símbolos Christoffel

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El motivo es que, para la definición de los símbolos de Christoffel, estamos asumiendo, de manera implícita, que trabajamos en una base coordenada o base holonómica, que son bases donde el corchete de Lie de cualquier par distinto es cero:

$latex [e_i,e_j] = 0$ si $latex i neq j$.

Pero si la base no es holonómica, entonces la definición incorpora tres términos más, los coeficientes de conmutación de la base, y llamamos a los símbolos coeficientes de la conexión. Si la base es ortonormal, estos reciben el nombre de coeficientes de rotación de Ricci.

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Una conexión afín (o derivación covariante) permite

La derivada covariante del campo vectorial queda:

donde el primer sumando corresponde a la derivada parcial del campo respecto de la base y la segunda a la variación de la propia base curvilínea respecto de las lineas coordenadas.

Aunque la formula anterior corresponde a la derivada covariante de un campo vectorial contravariante, es fácilmente extensible a cualquier tensor $latex (p,q)$. La derivada covariante de un tensor de este tipo queda:

$latex mathcal{D}_{hat{k}} T^{hat{i}_1 cdots hat{i}_p}_{hat{j}_1 cdots hat{j}_q} = e_{hat{k}}^l partial_{hat{k}} T^{hat{i}_1 cdots hat{i}_p}_{hat{j}_1 cdots hat{j}_q} + Sigma_{i=1}^p Gamma_{}^{} T_{}^{hat{j}_1 cdots hat{j}_q} – Sigma_{i=1}^q Gamma_{}^{} T_{hat{i}_1 cdots hat{i}_p}^{}$

donde:

$latex Gamma^{alpha}_{beta gamma} = $

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Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0$ y $latex Q = 0$). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

$latex g = – (1-frac{2Mr}{Sigma})dt otimes dt – frac{4aMrsin^2theta}{Sigma}dt tilde{otimes} dvarphi + $

$latex + frac{Sigma}{Delta}dr otimes dr + Sigma dtheta otimes dtheta + (r^2+a^2+frac{2a^2Mrsin^2theta}{Sigma})sin^2theta dvarphi otimes dvarphi$

donde $latex a:=frac{J}{M}$, $latex Delta:= r^2 – 2Mr + a^2$ y $latex Sigma = r^2 + a^2 cos^2 theta$. El agujero negro está rotando en la dirección $latex +varphi$ y el espín está restringido al rango $latex 0 leq frac{a}{M} leq 1$. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando $latex a=0$.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en $latex 4$ dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

$latex left(
begin{array}{cccc}
-1+frac{2 M text{x2}}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -frac{2 J text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} \
0 & frac{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}}{frac{J^2}{M^2}-2 M text{x2}+text{x2}^2} & 0 & 0 \
0 & 0 & text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2} & 0 \
-frac{2 J text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & text{Sin}[text{x3}]^2 left(frac{J^2}{M^2}+text{x2}^2+frac{2 J^2 text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{M left(text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}right)}right)
end{array}
right)$

y en un momento obtenemos:

$latex Gamma^{1}_{alpha beta}$:

Gamma1

$latex Gamma^2_{alpha beta}$:

Gamma2

$latex Gamma^3_{alpha beta}$:

Gamma3

$latex Gamma^4_{alpha beta}$:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

$latex frac{d^2}{dt^2}x^i + Gamma^i_{jk} frac{d}{dt}x^j frac{d}{dt}x^k = 0$.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

$latex begin{cases} ddot{t} + ldots = 0 \ ddot{r} + ldots = 0 \ ddot{theta} + ldots = 0 \ ddot{varphi} + ldots = 0 end{cases}$

donde, por ejemplo, para $latex theta$ tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

$latex ddot{theta} – $

$latex – frac{J^2 M^5 r text{Sin}[theta]}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{t}^2 + frac{J^2 M^2 text{Sin}[theta]}{2 left(J^2+M^2 r (-2 M+r)right) left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)} dot{r}^2 – frac{J^2 text{Sin}[theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 text{Cos}[theta]} dot{theta}^2 – $

$latex -frac{left(J^2+M^2 r^2right) text{Cos}[theta] left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^2 text{Sin}[theta]+4 J^2 M^3 r text{Cos}[theta] left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right) text{Sin}[theta]^3+J^4 M^3 r text{Sin}[theta]^5}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{varphi}^2 + $

$latex + frac{J M^4 r left(4 M^2 r^2 text{Cos}[theta]+J^2 (3+text{Cos}[2 theta])right) text{Sin}[theta]}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{t} dot{varphi} + frac{r}{r^2+frac{J^2 text{Cos}[theta]}{M^2}} dot{r} dot{theta} = 0$

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