tensor

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En su Lecture II, Christopher empieza hablando del gradiente $latex boldsymbol{d}f$ de un campo escalar $latex f$ como una $latex 1$-forma (transformable en vector subiendo un índice) importante que nos permitirá definir bases de vectores y $latex 1-$formas en espacios curvados.

La explicación está bastante clara y lo que hace es traducir lo que nos encontrariamos trabajando con variedades a un lenguaje comprensible para aquellos que aun no las conocen, es decir, existe una manera general de construir la diferencial en un punto de una función con dominio en una variedad y los espacios planos con los que estamos trabajando no son mas que casos particulares de variedades donde las cartas son la identidad (podemos pensar $latex mathbb{R}^3$ como una variedad diferenciable con la carta identidad: $latex (mathbb{R}^3,id)$. A partir de ahí podemos construir las variedades tangentes, $latex T_mmathbb{R}^3 cong mathbb{R}^3$, y cotangente y en esta última aparece la diferencial como una $latex 1$-forma).

El resumen es, sean $latex alpha(t)$ una trayectoria y $latex f$ un campo escalar en el espacio plano considerado, entonces podemos construir una función $latex (f circ alpha)(t) = f(alpha(t))$ que, por ser una función de una variable, podemos derivar y evaluar en $latex t=0$:

$latex frac{d}{dt}(f circ alpha)(t)|_{t=0}$,

por lo que podemos escribir:

$latex frac{partial}{partial boldsymbol{v}} f := frac{d}{dt}$ $latex (f circ alpha)(t) = langle boldsymbol{d}f, boldsymbol{v} rangle$

donde $latex boldsymbol{v} = frac{d}{dt}alpha(t)$ y $latex boldsymbol{d}f$ es la $latex 1$-forma diferencial o gradiente de $latex f$.

En un espacio plano se puede escoger un sistema de referencia en el que las coordenadas $latex x^alpha$ son las componentes de vector de posición $latex boldsymbol{x} = x^alpha boldsymbol{e}_alpha$. En este caso:

$latex langle boldsymbol{d}(x^alpha) , boldsymbol{v} rangle = frac{d}{dt}x^alpha = v^alpha$,

por lo que $latex $, formando una base. Definimos $latex boldsymbol{d}(x^alpha) := boldsymbol{omega}^alpha$.

Dada una partícula que sigue una trayectoria $latex boldsymbol{alpha}(t) = x^{alpha}(t)$, podemos parametrizarla mediante el tiempo propio $latex tau$ que es aquel que cumple:

$latex |frac{d}{dtau}boldsymbol{alpha}(tau)|^2 = frac{d}{dtau}x^{alpha}(tau) cdot frac{d}{dtau}x^{alpha}(tau) = -1$.

Siempre podemos reparametrizar haciendo:

$latex frac{d}{dt}tau = sqrt{-frac{d}{dt}alpha(t) cdot frac{d}{dt}alpha(t)}$.

La idea, desde el punto de vista de curvas sobre variedades, es que la parametrización mediante el tiempo propio no es mas que el equivalente a la parametrización por longitud de arco de manera de manera que nos permita medir la longitud de la misma que en este caso corresponde a medir tiempos (lo del reloj propio y estas cosas).

Para tener un invariante Lorentz de la velocidad $latex boldsymbol{v}$ definimos la $latex 4$-velocidad $latex boldsymbol{u}$ como:

$latex boldsymbol{u}:=frac{d}{dtau}alpha(tau)$,

ya que, como acabamos de ver, por construcción tenemos $latex boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u} = -1$.

Para un objeto con masa $latex m$ definimos el $latex 4$-momento como $latex boldsymbol{p} = m boldsymbol{v}$, de manera que $latex boldsymbol{p} cdot boldsymbol{p} = -m^2$. La componente temporal $latex p^0$ del $latex 4-$momento es la energía y las componentes espaciales $latex p^i$ son los $latex 3$-momentos.

Finalmente, si hay fuerzas tenemos aceleraciones. La $latex 4$-aceleración $latex boldsymbol{a}$ se define como

$latex boldsymbol{a} = frac{d}{dtau}boldsymbol{v}$ o $latex a^{mu} = frac{d}{dtau}v^{mu}$.

En variedades generales, para que la aceleración tenga sentido, necesitaremos trabajo extra, pues necesitaremos ser capaces de trasladar paralelamente vectores sobre la variedad.

