tensor Ricci

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Tiene Terry Tao una explicación en 20 posts de la demostración de la conjetura de Poincaré hecha por Perelman.

Enlazo aquí su Lecture 0 que nos puede servir tanto como introducción de los conceptos básicos de la geometría Riemanniana, que hemos tratado anteriormente en unos cuantos posts, como para ir leyendo el resto de posts en los que se sumerge en la explicación de la (complicadísima) demostración…

Enlazo también un artículo interesante sobre Grisha en el que se puede leer algo asombroso:

Todos sus compañeros de escuela y del club de matemáticas en el que estaba inscrito (en la antigua URSS los clubes de matemáticas, a los que asistían los estudiantes después de clases, jugaban un papel central en su formación) recuerdan como rasgo sobresaliente de Perelman no su rapidez ni su elegancia o brillantez para resolver un problema, sino más bien el nada despreciable hecho de que jamás, ni una sola vez, hubo un error en sus soluciones.

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Calculamos la curvatura escalar $latex R$ para la métrica de Kerr-Newman, es decir, para la solución analítica a las ecuaciones de Einstein en presencia de momento y de carga ($latex J neq 0$ y $latex Q neq 0$).

La métrica es:

$latex g = -frac{J^2+M^2 left(Q^2+r (-2 M+r)right)+J^2 text{Sin}[theta ]^2}{M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta ]^2} dt otimes dt + $

$latex + 2 frac{J M left(Q^2-2 M rright) text{Sin}[theta ]^2}{M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta ]^2} dt tilde{otimes} dvarphi + $

$latex + frac{M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta ]^2}{J^2+M^2 left(Q^2+r (-2 M+r)right)} dr otimes dr +$

$latex r^2+frac{J^2 text{Cos}[theta ]^2}{M^2} dtheta otimes dtheta +$

$latex + frac{left(frac{J^2}{M^2}+r^2right)^2 text{Sin}[theta ]^2}{r^2+frac{J^2 text{Cos}[theta ]^2}{M^2}}+frac{J^2 text{Sin}[theta ]^4}{M^2} dvarphi otimes dvarphi$.

Como ya hemos hecho con la métrica de Kerr, solo mostramos una componente de cada elemento calculado debido a su extrema complejidad (como para realizar los cálculos manualmente…):

$latex R^{r}_{theta varphi t}$:

tRiemann_kn_rthvpt

$latex R_{r theta}$:

tRicci_kn_rth

Utilizando nuestras funciones, obtenemos los siguientes gráficos:

$latex M=0.9, J=0.1, Q=0.5$:

R_M09_J01_Q05

$latex M=0.9, J=0.1, Q=0.25$:

R_M09_J01_Q025

$latex M=1, J=1, Q=1$:

R_M1_Q1_J1

$latex M=0.1, J=0.9, Q=0.5$:

R_M01_J09_Q05

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Calcularemos el tensor de Riemann, el de Ricci y la curvatura escalar para la métrica de Kerr correspondiente a un agujero negro en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0, Q=0$), cuya métrica ya utilizamos.

A continuación, mostramos nuestras funciones para realizar los calculos automáticamente:

tensor de Riemann:

riemanNd

tensor de Ricci:

ricciNd

curvatura escalar:

rNd

y obtenemos (solo escribiremos una elemento de cada debido a su complejidad):

$latex R^{t}_{ttvarphi}$:

tRiemann_rtttvp

donde $latex x1=t, x2=r, x3=theta, x4=varphi$.

$latex R_{rtheta}$:

tRicci_rth

y dos gráficas correspondientes a su curvatura escalar $latex R$:

curvaturaEscalar3D2

curvaturaEscalar3D

En la definición de la métrica, tenemos la restricción $latex 0 leq frac{a}{M} leq 1$, que en nuestro caso, como imponemos $latex M=1$, nos queda $latex 0 leq J leq 1$. A continuación una serie de gráficos en los que hacemos el valor de

$latex J=0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 1$:

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Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular.

