Discretización de las ecuciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana

En [Rosswog 2009] tenemos las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana discretizadas y en su forma mas básica. Las partículas avanzaran en el tiempo siguiendo las siguientes ecuaciones:

Para empezar, no hay necesidad de resolver la ecuación de continuidad ya que la masa de las partículas permanece fija. Podemos obtener las densidades mediante:

$latex rho_a = sum_b m_b W_{ab}$

La ecuación del momento queda:

$latex frac{d}{dt}vec{v}_a = – sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{P_b}{rho_b^2} + Pi_{ab} ) nabla_a W_{ab} $

La ecuación de evolución para la energía interna específica puede escribirse como:

$latex frac{d}{dt} u_a = sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{1}{2}Pi_{ab}) vec{v}_{ab} nabla_b W_{ab} $

Rosswog las llama «vanilla ice» SPH.

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  1. Miguel Ángel Aloy’s avatar

    Can you comment on where is the trick?. How can it be that one can get around with one equation less?, are we missing «anything» in a lagrangian formulation? 🙂

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    1. jadsuafu’s avatar

      Por un lado, falta hacer referencia a la ecuación de estado, que también la necesitamos para cerrar el sistema. Por otro lado, no hace falta resolver la ecuación de continuidad o de conservación de la masa, que me indica que la variación de la masa en un volumen $latex V$, como ni se crea ni se destruye masa, está relacionada con la cantidad de masa que atraviesa la frontera de dicho volumen $partial V$. En nuestro caso, como la masa total del fluido está repartida entre el total de partículas que tenemos y estas no modifican su masa, independientemente de donde se encuentren, la masa total permanece fija. No es que perdamos nada, se cumple simplemente por como está construido el método SPH ¿Te refieres a eso?

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