Para finalizar, nos habla de algunos conceptos mas de algebra tensorial. En primer lugar define un tensor $latex boldsymbol{T}$ de tipo $latex binom{m}{n}$ como un operador lineal que actua sobre $latex m$ $latex 1$-formas y $latex n$ vectores y nos devuelve un escalar:

$latex boldsymbol{T}(boldsymbol{tilde{k}},ldots, boldsymbol{tilde{l}}, boldsymbol{u},ldots, boldsymbol{v})$

y que, fijada una referencia, queda determinada por su actuación sobre los elementos de esta base:

$latex boldsymbol{T}(boldsymbol{w}^{alpha_1},ldots,boldsymbol{w}^{alpha_m},boldsymbol{e}_{beta_1},ldots,boldsymbol{e}_{beta_n}) = T^{alpha_1,ldots,alpha_m}_{beta_1,ldots,beta_n}$.

Podemos ver una métrica $latex boldsymbol{g}$ como un tensor de tipo $latex binom{0}{2}$, o $latex 2$ veces covariante, pues actua sobre $latex 2$ vectores y devuelve $latex g_{alpha beta}u^{alpha}v^{beta}$. Podemos pensar una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ como un tensor de tipo $latex binom{0}{1}$, o $latex 1$ vez covariante, pues a partir de un vector $latex boldsymbol{v}$ nos devuelve el escalar $latex langle boldsymbol{tilde{k}},boldsymbol{v}rangle$. Sus componentes son $latex tilde{k}_{alpha}$. Por el contrario, podemos pensar un vector $latex boldsymbol{v}$ como un tensor de tipo $latex binom{1}{0}$, o $latex 1$ vez contravariante, pues a partir de una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ nos devuelve el escalar $latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle$. Las componentes de $latex boldsymbol{v}$ son $latex v^{alpha} = langle boldsymbol{w}^{alpha},boldsymbol{v} rangle$.

Finalmente, es útil recordar que, por una parte, los tensores de tipo $latex binom{m}{n}$ no necesitan de las métricas para existir y, por otra, que en el caso de existir, entonces gracias a ésta, todos los tensores de rango $latex m+n$ son equivalentes entre si, es decir, el mismo tensor lo podemos escribir de $latex 2^{m+n}$ maneras en función de donde aparece cada índice, si arriba o abajo, contravariante o covariante. Por ejemplo, si $latex T$ es un tensor de tipo $latex binom{1}{2}$ podemos transformalo a uno de tipo $latex binom{0}{3}$ de la siguiente manera:

$latex T^{alpha}_{beta gamma} = boldsymbol{T}(boldsymbol{w}^{alpha},boldsymbol{e}_{beta},boldsymbol{e}_{gamma}) = boldsymbol{T}(g^{delta alpha}boldsymbol{e}_{delta},boldsymbol{e}_{beta},boldsymbol{e}_{gamma}) = g^{delta alpha} boldsymbol{T}(boldsymbol{e}_delta,boldsymbol{e}_beta,boldsymbol{e}_gamma) = g^{delta alpha}T_{delta beta gamma}$.

Desde la geometria diferencial y Riemanniana, subir y bajar índices equivale a construir el isomorfismo musical, $latex sharp$ y $latex flat$ ,entre el fibrado tangente $latex TM$ y el cotangente $latex T^*M$ de una variedad $latex M$ inducido por una métrica $latex g$. Básicamente son contracciones entre el tensor métrico o el co-tensor métrico con un tensor arbitrario. Permite, por ejemplo, la generalización del gradiente.

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En su Lecture I nos habla de vectores, $latex 1$-formas, tensores y espacio-tiempos planos. Para empezar, un vector, a diferencia de un escalar, no solo tiene magnitud sino tambien dirección y sentido. En un contexto mas abstracto, son los elementos de un espacio vectorial fínito $latex V$ (en realidad, un espacio euclideo, es decir, un espacio vectorial normado con una norma procedente de un producto escalar).

Por ejemplo, dada una curva $latex alpha(t) in mathbb{R}^3$, siendo $latex t$ un parámetro, el tiempo absoluto Newtoniano, podemos definir su vector velocidad como:

$latex boldsymbol{v} = boldsymbol{v}(t) = frac{d}{dt} alpha(t) = frac{d}{dt}alpha (= alpha_t)$.

O, en relatividad, $latex beta(tau) in mathbb{M}^4$, con $latex tau$ el tiempo propio:

$latex boldsymbol{v} = boldsymbol{v}(tau) = frac{d}{dtau} beta(tau) = frac{d}{dtau}beta (= beta_tau)$.

