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variedades diferenciables

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Leyendo el capítulo dedicado a Lagrangianos y Hamiltonianos del libro de Roger Penrose El camino a la realidad me sorprendió cuando en un momento, después de presentar al Lagrangiano

$latex mathcal{L} = mathcal{L}(q^1, ldots, q^n, dot{q}^1, ldots, dot{q}^n )$

como una función, de posiciones generalizadas $latex q^i$ que etiquetan los puntos del espacio de configuración $latex mathcal{C}$, una variedad diferenciable de dimensión $latex n$, y velocidades generalizadas $latex dot{q}^i:=frac{d}{dt}q^i$, cuya interpretación física es la diferencia entre energía cinética $latex K$ del sistema y la energía potencial $latex V$ debido a fuerzas externas, es decir, $latex mathcal{L} = K-V$, las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan como:

$latex frac{d}{dt} frac{partial}{partial dot{q}^r}mathcal{L} = frac{partial}{partial q^r} mathcal{L}$ con $latex r=1 ldots n$,

recordando que cada $latex dot{q}^r$ debe tratarse como una variable independiente.

Esto, aquí mi sorpresa, es idéntico a lo que utilizamos en este post

$latex frac{d}{dt} frac{partial}{partial dot{x}^i} g = frac{partial}{partial x ^i} g $

para calcular las geodésicas de una variedad Riemanniana sin necesidad de pasar por el cálculo de los símbolos de Christoffel a partir de su métrica, por ejemplo, para encontrar su conexión…

Así pues, la conclusión es que, como cada punto $latex alpha$ de la variedad $latex n$-dimensional $latex mathcal{C}$ representa una configuración del sistema y, a medida que evoluciona en el tiempo, describe una curva $latex alpha(t) in mathcal{C}$, esta trayectoria puede considerarse como una geodésica en el espacio de fases $latex mathcal{C}$.

Para terminar, pone un sencillo ejemplo donde el sistema consta de una única partícula de masa $latex m$ que se mueve en el campo gravitatorio cerca de la superficie terrestre $latex V(t,x,y,z)=mgz$. Utilizando $latex frac{1}{2}mv^2$ para la energía cinética, nos queda que el Lagrangiano es:

$latex mathcal{L} = frac{1}{2}m(dot{x}^2+dot{y}^2+dot{z}^2)-mgz$,

por lo que la ecuación de Euler-Lagrange para $latex z$ nos queda:

$latex mfrac{d}{dt}dot{z} = mg Leftrightarrow ddot{z} = g$,

que es lo que esperabamos :-).

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Hablemos de generalizaciones, cosa esencial en matemáticas:

  • Desde el punto de vista del análisis funcional, ¿qué pasa si nuestro espacio tiene asociada una métrica no definida positiva?
  • En el caso finito, ¿qué pasa cuando en lugar de trabajar con $latex mathbb{R}^n$ o $latex mathbb{C}^n$ tengo variedades diferenciables mas generales?
  • En analisis funcional tengo espacios de funciones donde estas cumplen una propiedad asociada con una medida y especificada normalmente mediante una integral. ¿Puedo tener espacios de variedades cumpliendo propiedades de este tipo? (pues tiene sentido hablar de integración en variedades orientadas)
  • Al hablar de variedades de Riemann, asociamos una métrica a una variedad para poder hablar de distancias, areas, angulos, etc. En realidad, asociamos un producto escalar, un tensor 2 veces covariante, del que deriva una norma a partir de la que podemos especificar una distancia.

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Cuando exigimos que las funciones de transición del atlas que recubre una variedad diferenciable sean holomorfas podemos decir que tenemos una variedad compleja. En particular, toda variedad compleja de dimensión $latex n$ será una variedad diferenciable de dimensión $latex 2n$ dotada de una orientación natural. Las superfícies de Riemann, o los grupos de Lie con operaciones de grupo holomorfas son ejemplos de variedades complejas.

Las variedades lorentzianas son importantes en relatividad general. La mecánica cuántica tiene su base matemática en los espacios de Hilbert complejos separables ($latex L^2(mathbb{R})$ o $latex mathbb{C}^{2n+1}$).

Existen diferentes maneras de definir el cuerpo de los números complejos. La mas intuitiva es hacer tomar el conjunto $latex mathbb{R} times mathbb{R}$ y definir las operaciones internas:

  • $latex (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2)$ .
  • $latex (x_1,y_1) cdot (x_2,y_2) = (x_1 x_2 – y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1)$.

con $latex (x_1,y_1), (x_2, y_2) in mathbb{R} times mathbb{R}$. Es sencillo comprobar que $latex mathbb{C} := (mathbb{R} times mathbb{R}, +, cdot)$ tiene estructura de cuerpo.

Otra manera mas elegante es ver que $latex mathbb{C} cong frac{mathbb{R}[x]}{(x^2+1)}$ donde $latex (x^2+1)$ es el ideal generado por el polinomio irreducible $latex x^2+1 in mathbb{R}[x]$, pues existe una propiedad que nos dice que un anillo conciente de este tipo tiene estructura de cuerpo.

El análisis complejo se encarga del estudio de las funciones de variable compleja. En próximos posts exponemos de manera breve algunos de los contenidos básicos del área: funciones analíticas, funciones holomorfas, funciones elementales, integración en el plano complejo con formula y teorema de Cauchy y teoremas de Laurent y de los residuos con algunas aplicaciones.

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