Carácter involutivo de la ecuaciones de Maxwell.

Para un observador inicial, si denotamos con $latex vec{E}$ al campo eléctrico, $latex vec{B}$ al campo magnético, $latex rho$ a la densidad de carga y $latex vec{J}$ a la densidad de corriente, entonces tenemos las ecuaciones de Maxwell:

$latex nabla cdot vec{E} = rho$

$latex nabla times vec{E} + vec{B}_t = 0$

$latex nabla cdot vec{B} = 0$

$latex nabla times vec{B} – vec{E}_t = vec{J}$

y la ecuación de continuidad o de conservación de carga:

$latex rho_t + nabla cdot vec{J} = 0$

Si el observador inercial se encuentra en el espacio-tiempo de Minkowski, las ecuaciones de Maxwell se expresan como dos ecuaciones de ligadura:

$latex nabla cdot vec{E} = rho$

$latex nabla cdot vec{B} = 0$

y seis ecuaciones de evolución:

$latex vec{E}_t = nabla times vec{B} – vec{J}$

$latex vec{B}_t = -nabla times vec{E}$

Si en un instante $latex t=t_0$ se cumplen las ecuaciones de ligadura y si la carga eléctrica se conserva en un entorno de $latex t=t_0$,

$latex rho_t + nabla cdot vec{J} = 0$,

entonces las ecuaciones de ligadura se cumplen en ese entorno (como consecuencia de las ecuaciones de evolución).

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4 comentarios

  1. I am missing here what vec{H}_t is (of course, I understand that it is the magnetic field in a permeable media, but then, rather than the electric field vector you should write the equations in terms of the electric displacement).

    1. Hacía referencia al campo magnético con $latex vec{B}$ y con $latex vec{H}$. Ahora ya lo hago solamente con $latex vec{B}$.

      Las ecuaciones están sacadas de los apuntes del curso de Relatividad Avanzada de JA Morales y coincidían con las que aparecen en el de Joan Girbau: «Geometria diferencial y relatividad». No se… 🙁

  2. Another point is, why do you say «involutive character» instead of «evolutive character» of the Maxwell equations? (Involution is a rather odd concept ;).

    1. Por una parte, si que es cierto que vamos a utilizar el formalismo evolutivo. Por otra, sin embargo, cuando hablamos de algo involutivo nos referimos a que no evoluciona, y es por esta involución que podemos aplicar la evolución (menudo trabalenguas 🙂

      Primero resolvemos las ecuciones de ligadura (tanto en las ecuaciones de Einstein, que también son involutivas, como en las de Maxwell) en un instante dado, y después resolvemos las de evolución y conservación sabiendo que, aunque no estemos en el mismo instante, por su caracter involutivo, las de ligadura se seguiran cumpliendo pués estamos en un entorno de ese instante. 😕

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