Para un observador inicial, si denotamos con $latex vec{E}$ al campo eléctrico, $latex vec{B}$ al campo magnético, $latex rho$ a la densidad de carga y $latex vec{J}$ a la densidad de corriente, entonces tenemos las ecuaciones de Maxwell:
$latex nabla cdot vec{E} = rho$
$latex nabla times vec{E} + vec{B}_t = 0$
$latex nabla cdot vec{B} = 0$
$latex nabla times vec{B} – vec{E}_t = vec{J}$
y la ecuación de continuidad o de conservación de carga:
$latex rho_t + nabla cdot vec{J} = 0$
Si el observador inercial se encuentra en el espacio-tiempo de Minkowski, las ecuaciones de Maxwell se expresan como dos ecuaciones de ligadura:
$latex nabla cdot vec{E} = rho$
$latex nabla cdot vec{B} = 0$
y seis ecuaciones de evolución:
$latex vec{E}_t = nabla times vec{B} – vec{J}$
$latex vec{B}_t = -nabla times vec{E}$
Si en un instante $latex t=t_0$ se cumplen las ecuaciones de ligadura y si la carga eléctrica se conserva en un entorno de $latex t=t_0$,
$latex rho_t + nabla cdot vec{J} = 0$,
entonces las ecuaciones de ligadura se cumplen en ese entorno (como consecuencia de las ecuaciones de evolución).
I am missing here what vec{H}_t is (of course, I understand that it is the magnetic field in a permeable media, but then, rather than the electric field vector you should write the equations in terms of the electric displacement).
Hacía referencia al campo magnético con $latex vec{B}$ y con $latex vec{H}$. Ahora ya lo hago solamente con $latex vec{B}$.
Las ecuaciones están sacadas de los apuntes del curso de Relatividad Avanzada de JA Morales y coincidían con las que aparecen en el de Joan Girbau: “Geometria diferencial y relatividad”. No se… 🙁
Another point is, why do you say “involutive character” instead of “evolutive character” of the Maxwell equations? (Involution is a rather odd concept ;).
Por una parte, si que es cierto que vamos a utilizar el formalismo evolutivo. Por otra, sin embargo, cuando hablamos de algo involutivo nos referimos a que no evoluciona, y es por esta involución que podemos aplicar la evolución (menudo trabalenguas 🙂
Primero resolvemos las ecuciones de ligadura (tanto en las ecuaciones de Einstein, que también son involutivas, como en las de Maxwell) en un instante dado, y después resolvemos las de evolución y conservación sabiendo que, aunque no estemos en el mismo instante, por su caracter involutivo, las de ligadura se seguiran cumpliendo pués estamos en un entorno de ese instante. 😕