Variedades diferenciables, de Riemann, pseudoriemannianas y de Lorentz.

En el libro «Geometria Diferencial i Relativitat» de J. Girbau, encontramos que una variedad diferenciable de dimensión $latex n$ y de clase $latex C^k$ es un par $latex (M,mathcal{A})$ formado por un conjunto $latex M$ y una estructura diferenciable $latex mathcal{A}$ de dimensión $latex n$ y clase $latex C^k$ (de aquí en adelante supondremos dimensión $latex n$ y clase $latex C^k$) y tal que $latex M$ con la topología asociada es Hausdorff y 2AN.

Si no hay posibilidad de confusión se denota la variedad simplemente por $latex M$ y es usual utilizar la expresión variedad diferenciable cuando es de clase $latex C^infty$.

Llamamos estructura diferenciable a cada una de las clases de equivalencia por la relación $latex C^kmbox{-compatibles}$: dos atlas $latex A_1$ y $latex A_2$ de clase $latex C^k$ son $latex C^kmbox{-compatibles}$ si $latex A_1 cup A_2$ también es un atlas de clase $latex C^k$. Como dos atlas $latex C^kmbox{-compatibles}$ definen la misma topología en $latex M$, podemos hablar de topología asociada a una estructura diferenciable.

Un atlas de clase $latex C^k$ es una familia de aplicaciones biyectivas $latex mathcal{A}={ varphi_i: U_i rightarrow A_i}_{i in I}$ llamadas cartas locales, donde $latex I$ es un conjunto de índices, $latex U_i subset M$ abierto y $latex A_i subset mathbb{R}^n$ abierto cumpliendo:

  1. $latex cup_{i in I} U_i = M$
  2. $latex forall i,j in I$ tal que $latex U_i cap U_j neq emptyset$, entonces $latex varphi_i(U_i cap U_j)$ y $latex varphi_j(U_i cap U_j)$ son abiertos y las aplicaciones $latex varphi_j circ varphi_i^{-1}:varphi_i(U_i cap U_j) longrightarrow varphi_j(U_i cap U_j)$ son $latex C^k$

Si $latex mathcal{A}$ es un atlas sobre un conjunto $latex M$ entonces

$latex mathcal{B}_{mathcal{A}} = { varphi_{i}^{-1}(W) : i in I, W subset mathbb{R}^n mbox{ abierto}}$

es una base de una topología en $latex M$.

Una variedad de Riemann es una variedad diferenciable en la que tenemos definida una métrica: un campo tensorial diferenciable $latex g$ dos veces covariante, un tensor $latex (0,2)$, simétrico y definido positivo. A $latex g$ se le llama métrica de Riemann.

Si $latex (M,g)$ es una variedad de Riemann y $latex x(t)$ es una curva diferenciable sobre $latex M$, entonces la longitud de $latex x(t)$ entre dos puntos $latex x(a)$ y $latex x(b)$ se define como:

$latex int_a^b sqrt{g(dot{x(t)},dot{x(t)})} dt$

Una variedad pseudoriemanniana es aquella en la que la métrica no cumple la propiedad de ser definida positiva y basta con que sea no degenerada.

Una variedad de Lorentz es aquella cuya métrica tiene signatura $latex (n-1, 1)$. Son especialmente importantes por sus aplicaciones en la física: la teoria de la relatividad general modela el espacio-tiempo mediante una variedad de Lorentz de dimensión $latex n=4$ y signatura $latex (3,1)$.

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