El tensor de curvatura de Riemann:

$latex R^{a}_{bcd} = partial_c Gamma^{a}_{bd} – partial_d Gamma^{a}_{bc} + Gamma^{a}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{a}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$,

el tensor de Ricci:

$latex R_{ab} = R^{c}_{acb} = partial_c Gamma^{c}_{bd} – partial_d Gamma^{c}_{bc} + Gamma^{c}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{c}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$,

la curvatura escalar:

$latex R = R^{a}_{a}$

y el tensor de Weyl:

$latex C_{abcd} = R_{abcd} – $

$latex – frac{1}{2}(g_{ac}R_{bd}-g_{ad}R_{bc}-g_{bc}R_{ad}+g_{bd}R_{ac}) + frac{1}{6}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) R$

Empezamos con la esfera $latex S^2(frac{1}{r^2})$. Recordamos los símbolos de Christoffel que encontramos:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta} = 0, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta} = 0, Gamma^{theta}_{varphi varphi} = -sin theta cos theta$,

$latex Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta} = cot theta, Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = 0$

(Escribir ahora las ecuaciones de las geodésicas es inmediato: una equacion por variable contravariante donde aparece la segunda derivada de esta y un termino para cada símbolo no nulo de la fila con la primera derivada de las variables covariantes:

$latex begin{cases} ddot{theta} – dot{varphi}^2 sin theta cos theta = 0 \ ddot{varphi} + 2 dot{theta} dot{varphi} cot theta = 0 end{cases}$

que coincide con lo que calculamos en este post de otra manera sin necesidad de los símbolos de Christoffel).

Tenemos cuatro índices y cada uno puede tomar dos valores, pues estamos trabajando con superificies, variedades de dos dimensiones, por lo que tenemos un tensor de con 16 componentes (en el caso de estar trabajando con una variedad de cuatro dimensiones como es espacio-tiempo, el tensor de Riemann tiene 256 componentes..). Aunque existe una serie de propiedades que minimizan el número de componentes de $latex n^4$ a $latex frac{1}{12}n^2(n^2-1)$ (simetrías, antisimetrías e identidades de Bianchi) vamos a calcularlos todos aquí para practicar.

$latex R^{theta}_{ theta theta theta} = partial_theta Gamma^{theta}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta theta varphi} = partial_theta Gamma^{theta}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta varphi theta} = partial_varphi Gamma^{theta}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 0$

$latex R^{theta}_{ theta varphi varphi} = partial_varphi Gamma^{theta}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 0$

$latex R^{theta}_{ varphi theta theta} = 0$

$latex R^{theta}_{ varphi theta varphi} = $

$latex = partial_theta Gamma^{theta}_{varphi varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{varphi theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{varphi varphi} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{varphi varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{varphi theta} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{varphi theta} = sin^2 theta$

$latex R^{theta}_{ varphi varphi theta} = $

$latex = partial_varphi Gamma^{theta}_{varphi theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{varphi varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{varphi theta} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{varphi theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{varphi varphi} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = -sin^2 theta$

$latex R^{theta}_{varphi varphi varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ theta theta theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{ theta theta varphi} = partial_theta Gamma^{varphi}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{varphi}_{theta theta} + Gamma^{varphi}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{varphi}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{varphi}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{varphi}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} = -1$

$latex R^{varphi}_{ theta varphi theta} = partial_varphi Gamma^{varphi}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{varphi}_{theta varphi} + Gamma^{varphi}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{varphi}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{varphi}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{varphi}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 1$

$latex R^{varphi}_{ theta varphi varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi theta theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi theta varphi} = 0$

$latex R^{varphi}_{ varphi varphi theta} = 0$

$latex R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = 0$

Continuamos con el tensor de Ricci. Podemos calcularlo a partir de la formula o a partir del tensor de Riemann, que ya lo tenemos. Lo haremos de esta última manera:

$latex R_{theta theta} = R^{a}_{theta a theta} = R^{theta}_{theta theta theta} + R^{varphi}_{theta varphi theta} = 1$

$latex R_{theta varphi} = R^{a}_{theta a varphi} = R^{theta}_{theta theta varphi} + R^{varphi}_{theta varphi varphi} = 0$

$latex R_{varphi theta} = R^{a}_{varphi a theta} = R^{theta}_{varphi theta theta} + R^{varphi}_{varphi varphi theta} = 0$

$latex R_{varphi varphi} = R^{a}_{varphi a varphi} = R^{theta}_{varphi theta varphi} + R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = sin^2 theta$.