Al introducir los espacio vectoriales, podemos sumar/restar vectores entre si, multiplicarlos por un escalar y disponemos de los conceptos de bases (conjuntos de vectores linealmente independientes que forman un sistema generador)  y coordenadas. Sean $latex {boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3}$ y $latex { boldsymbol{e}_0, boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3}$ las bases de $latex mathbb{R}^3$ y $latex mathbb{M}^4$ respectivamente. Entonces podemos escribir, por ejemplo:

$latex boldsymbol{v} = v^0 boldsymbol{e}_0 + v^1 boldsymbol{e}_1 + v^2 boldsymbol{e}_2 + v^3 boldsymbol{e}_3 = sum_alpha v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^0 boldsymbol{e}_0 + v^i boldsymbol{e}_i$.

Aunque muchas veces no se escriba explicitamente, tener en cuenta que las coordenadas pueden ser, como en el ejemplo anterior, funciones:

$latex v(tau) = v^alpha (tau) boldsymbol{e}_alpha$.

Para cambiar de un sistema de coordenadas $latex { boldsymbol{e}_alpha }$ a otro $latex { boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} }$ basta expresar los vectores de una base  en la otra:

$latex boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = sum_alpha A^alpha_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha} = A^alpha_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha}$,

$latex boldsymbol{e}_{alpha} = sum_{tilde{alpha}} B_alpha^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = B_alpha^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}}$,

donde $latex B_alpha^{tilde{alpha}} = (A^{-1})_alpha^{tilde{alpha}}$, de manera que si $latex boldsymbol{v} = v^{alpha} boldsymbol{e}_alpha$ entonces:

$latex boldsymbol{v} = v^alpha boldsymbol{e}_alpha = v^alpha B^{tilde{alpha}}_{alpha} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = v^alpha (A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} = v^{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{tilde{alpha}}$

con:

$latex v^{tilde{alpha}} = v^{alpha}(A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} = (A^{-1})^{tilde{alpha}}_{alpha} v^{alpha}$.

Como ya hemos comentado, disponemos de un producto escalar $latex cdot$ y podemos definir una norma

$latex |boldsymbol{u}|^2 = boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u}$.

Volviendo a la idea de que tenemos una base $latex { e_{alpha}}$, entonces basta determinar el comportamiento del producto escalar respecto de los elementos de la base:

$latex boldsymbol{u} cdot boldsymbol{v} = u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = $

$latex bigg( = sum_{alpha} u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot sum_{beta} v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = sum_{alpha} sum_{beta} u^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha} cdot v^{beta} boldsymbol{e}_{beta} = $

$latex = sum_{alpha} sum_{beta} u^{alpha} v^{beta} (boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} ) = sum_{alpha} sum_{beta} (boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} ) u^{alpha} v^{beta} = bigg)$

$latex = g_{alpha beta} u^{alpha} v^{beta}$

La conmutatividad del producto escalar nos lleva a que $latex g_{alpha beta} = g_{beta alpha}$ y un cambio de coordenadas de $latex g_{alpha beta}$ a nuevas coordenadas tilde queda:

$latex g_{tilde{alpha} tilde{beta}} = boldsymbol{e}_{tilde{alpha}} cdot boldsymbol{e}_{tilde{beta}} = A^{alpha}_{tilde{alpha}} boldsymbol{e}_{alpha} cdot A^{beta}_{tilde{beta}} boldsymbol{e}_b = A^{alpha}_{tilde{alpha}} A^{beta}_{tilde{beta}} boldsymbol{e}_{alpha} cdot boldsymbol{e}_{beta} = A^{alpha}_{tilde{alpha}} A^{beta}_{tilde{beta}} g_{alpha beta}$

Podemos definir el producto escalar como:

$latex g(u,v) := u cdot v$

que es una $latex 2$-forma, $latex g:T_pM times T_pM longrightarrow mathbb{K}$ , o un tensor dos veces covariante, ya hablaremos.

En el caso particular de $latex mathbb{R}^3$  tenemos:

$latex g_{i j} = delta_{i j} := left(
begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
end{array}
right)$

donde, si tenemos $latex boldsymbol{u} = boldsymbol{u}^i = (u^1, u^2, u^3)^T$ en la base $latex { boldsymbol{e}_i}$:

$latex |boldsymbol{u}|^2 = boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u} = delta(boldsymbol{u},boldsymbol{u}) = delta_{ij} u^i u^j = (sum_i sum_j delta_{ij} u^i u^j) = u_j u^j = $

$latex = (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2$.

que es siempre positiva para todos los vectores salvo para el $latex boldsymbol{0}$. Nos ha aparecido en el cálculo, al multiplicar la matriz de la métrica por el primer vector, el mismo vector pero ahora como $latex 1$-forma: $latex u_i = (u^1, u^2, u^3)$, en la base $latex {boldsymbol{e}^i}$. Además, hemos visto como la métrica nos a permitido bajar un índice. Ya volveremos sobre esto.

y en $latex mathbb{M}^4$:

$latex g_{alpha beta} = eta_{alpha beta} := left(
begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
end{array}
right)$.

