Carácter involutivo de la ecuaciones de Maxwell.

Para un observador inicial, si denotamos con $latex vec{E}$ al campo eléctrico, $latex vec{B}$ al campo magnético, $latex rho$ a la densidad de carga y $latex vec{J}$ a la densidad de corriente, entonces tenemos las ecuaciones de Maxwell:

$latex nabla cdot vec{E} = rho$

$latex nabla times vec{E} + vec{B}_t = 0$

$latex nabla cdot vec{B} = 0$

$latex nabla times vec{B} – vec{E}_t = vec{J}$

y la ecuación de continuidad o de conservación de carga:

$latex rho_t + nabla cdot vec{J} = 0$

Si el observador inercial se encuentra en el espacio-tiempo de Minkowski, las ecuaciones de Maxwell se expresan como dos ecuaciones de ligadura:

$latex nabla cdot vec{E} = rho$

$latex nabla cdot vec{B} = 0$

y seis ecuaciones de evolución:

$latex vec{E}_t = nabla times vec{B} – vec{J}$

$latex vec{B}_t = -nabla times vec{E}$

Si en un instante $latex t=t_0$ se cumplen las ecuaciones de ligadura y si la carga eléctrica se conserva en un entorno de $latex t=t_0$,

$latex rho_t + nabla cdot vec{J} = 0$,

entonces las ecuaciones de ligadura se cumplen en ese entorno (como consecuencia de las ecuaciones de evolución).

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  1. Miguel Ángel Aloy’s avatar

    I am missing here what vec{H}_t is (of course, I understand that it is the magnetic field in a permeable media, but then, rather than the electric field vector you should write the equations in terms of the electric displacement).

    Responder

    1. jadsuafu’s avatar

      Hacía referencia al campo magnético con $latex vec{B}$ y con $latex vec{H}$. Ahora ya lo hago solamente con $latex vec{B}$.

      Las ecuaciones están sacadas de los apuntes del curso de Relatividad Avanzada de JA Morales y coincidían con las que aparecen en el de Joan Girbau: «Geometria diferencial y relatividad». No se… 🙁

      Responder

    2. Miguel Ángel Aloy’s avatar

      Another point is, why do you say «involutive character» instead of «evolutive character» of the Maxwell equations? (Involution is a rather odd concept ;).

      Responder

      1. jadsuafu’s avatar

        Por una parte, si que es cierto que vamos a utilizar el formalismo evolutivo. Por otra, sin embargo, cuando hablamos de algo involutivo nos referimos a que no evoluciona, y es por esta involución que podemos aplicar la evolución (menudo trabalenguas 🙂

        Primero resolvemos las ecuciones de ligadura (tanto en las ecuaciones de Einstein, que también son involutivas, como en las de Maxwell) en un instante dado, y después resolvemos las de evolución y conservación sabiendo que, aunque no estemos en el mismo instante, por su caracter involutivo, las de ligadura se seguiran cumpliendo pués estamos en un entorno de ese instante. 😕

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