Finalmente, calculamos la curvatura escalar:

$latex g^{cb}R_{ab} = R^c_a$,

$latex R^a_a = g^{theta theta}R_{theta theta} + g^{theta varphi}R_{theta varphi} + g^{varphi theta}R_{varphi theta} + g^{varphi varphi}R_{varphi varphi} = frac{1}{r^2}1+frac{1}{r^2 sin^2 theta} sin^2 = frac{2}{r^2}$,

que es, tal y como esperabamos, la mitad de la curvatura de Gauss ($latex R = 2K$).

Seguimos ahora con la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{r^2})$. Los símbolos de Christoffel eran:

$latex Gamma^{theta}_{theta theta} = -csc theta sec theta, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta} = 0, Gamma^{theta}_{varphi varphi} = -sin^2 theta tan theta$,

$latex Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta} = cot theta, Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = 0$

(Aprovechamos otra vez, conocidos los símbolos de Christoffel, para escribir las ecuaciones de las geodésicas:

$latex begin{cases} ddot{theta} – dot{theta}^2 csc theta sec theta – dot{varphi}^2 sin^2 theta tan theta = 0 \ ddot{varphi} + 2 dot{theta} dot{varphi} cot theta = 0 end{cases}$

que debería coincidir con la de aquí).

Como es bastante laborioso, aquí otro programita, esta vez para el tensor de Riemann:

tensorRiemann

y los resultados:

tensorRiemannPseudoesfera

por tanto, Ricci es:

$latex R_{theta theta} = R^{a}_{theta a theta} = R^{theta}_{theta theta theta} + R^{varphi}_{theta varphi theta} = – cot^2 theta$

$latex R_{theta varphi} = R^{a}_{theta a varphi} = R^{theta}_{theta theta varphi} + R^{varphi}_{theta varphi varphi} = 0$

$latex R_{varphi theta} = R^{a}_{varphi a theta} = R^{theta}_{varphi theta theta} + R^{varphi}_{varphi varphi theta} = 0$

$latex R_{varphi varphi} = R^{a}_{varphi a varphi} = R^{theta}_{varphi theta varphi} + R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = -sin^2 theta$.

y la curvatura escalar:

$latex R=R^a_a = g^{theta theta}R_{theta theta} + g^{theta varphi}R_{theta varphi} + g^{varphi theta}R_{varphi theta} + g^{varphi varphi}R_{varphi varphi} = $

$latex = frac{1}{r^2 cot^2 theta}(-cot^2 theta)+frac{1}{r^2 sin^2 theta} (-sin^2) = -frac{2}{r^2}$,

que vuelve a ser $latex R = 2K$. Aquí es resultado con dos nuevas funciones programadas para el tensor de Ricci y la curvatura escalar:

RiemannRicciRH2

Por último, para $latex mathbb{R}^2$ todo es $latex 0$.

Finalmente una gráfica de todas las curvaturas escalares que hemos encontrado:

curvaturaEscalar2D

Los colores son los mismos que los de las superficie correspondiente de este post y añadiendo en rojo la curvatura escalar del toro. Recordar que, en superficies, la curvatura escalar es el doble de la curvatura Gauss o curvatura intrínseca y esta, a su vez, es el producto de las dos curvaturas principales.

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Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo “Introducción a la relatividad numérica” de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas.

Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo hizo Einstein, o de manera formal a partir de un principio variacional partiendo de un Lagrangiano adecuado, como lo hizo Hilbert, se escriben en su forma mas compacta como (signatura $latex (-,+,+,+)$ y $latex G=c=1$):

$latex G_{munu} = 8 pi T_{munu}$

donde $latex G_{munu}$ es el tensor de curvatura de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo, $latex 8 pi$ es un factor de normalización para obtener el límite Newtoniano correcto y $latex T_{munu}$ es el tensor de energia-momento que representa la distribución de materia y energía. Como $latex G_{mu nu}, T_{mu nu} in mathcal{M}_{16}(mathbb{R})$, tenemos $latex 16$ ecuaciones que se reducen a $latex 10$ por ser simétricos los dos tensores en sus dos índices. Son $latex 10$ PDEs acopladas en $latex 4D$.

