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tensor Einstein

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Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas.

Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo hizo Einstein, o de manera formal a partir de un principio variacional partiendo de un Lagrangiano adecuado, como lo hizo Hilbert, se escriben en su forma mas compacta como (signatura $latex (-,+,+,+)$ y $latex G=c=1$):

$latex G_{munu} = 8 pi T_{munu}$

donde $latex G_{munu}$ es el tensor de curvatura de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo, $latex 8 pi$ es un factor de normalización para obtener el límite Newtoniano correcto y $latex T_{munu}$ es el tensor de energia-momento que representa la distribución de materia y energía. Como $latex G_{mu nu}, T_{mu nu} in mathcal{M}_{16}(mathbb{R})$, tenemos $latex 16$ ecuaciones que se reducen a $latex 10$ por ser simétricos los dos tensores en sus dos índices. Son $latex 10$ PDEs acopladas en $latex 4D$.

El tensor de Einstein se define como:

$latex G_{mu nu} := R_{mu nu} – frac{1}{2} g_{mu nu}R$

donde $latex R_{mu nu}:=R^lambda_{mu lambda nu}$ es el tensor de Ricci ($latex R_{mu nu} in mathcal{M}_{16}(mathbb{R})$) que se obtiene contrayendo dos índices libres del tensor de curvatura de Riemann y $latex R:=g^{mu nu}R_{mu nu}$ es la traza del tensor de Ricci o la curvatura escalar.

El tensor curvatura está definido para toda variedad dotada de una conexión $latex nabla$:

$latex R(u,v)w = nabla_u nabla_v w – nabla_v nabla_u w – nabla_{[u,v]}w$

y nos permite hablar de transporte paralelo, nos dice el cambio que sufre un vector al transportalo paralelamente. En una variedad de Riemann siempre podemos definir una conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita, que expresada en componentes queda:

$latex R^{rho}_{sigma mu nu} = partial_mu Gamma^rho_{sigma nu} – partial_nu Gamma^rho_{sigma mu} + Gamma^alpha_{sigma nu} Gamma^rho_{alpha mu} – Gamma^alpha_{sigma mu} Gamma^rho_{alpha nu}$

y que con $latex 4$ índices en $latex n$ dimensiones tiene $latex n^4$ componentes, de las que solo $latex 20$ (si $latex n=4$ y $latex 4^4=256$), al tener en cuenta simetrías, son independientes. Se puede demostrar que $latex R=0 Leftrightarrow$ variedad plana.

Recordar que se pueden subir y bajar índices contrayendo con el tensor métrico o su inverso:

$latex v_alpha = g_{alpha beta} v^beta$

$latex v^alpha = g^{alpha beta} v_beta$

$latex R_{rho sigma mu nu} = g_{rho alpha} R^{alpha}_{sigma mu nu}$

En el último ejemplo obtenemos la versión de la curvatura de Riemann totalmente covariante, un tensor de tipo $latex (0,4)$ (los elementos de la base pasan de ser de la forma $latex frac{partial}{partial_{x^alpha}} otimes dx^beta otimes dx^gamma otimes dx^delta$ de un tensor de tipo $latex (1,3)$ a ser de la forma $latex dx^alpha otimes dx^beta otimes dx^gamma otimes dx^delta$).

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades:

  1. Antisimetrías: $latex R_{alpha beta gamma delta} = – R_{alpha beta delta gamma} = -R_{beta alpha gamma delta}$.
  2. Simetrías: $latex R_{alpha beta gamma delta} = R_{gamma delta alpha beta}$.
  3. Primera identidad de Bianchi: $latex R_{alpha[betagammadelta]} = R_{alphabetagammadelta} + R_{alphagammadeltabeta} + R_{alphadeltabetagamma} = 0$.
  4. Segunda identidad de Bianchi:$latex R_{alphabeta[gammadelta;epsilon]} = R_{alphabetagammadelta;epsilon} + R_{alphabetadeltaepsilon;gamma} + R_{alphabetaepsilongamma;delta} = 0$.

El tensor de energia-momento describe la densidad de energia, la densidad de momento y el flujo de momento de un campo de materia:

$latex T^{00}$ = densidad de energía.

$latex T^{0i} = $ densidad de momento.

$latex T^{ij} = $ flujo de momento $latex i$ a través de la superficie $latex j$.

Las identidades de Bianchi son muy importantes porque nos llevan a:

$latex G^{mu nu},_{;nu} = 0 Rightarrow T^{mu nu},_{;nu} = 0$

que son las cuatro ecuaciones que representan la conservación local de la energía y del momento (la perdida de energía y momento en una región se compensa con el flujo de energía y momento fuera de esa región) donde $latex ;$ indica la derivada covariante.

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