En este caso, $latex eta_{alpha beta} u^alpha u^{beta} = -(u^0)^2 + (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2$, dado lugar a tres clases de vectores en función del valor de su norma: espaciales, con norma positiva, temporales, con norma negativa y luminosos, con norma $latex 0$.

Para terminar, nos habla de las $latex 1-$formas, que nos son mas que operadores lineales $latex tilde{boldsymbol{k}}$ que a partir de un vector $latex boldsymbol{v}$ nos devuelve un escalar $latex phi$:

$latex phi = langle tilde{boldsymbol{k}}, boldsymbol{v} rangle$.

Desde el punto de vista del espacio vectorial $latex V$, las $latex 1$-formas son elementos del espacio dual $latex V^*$ (elementos del tipo $latex boldsymbol{tilde{k}}: V longrightarrow mathbb{K}$). Si volvemos a mirar componentes, la acción de la $latex 1$-forma queda totalmente determinada, debido a la linealidad, por su acción sobre los elementos de la base $latex { boldsymbol{e}_alpha}$:

$latex tilde{k_{alpha}} = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle$

de manera que si $latex boldsymbol{v} = v^{alpha} boldsymbol{e}_{alpha}$ tenemos:

$latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = langle boldsymbol{tilde{k}}, v^{alpha}boldsymbol{e}_{alpha} rangle = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle v^{alpha} = tilde{k_{alpha}}v^{alpha}$.

Por tanto,

Como tenemos una métrica, podemos relacionar cualquier vector $latex boldsymbol{k}$ con una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ de manera que:

$latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{v}$

es decir, que dado $latex boldsymbol{k} in V$ entonces le asociamos $latex boldsymbol{tilde{k}} in V^*$:

$latex boldsymbol{tilde{k}}: V longrightarrow mathbb{K} ,/, v mapsto boldsymbol{tilde{k}}(v) = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{v}$

¿Y cuales son sus componentes $latex tilde{k}_{alpha}$? Sencillamente:

$latex tilde{k}_{alpha} = langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{e}_{alpha} rangle = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{e}_{alpha} = k^{beta} boldsymbol{e}_{beta} cdot boldsymbol{e}_{alpha} = g_{alpha beta} k^{beta}$.

De la misma manera:

$latex k^{alpha} = g^{alpha beta} tilde{k}_{beta}$, donde $latex g^{alpha beta}$ es la inversa de $latex g_{alpha beta}$ ($latex g^{alpha beta}g_{beta gamma} = delta^{alpha}_{gamma}$).

Finalmente, se puede demostrar que $latex g^{alpha beta} tilde{k}_{alpha} tilde{l}_{beta} = boldsymbol{k} cdot boldsymbol{l}$.

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En $latex n$ dimensiones, el operador Laplaciano queda como:

$latex Delta u= sum_{i=1}^n frac{partial^2}{partial x_i^2}u$

en coordenadas cartesianas, y como:

$latex Delta u = frac{partial}{partial r^2}u + frac{n-1}{r}frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2}Delta_{S^{n-1}}u$

en esféricas, donde $latex Delta_{S^{n-1}}$ es el operador de Laplace-Beltrami, una generalización del Laplaciano para funciones definidas sobre variedades,  en la $latex (n-1)$-esfera ($latex S^{n-1}$), el operador Laplaciano esférico.

Un punto es un tensor sin índices, un vector es un tensor con $latex 1$ índice, una matriz es un tensor con $latex 2$ índices, etc. Cuando discreticemos una PDE en $latex n$ dimensiones, llegaremos a un tensor con $latex n$ índices y $latex 2n$ tensores con $latex n-1$ índices para las condiciones en las fronteras.

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Sean $latex V_1, cdots, V_r$ espacios vectoriales de dimensión finita sobre $latex mathbb{R}$ y sean $latex V_1^*, cdots, V_r^*$ sus espacios duales.

