toro

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Dado un embedding tanto de la esfera como del toro, lo aprovechamos para ver como quedan las funciones trigonométricas sobre estas variedades:

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Tomamos el toro $latex mathbb{T}^2$ como variedad diferenciable sobre el que construiremos dos variedades de Riemann no isométricas.

Por una parte, si consideramos $latex mathbb{T}^2 = S^1(frac{1}{a^2}) times S^1(frac{1}{b^2})$. Como a $latex S^1(frac{1}{a^2})$ le corresponde la métrica $latex theta_1^2$ y a $latex S^1(frac{1}{b^2})$ le corresponde $latex theta_2^2$, podemos construir una variedad de Riemann con la métrica producto:

$latex (mathbb{T}^2, (dtheta^1)^2 + (dtheta^2)^2)$

Por otra, podemos considerar el embedding (la parametrización) de $latex mathbb{T}^2$ en $latex mathbb{R}^3$ siguiente:

$latex f: mathbb{T}^2 longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta^1,theta^2) mapsto (a+bcos theta^1) cos theta^2, (a + b cos theta^1) sin theta^2, b sin theta^2)$

de manera  que, mediante el pullback, podemos construir la métrica $latex f^*h$ donde $latex h$ es la métrica ordinaria de $latex mathbb{R}^3$:

$latex f^*h = b^2 (dtheta_1)^2 + (a+b cos theta^1)^2 (dtheta^2)^2$.

Estas dos variedades de Riemann no son isométricas (la primera tiene $latex k=0$, por lo que es isométrica al plano y la variedad recibe el nombre de toro plano, mientras que la segunda tiene $latex k neq 0$ y es el toro habitual).

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