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trayectorias campo

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Dado el campo vectorial invariante por la izquierda

$latex u(a) = (L_a)_* u$ del grupo de Lie $latex G$,

llamamos trayectorias del campo a la soluciones de la ODE:

$latex frac{d}{dt}a = u(a)$,

y que, fijada una condición inicial $latex a(0) = a$, la trayectoria queda unívocamente determinada en forma de serie exponencial:

$latex a(t) = exp (tu) a$ con $latex exp(tu) = I + tu + frac{t^2}{2}u^2 + ldots$,

donde $latex u^r(a) = u(a) circ u^{r-1}(a)$.

Las trayectorias:

  1. son analíticas  y esta definidas para todo valor de $latex t$ por el carácter anaítico y completo de los campos invariantes.
  2. que pasan por la unidad del grupo de Lie, $latex a(0) = e$, son grupos uniparamétricos de G, ya que cumplen la propiedad $latex a(s+t)=a(s)a(t)$. En este caso:

$latex exp: mathfrak{g} longrightarrow G , / , u mapsto exp u = a(1)$.

En el caso de $latex GL(n,mathbb{K})$, hemos visto que los campos invariantes a la izquierda tienen la forma:

$latex U(A) = AU$ con $latex A in GL(n,mathbb{K})$ y $latex U in M(n,mathbb{K})$.

El subgrupo uniparamétrico $latex A(t)$ es la solución a:

$latex frac{d}{dt}A = AU$ con $latex A(0)=I$,

y que es:

$latex A(t) = exp(tU) = Sigma_{s=0}^{infty}frac{t^s}{s!}U^s$.

De esta manera, tenemos:

$latex exp: mathfrak{g}(n,mathbb{K}) longrightarrow GL(n,mathbb{K}) , / , A = e^U$,

es decir, la exponencial matricial habitual.

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