Definimos el producto tensorial como el espacio vectorial de aplicaciones multilineales de $latex V_1^* times ldots times V_r^*$ en $latex mathbb{R}$, es decir:

$latex V_1 otimes ldots otimes V_r := mathcal{L}(V_1^* times ldots times V_r^*, mathbb{R})$

Si $latex v_1 in V_1, ldots , v_r in V_r$ y $latex sigma_1 in V_1^*, ldots, sigma_r in V_r^*$, entonces definimos $latex v_1 otimes , ldots , otimes v_r in V_1 otimes , ldots , otimes V_r$ como:

$latex v_1 otimes ldots otimes v_r (sigma_1, ldots, sigma_r)= sigma_1(v_1) ldots sigma_r(v_r)$

Si $latex dim V_j = n_j$ y sea $latex { e_i^j}_{i=1}^{n_j}$ una base de $latex V_j$ con $latex j=1,ldots,r$, entonces:

$latex {e_{i_1}^1 otimes ldots otimes e_{i_r}^r }_{1 leq i_j leq n_j, 1 leq j leq r }$

es una base de $latex V_1 otimes ldots otimes V_r$, de manera que $latex dim V_1 otimes ldots otimes V_r = n_1ldots n_r$.

Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión $latex dim V = n$ y $latex V^*$ su dual. Construimos el espacio vectorial

$latex V^{(r,s)}:=(otimes^r V) otimes (otimes^s V^*)$

donde $latex otimes^k E:= E otimes overset{k)}{ldots} otimes E$ es la $latex k$-ésima potencia tensorial de $latex E$. A los elementos de $latex V^{(r,s)}$ se les llama tensores $latex r$ veces contravariantes y $latex s$ veces covariantes sobre $latex V$. Si $latex { e_1, ldots, e_n}$ es una base de $latex V$ y $latex { e^1, ldots, e^n}$ su base dual (los elementos $latex e^i$ son $latex 1$-formes: $latex e^i: V longrightarrow mathbb{R} in V^*$), entonces todo elemento de $latex V^{(r,s)}$ lo podemos escribir como:

$latex t = t^{i_1,ldots, i_r}_{j_1,ldots, j_s}e_{i_1} otimes ldots otimes e_{i_r} otimes e^{j_1} otimes ldots otimes e^{j_s}$

No es dificil demostrar $latex mathcal{L}(V,V) cong V otimes V^*$, $latex mathcal{L}(V times V, mathbb{R}) cong V^* otimes V^*$ y, en general:

$latex mathcal{L}(V times overset{k)}{ldots} times V, V) cong V otimes (otimes^k V^*)$.

Sea $latex M$ una variedad diferenciable y $latex m in M$. Entonces:

$latex T_m^{(r,s)} = (otimes^r T_mM) otimes (otimes^s T_m^*M)$

es un tensor $latex r$ veces contravariante y $latex s$ veces covariante de $latex M$ en $latex m$ y

$latex T^{(r,s)}M = bigsqcup_{m in M} T_m^{(r,s)}M$

es la variedad de tensores de tipo $latex (r,s)$ de $latex M$. Denotamos por $latex pi : T^{(r,s)}M longrightarrow M$ a la proyección que a cada tensor en $latex m$ le hace corresponder el punto $latex m$.

Un campo tensorial $latex r$ veces contravariante y $latex s$ veces covariante en $latex M$, de tipo $latex (r,s)$, es una aplicación diferenciable $latex K : M longrightarrow T^{(r,s)}M$ tal que $latex pi circ K = id$, es decir, que para cada $latex min M$ tenemos que $latex K_m := K(m) in T_m^{(r,s)}M$ (tenemos un campo tensorial definido en cada punto de la variedad).

Si $latex (U, varphi)$ es una carta, entonces:

$latex K|_U = K^{i_1,ldots,i_r}_{j_1,ldots,j_s} frac{partial}{partial varphi^{i_1}} ldots otimes frac{partial}{partial varphi^{i_r}} otimes dvarphi^{j_1} otimes ldots otimes dvarphi^{j_s}$

Los campos tensoriales son una generalización de:

  1. funciones: una función diferenciable $latex h:M longrightarrow mathbb{R}$ determina un campo tensorial de tipo $latex (0,0)$.
  2. campos vectoriales: un campo vectorial $latex X: M longrightarrow TM$ es un campo tensorial de tipo $latex (1,0)$, pues $latex TM = T^{(1,0)}$.
  3. $latex 1$-formas: una $latex 1$-forma $latex w: M longrightarrow T^*M$ es un campo tensorial de tipo $latex (0,1)$, ya que $latex T^*M = T^{(0,1)}$.

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