2)$ con $latex 0 leq q leq 2$.

Para empezar, $latex alpha_D$ es una constante de dimensionalidad, por lo que la fórmula está escrita de manera compacta y sirve para cualquier dimensión. Además, tenemos que $latex q = frac{r}{h}$, siendo $latex r$ la distancia ente las partículas, por lo que:

$latex r = |boldsymbol{r}_a – boldsymbol{r}_b| =^{(3D)} sqrt{(x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2 + (z_a-z_b)^2}$.

Si fijamos la posición de la partícula $latex a$, la función que nos da la distancia de esta a cualquier punto dentro del soporte compacto es:

$latex r_a (boldsymbol{r}) = |boldsymbol{r}_a-boldsymbol{r}| =^{(3D)} sqrt{(x_a-x)^2 + (y_a-y)^2 + (z_a-z)^2}$,

siendo $latex q_a$ lo mismo añadiendo el factor $latex h$.

Por lo tanto, en este caso tenemos, en tres dimensiones y donde $latex b$ es una partícula en una posición arbitraria $latex (x,y,z)$:

$latex nabla_a W_{ab}(q) =^{(3D)} (partial_x W_{ab}(q_a), partial_y W_{ab}(q_a), partial_z W_{ab}(q_a)) =$

$latex = alpha_D exp(-q^2) (-2q) (partial_x (q_a), partial_y (q_a), partial_z (q_a)) = alpha_D exp(-q^2) (-2q) nabla_a q_a$

donde:

$latex nabla_a q_a = frac{-1}{h r_a} (x_a-x,y_a-y,z_a-z)$.

De la misma manera, si tenemos:

$latex W(q) = alpha_D begin{cases} 1-frac{3}{2} q^2 + frac{3}{4} q^3, 0 leq q < 1\ frac{1}{4} (2-q)^3, 1 leq q < 2 \ 0, q geq 2 end{cases}$

entonces:

$latex nabla_a W_{ab}(q) = alpha_D begin{cases} (-3q + frac{9}{4}q^2) nabla_a q_a, 0 leq q < 1 \ -frac{3}{4} (2-q)^2 nabla_a q_a, 1 leq q < 2 \ 0, q geq 2 end{cases}$

Así pues:

$latex nabla W(q) = frac{d}{dq} W(q) nabla q$.

 

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