El tensor de Einstein se define como:

$latex G_{mu nu} := R_{mu nu} – frac{1}{2} g_{mu nu}R$

donde $latex R_{mu nu}:=R^lambda_{mu lambda nu}$ es el tensor de Ricci ($latex R_{mu nu} in mathcal{M}_{16}(mathbb{R})$) que se obtiene contrayendo dos índices libres del tensor de curvatura de Riemann y $latex R:=g^{mu nu}R_{mu nu}$ es la traza del tensor de Ricci o la curvatura escalar.

El tensor curvatura está definido para toda variedad dotada de una conexión $latex nabla$:

$latex R(u,v)w = nabla_u nabla_v w – nabla_v nabla_u w – nabla_{[u,v]}w$

y nos permite hablar de transporte paralelo, nos dice el cambio que sufre un vector al transportalo paralelamente. En una variedad de Riemann siempre podemos definir una conexión libre de torsión, la conexión de Levi-Civita, que expresada en componentes queda:

$latex R^{rho}_{sigma mu nu} = partial_mu Gamma^rho_{sigma nu} – partial_nu Gamma^rho_{sigma mu} + Gamma^alpha_{sigma nu} Gamma^rho_{alpha mu} – Gamma^alpha_{sigma mu} Gamma^rho_{alpha nu}$

y que con $latex 4$ índices en $latex n$ dimensiones tiene $latex n^4$ componentes, de las que solo $latex 20$ (si $latex n=4$ y $latex 4^4=256$), al tener en cuenta simetrías, son independientes. Se puede demostrar que $latex R=0 Leftrightarrow$ variedad plana.

Recordar que se pueden subir y bajar índices contrayendo con el tensor métrico o su inverso:

$latex v_alpha = g_{alpha beta} v^beta$

$latex v^alpha = g^{alpha beta} v_beta$

$latex R_{rho sigma mu nu} = g_{rho alpha} R^{alpha}_{sigma mu nu}$

En el último ejemplo obtenemos la versión de la curvatura de Riemann totalmente covariante, un tensor de tipo $latex (0,4)$ (los elementos de la base pasan de ser de la forma $latex frac{partial}{partial_{x^alpha}} otimes dx^beta otimes dx^gamma otimes dx^delta$ de un tensor de tipo $latex (1,3)$ a ser de la forma $latex dx^alpha otimes dx^beta otimes dx^gamma otimes dx^delta$).

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes propiedades:

  1. Antisimetrías: $latex R_{alpha beta gamma delta} = – R_{alpha beta delta gamma} = -R_{beta alpha gamma delta}$.
  2. Simetrías: $latex R_{alpha beta gamma delta} = R_{gamma delta alpha beta}$.
  3. Primera identidad de Bianchi: $latex R_{alpha[betagammadelta]} = R_{alphabetagammadelta} + R_{alphagammadeltabeta} + R_{alphadeltabetagamma} = 0$.
  4. Segunda identidad de Bianchi:$latex R_{alphabeta[gammadelta;epsilon]} = R_{alphabetagammadelta;epsilon} + R_{alphabetadeltaepsilon;gamma} + R_{alphabetaepsilongamma;delta} = 0$.

El tensor de energia-momento describe la densidad de energia, la densidad de momento y el flujo de momento de un campo de materia:

$latex T^{00}$ = densidad de energía.

$latex T^{0i} = $ densidad de momento.

$latex T^{ij} = $ flujo de momento $latex i$ a través de la superficie $latex j$.

Las identidades de Bianchi son muy importantes porque nos llevan a:

$latex G^{mu nu},_{;nu} = 0 Rightarrow T^{mu nu},_{;nu} = 0$

que son las cuatro ecuaciones que representan la conservación local de la energía y del momento (la perdida de energía y momento en una región se compensa con el flujo de energía y momento fuera de esa región) donde $latex ;$ indica la derivada covariante.

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